直流偏磁条件下电力变压器振动特性研究进展

李长云，郝爱东，娄 禹

(1. 齐鲁工业大学(山东省科学院) 电气工程与自动化学院，山东 济南 250353;2. 齐鲁工业大学(山东省科学院) 实验管理中心，山东 济南 250353)

0 引言

由于地磁暴[1]、高压直流HVDC(High Voltage Direct Current)输电工程单极大地回线运行时的地中直流[2]及轨道交通和电解行业中的整流变压器[3]等原因，变压器的电磁场中出现直流电流及其诱发的系列电磁效应称为直流偏磁。监测结果表明直流偏磁将使变压器的振动加剧、噪声增强、铁芯饱和与过热，严重时可能导致变压器损坏[4-5]。作为电力系统的关键设备，变压器的健康状况直接关系到电力系统的安全稳定运行，因此变压器的直流偏磁现象受到国内外专家学者的重点关注，其研究内容一般包括探寻直流偏磁的成因(太阳风引发、HVDC的单极大地回流和其他原因)、直流偏磁对电磁设备(电磁式电流互感器、继电保护、电力变压器等)的影响、直流偏磁的抑制方法(变压器中性点串小电阻、反向电流注入、变压器中性点串隔直电容等)3个部分，研究思路通常为由现场测量获取直观数据、理论分析及建模表征、采用现场或实验验证等。

一方面，HVDC输电具有无同步并网问题等优点而在我国的电力传输战略中发挥了积极作用。预计到2020年，我国将再建设25个直流输电项目，含特高压直流换流站30座，线路约2.6×104km，输送容量达9.440×104MW。届时，由HVDC系统调试或单极故障导致的单极大地回线运行方式将使变压器出现直流偏磁的概率大幅增加。同时，太阳日冕诱发的地磁暴亦有增强趋势，其所引起的全球性电网安全问题愈发受到人们的关注[6]。再者，我国的轨道交通和电解行业将呈蓬勃发展之势，其直流偏磁效应亦将愈发明显。因此直流偏磁对电流系统的影响将更为突出，而直流偏磁是导致变压器振动异常的关键因素[4，7]，直流偏磁条件下变压器的振动增强可能诱发变压器的结构件松动，进而危及变压器的安全运行、增加事故发生率。

另一方面，变压器受直流偏磁影响所引起的振动增强以及由振动噪声所带来的环境污染、对人类健康的影响等问题也日益突出。变压器作为电力系统的核心设备，其安全稳定运行是确保整个电网稳定的前提。而变压器铁芯的振动及其产生的噪声是进行变压器结构设计的重要依据[8]，所以研究直流偏磁下的变压器振动机理并探求相应的抑制方法成为电力工作者迫在眉睫的任务。

本文首先分析发生直流偏磁时变压器振动的测量及其特征，然后结合变压器的振动机理对铁磁材料磁致伸缩的数学模型及实验研究现状进行了评述，并讨论直流偏磁时变压器振动研究中直流电源的引入方式，最后总结变压器振动研究中的科学问题。

1 发生直流偏磁时变压器的振动测量及特征

1.1 发生直流偏磁时变压器的振动测量

为准确反映发生直流偏磁时变压器的振动特征量，首先应保证测量系统不能影响变压器的正常运行，其次需使得测量方便易行。因此，一般应考虑将测量系统布置在变压器的器身表面。考虑到变压器铁芯和绕组的形变、位移及压紧状态等均会影响变压器的振动，所以现场大多采用振动与噪声传感器测量变压器表面的瞬时声压来监测变压器的运行状态[9-10]。文献[10-12]均采用瞬时声压法对发生直流偏磁时变压器的振动和噪声进行了检测。结合对传感器的信号的频谱分析可进一步获得变压器振动与噪声的相关特征。

