基于能量法柔性桩复合地基的沉降计算

张可能 ，吴有平 , ，何杰，刘杰，胡达 ，张云毅

(1. 中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083；2. 有色资源与地质灾害探查湖南省重点实验室，湖南 长沙，410083；3. 中国电建集团中南勘测设计研究院有限公司，湖南 长沙，410014；4. 湖南工业大学 土木工程学院，湖南 株洲，412008)

工程中常用的复合地基沉降计算是将沉降分为加固区压缩量和下卧层压缩量2部分进行计算。采用分层总和法来计算下卧层压缩量，计算值与实测值较吻合。对于加固区的计算，许多研究者提出不同计算方法获得精确结果。在刚性桩复合地基沉降计算方面，自POULOS等[1−2]采用弹性理论计算有限弹性地层桩基沉降以来，研究者不断进行修正，如：沈伟等[3]考虑了桩、土、垫层的相互作用；仇亮等[4]以剪切位移法为基础，考虑了桩周摩阻力与桩土相对位移之间满足弹塑性关系；张乾青等[5]考虑侧阻软化和端阻硬化，提出了刚性桩复合地基的沉降计算公式。在柔性桩复合地基沉降计算方面，RANDOLPH等[6]提出采用桩土相互作用系数求解沉降的半解析法；LEE[7]在此基础上提出了简单而实用的完全解析解。日本建筑工程协会(JICE)[8]对悬浮桩提出按不同增强面积比α分2种情况进行计算，但其计算值较粗略；CHAI 等[9]对该法进行改正，引入α和β函数对桩加固层进行较精确描述；ISHIKURA等[10]采用简化的应力分布比计算桩土界面处剪切力，并引入1个简单的函数描述不同工况下的计算参数，计算结果与足尺试验结果相吻合。李海芳等[11]假设土体为性弹性体，并采用ALAMGIR等[12]建议的典型单元体的位移模式，考虑桩土相互作用，提出路堤荷载下复合地基加固区压缩量的解析算法；章定文等[13]考虑桩土非等应变，提出简化的桩土应力比和桩土差异沉降两阶段模型，进而求出桩体和桩间土沉降量。ISHIKURA等[14]采用基于桩侧摩阻力的应力分布比来估算水泥土桩复合地基固结沉降。基于能量守恒原理的能量法，可以用来分析计算可变形固体的位移、变形和内力，为沉降计算提供新的思路。SHEN等[15]采用最小势能原理分析了桩群与桩帽的相互作用。郑俊杰等[16]利用参变量最小势能变分原理，推导出复合地基复合模量的解析解。刘思思等[17]建立了桩身单元的能量平衡方程及考虑桩身与土层能量传递过程的桩侧阻与端阻模型，并求解获得基桩沉降。杨雨晴等[18−19]利用能量法对基桩桩身轴力与位移进行求解，从而得到高承台桩基沉降计算方法。目前，人们对沉降计算的研究存在的主要不足是将桩或土体假设为弹性体，这显然与实际情况不符。为此，本文对桩与土体的本构关系引入非线性模型。桩土荷载的分担值是求解沉降的先决条件，直接影响计算结果，但真实桩土荷载下产生的位移使得系统总势能达到极值。本文作者采用修正剑桥模型计算桩间土的压缩量，同时引入柔性桩应力−应变特性曲线计算桩体压缩量，考虑桩侧摩阻力与桩土相对位移满足弹塑性关系建立方程，进行沉降分析计算。在对模型进行适当简化的基础上，推导出加固区桩身及桩周土能量方程表达式，建立柔性桩复合地基的系统总势能表达式，基于最小势能原理获得桩土的荷载分担比，进而计算得出加固区压缩量，为复合地基沉降计算提出一种新的计算方法。

1 复合地基计算模型

1.1 桩土相互作用模型

图1 桩土相互作用示意图Fig. 1 Schematic diagrams of pile-soil interaction

在复合地基中，褥垫层对桩土应力调整随着荷载的发展不断变化，并最终达到稳定。为分析加固区桩、土的压缩量，选取复合地基中的中心桩作为分析对象。桩土相互作用示意图如图1所示，其中：sp0为桩顶位移；sb为桩端位移；ss0为桩间土表面位移；τi为桩土之间的摩阻力；i为第i个计算单元(i=1，2，3，…，n)；σi为第i个单元底面处应力；d2为第i个单元计算长度；L为桩长；L1为卧层厚度。假设Ap为桩身截面积，As为桩间土的计算面积，d为桩径，ρp为桩体密度，ρs为桩间土体密度，g为重力加速度；并假定分析单元在荷载p作用下，中心桩所分担的荷载为桩承担荷载为pp，土承担荷载为ps。由此可得：