1.2 发生直流偏磁时变压器的振动特征

文献[10]的测量结果表明，当变压器绕组中流过偏磁直流时，变压器铁芯的硅钢片间、绕组间的振动明显增强，上述振动将通过变压器油和铁芯垫脚传递至油箱表面，较无偏磁时的振动幅值明显增大、谐波增加。对变压器油箱壁的振动信号进行频谱分析可知，直流偏磁对变压器铁芯和绕组的振动有着显著影响，突出表现为基频的倍数倍频率谐波含量稳定增大。

进一步分析可知，发生直流偏磁时变压器的振动呈现如下特征[11]：

a. 1个工频周期内的正负2个半周的振幅及波形差异较大；

b. 偏磁振动在一定程度上可由其工频分量加以衡量；

c. 油箱振动信号的高频成分随偏磁程度上升而剧增，且信号复杂度增加。

同时，监测结果表明，由于变压器器身表面的振动受绕组及铁芯的压紧程度、位移及变形状况等诸多因素的影响，发生直流偏磁时变压器铁芯及绕组的振动较为突出[12]。

1.3 现有变压器振动工作评述

上述现场测试为定性分析直流偏磁对变压器振动与噪声的影响提供了依据，但均无法给出振动与噪声和偏磁电流间的数学关系式，不利于获得直流偏磁与变压器铁芯及绕组振动的频率、振幅等特征参数之间的定量关系。笔者探究其可能原因有：

a. 测点较为分散且量测数据有限，据此难以获得统一的函数关系式；

b. 变压器结构、参数各异，对振动信号的传播过程是否有影响及其影响程度上缺少明确结论；

c. 缺少实用的以振动特征量(位移、速度或加速度)为因变量的变压器振动模型，特别是没有能计及直流偏磁影响的有效振动模型。

2 发生直流偏磁时变压器的振动机理分析

2.1 直流偏磁对变压器的影响机制

直流偏磁条件下，变压器出现振动加剧等诸多异常现象的根源在于铁芯磁化特性M-H的固有非线性，变压器铁芯的基本磁化曲线如图1所示[13]。M-H曲线的非线性是M随外加H变化的宏观表现，微观上对应着H的变化引起的磁畴壁移和畴转过程。

图1 变压器铁芯基本磁化曲线Fig.1 Basic magnetic curve of transformer ferrite core

变压器铁芯的磁化既有可逆过程，亦含不可逆过程。当外磁场强度H较低时，主要为可逆壁移，对应的M-H曲线呈弱非线性(图1中的OC段)；随着H的增加，不可逆壁移起主导作用，M-H曲线仍呈弱非线性(图1中的CC′段)，但dM/dH较OC段减小；如果H进一步增加，磁化曲线达到并通过膝点C′，不可逆畴转起主要作用，铁磁质的磁化进入饱和状态。

在偏磁电流所产生的直流磁通与正弦交变磁通的协同作用下，变压器铁芯将进入半周饱和状态[14]。半周饱和将导致铁芯的磁化强度中出现大量谐波，其微观的磁畴壁移和畴转过程亦将发生深刻变化，进而诱发一系列复杂的电-磁-力转换过程，外化为变压器的振动与噪声。

2.2 变压器铁芯的振动模型

变压器在工作时，其铁芯及绕组均会受到电磁力的作用而产生振动，同时这2个振动皆经变压器油传递到油箱壁。建立变压器振动的数学模型是定量表征其振动特征、研究相关抑制措施的前提，为此本文提出如下假设：

a. 变压器绕组的振动远小于铁芯的振动，即认为变压器的振动仅由铁芯振动引发；

b. 变压器铁芯硅钢片接缝处及叠片间的漏磁通非常小，铁芯所受电磁力Fmf与磁致伸缩力Fms相比可忽略，即磁致伸缩是变压器振动的根源；

c. 铁芯的材质均匀，且某时刻其总形变等于各模态与对应位移的乘积之和。

在磁致伸缩力的作用下，变压器铁芯硅钢片存在磁致伸缩效应，并使得铁芯以2倍工频为基频进行周期性振动[15-16]。综上可知，本文上述假设与现场情况基本一致。以mc、xc分别表示铁芯上某质点的质量、位移，则可根据牛顿定律将T Hilgert[17]等建立的运动方程简化为式(1)。

(1)

其中，Fc为铁芯产生的内力。

若变压器中存在直流偏磁电流，相应的磁致伸缩将发生变化，而铁芯的振动问题将呈现更为复杂的电-磁-力学特征。因此，直流偏磁条件下的磁致伸缩效应受到了学者的广泛关注，当前对变压器振动的研究主要集中于理论分析和实验研究两方面，前者重点关注铁芯的磁致伸缩效应，后者主要研究偏磁电流的施加方式。

3 变压器铁芯磁致伸缩效应的表征

由式(1)可知，适当表征磁致伸缩力是建立变压器振动方程及模态分析的基础。在连续介质力学中，磁致伸缩效应表现为铁磁材料的应力σ、应变ε、磁场强度H和磁感应强度B(或磁化强度M)之间的力-磁耦合非线性本构关系[18]。因σ和H较ε和B易于测量与控制，一般将其本构关系用式(2)描述(H、B、M均为矢量，但用于研究磁致伸缩时，仅表示数值大小)。

(2)

3.1 无直流偏磁时的磁致伸缩

目前探究铁磁材料磁致伸缩与振动的关系的主要研究思路是先将磁致伸缩效应等效为一个磁致伸缩力，然后结合相应的力学振动方程进行求解。而对于磁致伸缩效应的等效，目前国内外尚无可用于数值计算的统一表达式，现有研究变压器铁芯磁致伸缩应变的文献，其理论基础可分为磁畴理论、现象学理论、热力学关系和弹性力学4类。

3.1.1 基于磁畴理论的磁致伸缩效应

经典电磁理论认为，铁磁材料可视为众多磁畴的组合体。为量化表征磁致伸缩效应，需首先明确磁畴结构，进而将应力与磁场强度关联，再将磁致伸缩和应力结合，最终得出磁致伸缩的数学模型。

依据能量最小原理，文献[19]推得磁致伸缩λ为M2与M4的线性组合。同时，基于内能最小原理，文献[20]推得计及磁滞影响时磁致伸缩的表达式，见式(3)。

(3)

其中，φmag为热力学内能密度Umag与磁滞能密度φhys之和；Y为各向同性条件的杨氏模量；υ为泊松比；Ms为饱和磁化强度；b为磁滞弹性耦合常数。

3.1.2 基于现象学理论的磁致伸缩效应

Preisach模型认为，由外施磁场诱发的铁磁材料Zeeman能量密度的变化将由弹性键能的变化抵消，进而使铁磁材料出现微观结构的变化，表现为铁磁材料的长度在外施磁场方向的增(正向磁致伸缩)减(负向磁致伸缩)[21]。

文献[22]基于非线性Preisach模型，并在分布函数中引入与应力σ相关的项σ(t)，进而得到磁致伸缩的Preisach模型，如式(4)所示。

(4)

3.1.3 基于热力学关系的磁致伸缩效应

基于热力学关系，文献[23]定义了单位体积Gibbs自由能G(σ，M，T)=U-TS-σε(U为单位体积内能，T为温度，S为熵密度)。为分析铁磁质本构关系的热力学表征形式，文献[24]在恒温条件下将自由能记为G(σ，M)，并将在其自然状态(σ，M)=(0，0)处进行泰勒展开，结合实验结果及有关拟合公式，推得了铁磁材料的多项式形式本构关系，如式(5)所示。

(5)

其中，μ0为真空磁导率，μ0=4π×10-7H/m。

文献[23]认为ε中M4的系数f2(G(σ，M))近似为0，并将上述应变ε的剩余两部分用3个超越函数表征，则磁致伸缩模型为：

(6)

其中，E为杨氏弹性模量；σs为最大磁致伸缩应变；Ews为畴壁移动至饱和时的磁化强度。

在文献[23-24]研究的基础上，张黎等[25]根据晶粒取向硅钢片磁致伸缩的物理机制，得到了综合考虑磁场和预应力对磁致伸缩影响、适用于晶粒取向性硅钢片的磁致伸缩本质模型，如式(7)所示。