1.2 桩侧摩阻力计算模型

桩侧摩阻力传递模型见图 2。桩侧摩阻力与桩土间相对位移有关，通常认为桩侧阻力与桩土相对位移满足线弹性−全塑性数学模型[3]，即当桩土相对位移达到一定值时，桩侧摩阻力达到最大值。沿深度方向的各桩段的侧阻力为：

式中：si为桩身i处的相对位移，si=spi−ssi，spi和ssi分别为第i个计算单元的桩身与土体位移；τu为第i土层的极限摩阻力；su为第i土层达到极限摩阻力τu时桩土相对位移最小值；cs为第i土层的摩阻力传递系数，cs=τu/su。

图2 桩侧摩阻力传递模型Fig. 2 Frictional force transfer model of pile side

1.3 桩端阻力计算模型

对于桩端刺入下卧层尚未破坏的桩，桩端阻力与位移关系曲线可采用双折线模型模拟[5]，如图3所示。

桩端阻力可表示为：

图3 桩端阻力−桩端位移曲线Fig. 3 Pile tip resistance−displacement curve

式中：k1为第1段直线的斜率[6]；sbu为第1段直线对应极限位移，一般为(0.5%~2.5%)d，mm；k2为第2段直线的斜率，可近似通过现场实测荷载–沉降曲线反分析获得[5]；Gb和υb分别为桩端土的剪切模量和泊松比；ΔPt为桩顶荷载增量；Δst为桩顶荷载增加量 ΔPt引起的桩顶沉降增加量；Ep为桩体弹性模量；r0为桩半径。

1.4 下卧层计算模型

由于桩在复合地基中置换率较低，故忽略桩端荷载与土体相应深度处荷载差异对下卧层能量的影响。此时，桩端荷载与土体荷载相同，可以采用分层总和法来求解下卧层的沉降量。下卧层土的压缩量采用修正剑桥模型计算。

2 复合地基单元体系能量平衡方程

2.1 基本假定

加固区土体在受荷载作用时，土体颗粒压缩、滑移至平衡状态，不考虑桩周土剪切变形影响，则达到稳定时土体表面为平面。忽略单元之间的相互作用，分析单元的压缩量可以视为复合地基的压缩量。在分析典型单元体时，假定：

1)忽略桩身侧向变形对沉降的影响，在外荷载作用下桩侧摩阻力先于桩端阻力发挥。

2)桩间土为各向同性的均质体，采用修正剑桥模型。土体单元表面在初始及加载后均为平面。

3)选取的分析单元为地基中心部位，土体受荷载为单向压缩固结，无侧向位移产生。

2.2 桩身能量方程

桩身在地基中的总势能增量可分为桩身变形能Wu和由沉降引起的势能增量Wgp2部分组成，即

式中：εz为桩身应变；σz为桩身应力；mz为z处桩身质量。由桩承担的荷载最大值为极限荷载的一半，故在应力−应变曲线中为上升段，桩身应力可以用下式表示[20]：

式中：qu为桩身无侧限极限强度；εu为极限强度相对应的应变。

外力势能主要为桩顶荷载作功Wp和桩端阻力作功Wb：

式中：pb为桩端阻力。

2.3 土体能量方程

桩间土及下卧层土体采用修正剑桥模型计算。ROSCOE等[21]进一步修正了剑桥模型，认为剑桥模型的屈服面轨迹应为椭圆，其能量方程为：

式中：dE为外力作功；dWe为弹性变形能；dWp为塑性变形势；p为平均有效正应力；q为剪应力；为弹性体应变增量；为弹性剪应变增量。假设一切剪切变形是不可恢复的，则

式中：v为比体积；κ为半对数坐标系下压缩回弹曲线的斜率；为塑性剪应变增量；dp为平均有效正应力增量。修正剑桥模型的增量应力应变关系为为塑性体应变增量；

式中：λ为半对数坐标系下初始固结曲线的斜率；M为临界状态线的斜率。

修正剑桥模型屈服面的形状为椭圆形，其屈服准则为

式中：p0为q=0时的p值。

由于选取的单元不考虑侧向变形，土体沉降引起的势能增量Wgs为

式中：ms,z为z处土体质量。外力势能主要为土体表面荷载作功Ws为

3 计算流程

复合地基在外荷载p的作用下，系统的总势能Π等于桩和土体的变形能U与外力势能V之和，即Π=U+V。根据最小势能原理，当δΠ=0时，在满足已知几何边界条件的一切容许位移u，v和w中，真实位移使得系统总势能取极值。在实际计算中，桩顶荷载pp和桩间土荷载ps为未知数。为了求得荷载，采用最小势能原理进行计算，即在npos组可能外荷载pp,k和ps,k作用下，通过迭代计算出系统总势能为Πk，在npos组荷载中获得总势能极小值，则该值为真实的桩土荷载所产生。计算步骤如下。