(7)

其中，λ0(σ)和Mm(σ)为预应力σ的函数；χ为阶跃函数，当M≤Mm(σ)时，χ=0，当M>Mm(σ)时，χ=-2；λm(0)为无应力状态下晶粒取向性硅钢片达到饱和壁移磁化强度时对应的磁致伸缩。

3.1.4 基于弹性力学的磁致伸缩效应

文献[26]基于静止系统的Maxwell方程，假定电磁场对铁磁材料所做的功全部转化为应变能储并存于铁磁材料中，推得线性、各向同性铁磁介质的磁致伸缩力的体积力密度fc如式(8)所示。

(8)

其中，μ和τ分别为铁磁材料的磁导率和体积密度。

因为铁磁材料的磁导率随材料的体积密度的变化律 ∂μ/∂τ较难获得，文献[27]结合能量守恒定律，引入了弹性力学中的应变能体积密度，并结合一系列假设条件，利用最大应变能及功能转化关系，获得了任一方向的磁场力表达式，如x方向的磁致伸缩力表达式如式(9)所示。

(9)

其中，A为硅钢片表面积；Δlx为硅钢片x方向最大变形量；Tm为正弦磁场周期；ω为正弦磁场的角频率。

表1 4种磁致伸缩模型比较
Table 1 Comparison of four kinds of magnetostiction model

模型计算量依据优点缺点式(3)磁致伸缩λ磁畴理论、能量守恒定律物理基础明确所需参数多、计算复杂式(4)磁致伸缩λ现象学理论数学意义强分布函数确定困难、计算不方便式(7)磁致伸缩λ热力学定律、能量守恒定律普遍性强缺乏物理基础、不适用于复杂情况式(9)磁致伸缩力Maxwell方程、能量守恒定律物理意义明显误差较大、时变性不强

3.1.5 现有磁致伸缩研究评述

基于磁畴理论的磁致伸缩模型从磁畴层次综合了影响磁畴指向的各种因素，根据能量最小原理来确定磁化和磁致伸缩的变化规律，因此具有明确的物理基础。但该表征方法的前提是需要获得铁磁材料的b、Y、υ、φmag等相关参数，而现有变压器或铁芯的生产厂家均不能直接提供上述参数，需要用户进行系列实验并结合相关算法获得；磁致伸缩λ的推导过程也较为复杂，故该类研究结果仅用于较简单的情形或仅具理论意义。

利用基于现象学理论的磁致伸缩效应模型确定磁致伸缩的关键是明晰分布函数，通常需利用一阶、二阶回转曲线上的实验数据得出；同时，式(5)的求解涉及微分及积分运算，不太方便。

基于热力学关系的磁致伸缩效应研究从连续介质层次将内能表征为多项式或其他初等函数的形式，结合热力学关系获得了磁致伸缩效应的本构关系的具体形式，进而基于实验规律对其进行了适当简化，过程较基于现象学的模型简单，且具有普遍性。加之该模型易于与宏观的力学、磁学控制方程配合，故获得了广泛关注。但该模型亦存在部分参数获取较复杂的问题，且因未考虑内在的物理基础，对复杂情形常常无能为力。

与磁致伸缩的现象学模型和热力学模型获得的应变函数不同，弹性力学模型获得的是磁致伸缩力的函数，该模型可考虑磁准静态场和正弦交变电磁场下的磁致伸缩现象。但是该模型假设磁致伸缩力具有周期性，所以忽略了磁致伸缩力的高频部分，导致其结果较实际值大[27-28]。同时，亦有学者[29]认为，诱发铁磁材料发生磁致伸缩现象的能量中还需纳入磁交换能，但能量将难以计量进而会影响磁致伸缩力的大小。且由于该模型表征磁致伸缩效应的参数ε直接采用定值形式，导致该模型仅可计算材料的最大形变量而缺乏时变性。4种磁致伸缩模型的计算量、理论依据及特点等如表1所示。

3.2 发生直流偏磁时铁芯的磁致伸缩效应

在笔者目力所及的文献中，与直流偏磁条件下磁致伸缩效应密切相关的研究尚不多，主要集中于探索发生直流偏磁时磁致伸缩的数学模型和基于实验数据总结发生直流偏磁时磁致伸缩效应的特征两方面。

3.2.1 发生直流偏磁时磁致伸缩的数学模型

目前对发生直流偏磁时磁致伸缩效应的数学模型研究主要有2类：一类依据热力学理论，另一类基于弹性力学理论。

基于磁致伸缩的热力学模型，文献[30]认为发生直流偏磁导致变压器铁芯进入磁化特性的饱和段，使得对应于式(5)的磁致伸缩应变的表达式中增加了M的奇次项及高次项，并按照文献[24]的处理方法，将振动特性描述为式(10)。

ε′ =r1M+r2M2+r3M3

(10)

其中，r1、r2、r3为与铁芯材料有关的常数。

文献[30]在此基础上将变压器发生直流偏磁时的磁化强度等效为交直流的叠加，与式(5)联立推导出了应变的表达式，发现应变的各频率分量随直流分量的增加而增大，但不同频率分量的增幅不同。

文献[31]基于磁致伸缩的弹性力学模型，根据全电流定律将发生直流偏磁时的磁场强度表征为H=Hac+Hdc(Hac和Hdc分别为交流磁场强度和直流磁场强度)，结合弹性薄板理论，将薄板弯曲问题简化为二维问题，并用板中面的挠度表示全部应力和应变，联立式(9)得出了硅钢片的磁致伸缩力模型，如式(11)所示。

(11)

其中，v为硅钢片(薄板)挠度；x、y分别为薄板的长、宽方向变量；D0为薄板的弯曲刚度；Δlz为薄板在z方向的最大变形量；λz为薄板线应变λ在z方向的分量。

3.2.2 现有两模型的评述

文献[30]结合实验时振动信号的频谱分析对模型的有效性进行了验证，但没有给出磁致伸缩应变模型中出现M的奇次项及高次项所对应的物理本质。文献[31]的思路对研究发生直流偏磁时铁芯的磁致伸缩效应有一定的参考作用，但其基于硅钢片级的磁致伸缩模型如何应用到变压器铁芯中尚需推敲。

文献[30-31]探析了发生直流偏磁时磁致伸缩的数学模型，一定程度上推动了该项研究的进展。但文献[30]将发生直流偏磁时的磁化强度M视为交、直流分量的叠加，文献[31]将磁场强度H看作交、直流分量的和，一方面，M、H均为矢量，同时，二者不能直接测量，因此，能否将M和H的交、直流分量进行叠加尚需深入探讨，即现有研究尚有不完善之处。同时，姚缨英博士[14]在利用变压器铁芯磁化特性的双曲函数模型分析变压器励磁电流时，发现励磁电流的平均电流较与直流磁通相对应的电流大。即使如文献[30-31]所述，M、H可相应地叠加，也与文献[14]中的结果存在相互矛盾的地方。

3.2.3 发生直流偏磁时硅钢片磁致伸缩的实验研究

白保东团队在发生直流偏磁时的磁致伸缩实验方面进行了大量的工作[32-33]。文献[32]精确测量了取向硅钢片轧制方向(RD)和垂直轧制方向(TD)的磁致伸缩特性，发现直流偏磁使蝴蝶曲线的左右对称性丧失，并且磁致伸缩的饱和特性加深。为获得铁磁材料磁致伸缩与偏磁电流/磁场间的关系曲线，文献[33]利用激光位移磁致伸缩测试系统，在交变磁场和直流偏磁磁场下测试了取向硅钢片的磁致伸缩特性，将直流偏磁磁场对硅钢片磁致伸缩特性的影响进行了对比分析。

同时，文献[33]还发现随着偏磁磁场的增强，蝴蝶曲线呈逐渐恢复其原有对称性的趋势。文献[34]测量了27PHD090型无取向硅钢片在不同方向、不同偏磁电流的磁致伸缩与磁场强度间的变化情况，将磁致伸缩分为基于延展和基于力的两部分，并建立了基于延展的轧制方向和垂直方向上磁致伸缩的表达式，但没有给出对应的前提及适用范围。

综上，目前针对发生直流偏磁时磁致伸缩的实验研究还仅限于在硅钢片层面进行，而铁芯由众多硅钢片叠积而成，且存在叠积方式，如何将硅钢片中获得的相关结论推广至叠片铁芯、叠积方式等对磁致伸缩有何影响等问题尚值得深入探讨。

3.3 发生直流偏磁时电力变压器振动的实验研究

现场测试能准确反映变压器受直流偏磁影响的特征，但系统中直流偏磁出现的时间具有较强的随机性，且现场测试或影响电力系统的安全性，因此实验研究成为验证理论分析有效性的重要手段，其中直流偏磁电源的引入方式是研究人员需重点研究的问题。

3.3.1 直流偏磁电源引入方式

为便于实验和数值仿真，直流量引入方式通常有直流量(Idc或U0)与正弦电压激励源(u1)同侧引入[35]和异侧引入[36]2种，如图2所示。文献[37]比较了2种引入方式对变压器励磁电流的影响，认为同侧引入方式比异侧引入更能准确地反映GIC或HVDC的单极大地回流引起的变压器直流偏磁问题。

图2 直流量的2种引入方式Fig.2 Two modes of inducing DC bias

为研究直流偏置磁场对铁氧体磁心损耗的影响[38]，何湘宁团队建立了图3所示的测量电路以探究直流偏置磁场与磁心损耗间的关系[39]。图中的磁心上增加了第三绕组ND以通入直流电流，直流电压源与1个大电感、1个限流电阻串联，而在绕组NP上施加激励信号，由绕组Ns检测感应电压。

图3 磁损测量电路Fig.3 Core loss measurement circuit

3.3.2 直流量引入方式评述

显然，图2、3所示的直流电源的引入方式不同。前者属于电流效应，即绕组中流经直流电流时所出现的系列变化，在实验中实施较为简便；后者属于磁效应，即磁心中流过直流磁通时变压器所出现的系列变化，实验中需要第三绕组，对于已有变压器可能不太适用。虽然电流效应和磁效应之间存在一定的数量关系，但因为铁芯磁化特性的非线性，2种效应之间的等效关系尚不明确。是否还有其他直流电源的引入方式、哪种方式能更加真实地在实验中再现直流偏磁的电磁效应以及不同引入方式的本质区别等尚需甄别。笔者认为，可以从有无偏磁电流时铁芯磁化特性的变化入手，完善直流电源引入方式的评价方案，从引入偏磁电流后变压器的励磁电流、振动与噪声等方面出现的变化与实际受到直流偏磁影响的测量数据进行综合对比，即衡量不同引入方式对直流偏磁效应的复现度，进而确定可能的实验方案并制订可行的规范，这样既便于不同学者进行相关研究时所得结论间具有可比性，也有利于开展变压器承受直流偏磁的能力及直流偏磁抑制措施等工作。

4 发生直流偏磁时变压器振动研究中的关键科学问题

4.1 发生直流偏磁时铁磁材料磁化特性的通用表征

由磁致伸缩的本构关系式(2)及3.1与3.2节可知，不管是否存在直流偏磁，磁致伸缩的计算均包含B、M或H，即必须纳入铁磁材料的磁化特性，目前尚未有铁磁材料在直流偏磁条件下磁化特性的通用量化表达式。如2.1节所述，发生直流偏磁时铁磁材料的磁畴壁移和畴转均会发生变化，进而可能影响其宏观磁化特性。当前研究铁磁材料磁化现象的理论主要有：宏观磁化理论(如Preisach模型[20])；半宏观理论(如S-W(Stoner-Wolhfarth)[40]模型、Globus模型[41]和J-A(Jiles-Atherton)模型[42])；微观模型(如文献[43])。虽Preisach模型及J-A模型获得了广泛应用，如3.1节基于现象学及磁畴理论的磁致伸缩模型，但二者均未能计及直流偏置量的效应，因而尚不能直接用于直流偏磁情况下的分析与计算。

针对发生直流偏磁时的宏观磁化特性，文献[44]获得了铁芯的Ф-I曲线。但没有研究其机理方面的差异。文献[45]建立了计及涡流损耗和异常损耗的铁芯动态磁滞损耗模型，但没有考虑发生直流偏磁时铁芯磁化特性应出现的变化，致使此模型缺少通用性，且使用起来较为复杂。同时，直流偏磁时文献[45]中采用的涡流损耗和异常损耗计算公式的有效性还值得商榷。因此，探析发生直流偏磁时铁磁材料的磁化机理、建立考虑直流偏磁影响的材料磁化特性的统一模型既是准确分析发生直流偏磁时的磁致伸缩效应、建立变压器振动模型的重要前提，也是完善和发展铁磁材料磁化理论的内在驱动力之一。

结合目前的研究工作笔者认为，因磁畴理论具有明确的物理意义，可按下述步骤研究发生直流偏磁时的磁化特性：基于磁化强度的物理含义和全电流定律，推导交直流共同励磁条件下磁场强度的量化表征方式；利用郎之万函数和能量守恒定律，发展合理可逆系数条件下发生直流偏磁时磁化强度修正模型。

4.2 发生直流偏磁时磁致伸缩效应的数学模型

当前对发生直流偏磁时磁致伸缩效应的研究，是将非线性耦合的磁致伸缩本构关系在给定的偏磁场H0和预应力σ0附近进行泰勒展开，且仅保留线性项。一方面，线性化所得到的压磁模型只适用于工作点附近狭小的线性范围，其应用范围受到限定；另一方面，现有研究亦未从微观层面揭示发生直流偏磁时铁磁材料磁致伸缩的机理，更没有给出纳入直流偏磁的磁致伸缩效应表达式。

发展发生直流偏磁时的铁芯磁致伸缩数学模型是研究变压器振动及噪声特征、探析相关抑制措施的关键，同时，也是判断变压器承受偏磁电流能力、指导变压器特别是换流变的设计与安全运行的前提。如变压器承受变压器的能力研究中，加拿大咨询公司的研究结果[46]与我国现行标准[47]间尚存在不一致之处。而励磁电流法[48]与电能质量法[49]均未纳入偏磁电流对变压器振动的影响的研究中，其结论的适用范围受到限制。

如前文所述，如果能获得发生直流偏磁时铁芯的磁化特性，则可依文中的相关公式计算磁致伸缩的位移或力。考虑到磁通为标量，较为矢量的磁场强度和磁化强度易于叠加，可尝试以总磁通(直流磁通与交流磁通之和)为自变量、以磁致伸缩量或磁致伸缩力为因变量，借助Maxwell方程及能量守恒定律等理论建立磁致伸缩的数学模型。

5 结论

a. 在特高压电网建设的大背景下，我国电网中的直流偏磁现象将呈多点频发趋势，发生直流偏磁时变压器的振动问题亦将愈发引起关注。如何完善现有基于硅钢片的磁致伸缩模型及将其拓展至变压器铁芯，以指导振动的现场测试工作尚需深入研究。

b. 对发生直流偏磁时变压器的振动特征进行实验研究或检验相应理论的有效性时，应甄别直流电源的引入方式，建议采取综合复现度为准则，建立统一的实验导则，以保证实验结果的可比性与有效性。

c. 为定量表征发生直流偏磁时变压器的振动，需深入研究发生直流偏磁时铁芯的磁化特性，磁致伸缩形变或磁致伸缩力的数学模型等科学问题，进而分析发生直流偏磁时的变压器振动频谱，探索相应的抑制或调控方法以指导变压器的设计和运行，确保电力系统的安全稳定。

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