1)将荷载按ngra级加载，则第j级(j=1，2，3，…，ngra)荷载时，桩顶外荷载为jpp,k/ngra，根据式(1)计算土体表面荷载为jps,k/ngra。

2)将桩和桩间土划分nstr层，求得桩和桩间土层计算厚度与单元体质量。

3)取第i层(i=1，2，3，…，nstr)桩进行计算，第i单元体所受外荷载为jpp,k/ngra(σ0)，将si代入式(3)计算τi，对应的桩身应力按式(2)计算。

4)桩身变形能和沉降势能分别按式(7)和(8)计算。

5)对于桩间土，i单元体所受外荷载为jps,k/ngra(σs,0)，土体应力为σs,i=σs,i−1+msg，计算p和q；根据式(17)判断是否屈服，若未屈服，则按式(15)计算能量，否则按式(12)~(14)计算；在计算土体应变时，需要对其应变进行累加。

6)第j级荷载下，桩间土势能按式(18)计算；土体的总势能为其累计值。

7)重复步骤1)~6)，j的取值从1到ngra。

8)桩和土体系统的总势能Π=Wu+Wgp−Wp−Wb+ΣdE+ΣWgs−Ws。

9)在合理范围内当Πk为最小值，则pp,k和ps,k为桩土实际荷载值，对应的压缩量即为加固区压缩量。

10)计算下卧层压缩量，可以参考桩间土的压缩量计算步骤进行。

11)加固区压缩量与下卧层压缩量之和即为复合地基沉降。

4 算例

4.1 算例1

为验证计算方法的正确性，开展室内复合地基模型试验。试验在 1个长×宽×高为 2.0 m×2.0 m×1.5 m的铁箱中进行。在箱内分层填筑软黏土，填土静置28 d后开始成桩。柔性桩采用夯实水泥土桩，桩径为75 mm，桩长为0.9 m，桩间距为2倍桩径。因不考虑土的侧向位移，故在柔性桩侧设置长约束桩，桩长为 1.5 m。先进行载荷试验，后维持最后一级荷载14.5 kPa加载近60 d。通过室内土工试验获得填土的计算参数见表1。

表1 填土的计算参数Table 1 Calculation parameters of soils

采用Maple软件分别编程计算加固区和下卧层的压缩量。在计算加固区的压缩量时，将桩和桩间土划分90层，荷载分100级加载。能量与桩荷载的关系见图4。从图4可见：当桩顶荷载为75.3 N时，系统总势能最小。

下卧层土体划分为60层，计算后下卧层沉降量为1.31 mm。沉降量计算结果见表2。由表2可知：沉降量计算值和实测值基本接近，表明本文所提出的计算方法精度较高。

图4 能量与桩荷载的关系Fig. 4 Relationship between energy and load on pile top

表2 沉降量计算值与实测值的比较Table 2 Comparison between calculated and measured settlements

4.2 算例2

由于试验填土为单一土层，为进一步检验计算方法的可靠性，采用文献[11]和[22]中的案例进行验证。宁通(宁波—南通)一级公路(南通段)引河大桥桥头和过渡段软土较厚，采用二灰土桩加固。二灰土桩的配比即生石灰、粉煤灰、土质量比为1.0:4.5:4.5，桩长L=6.0 m，直径d=0.55 m，呈三角形布置，间距和排距都为2.0 m。地基土分为4 层：第1层为亚黏土，平均厚度为2.9 m；第2层为淤泥质亚黏土，平均厚度为10.1 m；第3层为粉砂与亚黏土互层，平均厚度为15.4 m；第4层为亚黏土夹亚砂土。现场载荷试验测得天然地基极限承载力为63 kPa，成桩11个月后二灰土桩复合地基极限承载力为268 kPa。试验断面K102+990处路堤高4.76 m，容重γ=19 kN/m3，路基顶宽24.5 m，坡比为1:2。采用本文计算方法时，土体计算参数根据经验及文献[23]选取，见表3。

采用Maple软件编程计算加固区和下卧层的压缩量，将桩和桩间土划分90层，荷载分100级加载。经计算当pp=51 kN时，系统势能有最小值，计算结果见表4。由表4可知：复合模量法计算得到的加固区沉降量偏小，而采用本文方法的沉降量计算值与实测值较接近，但下卧层的计算值比实测值略偏小。

表3 土体计算参数Table 3 Parameters of soils

表4 沉降量计算值与实测值的比较Table 4 Comparison between calculated and measured settlements mm

5 结论

1)利用修正剑桥模型建立复合地基中桩间土形变能和势能计算式，根据柔性桩的非线性应力−应变关系获得桩体形变能和势能计算表达式。

2)基于最小势能原理，构造复合地基系统总能量方程并编制程序进行计算。通过2个案例进行验证，沉降量计算值与实测值较吻合，表明本文计算方法可靠。

3)修正剑桥模型参数对计算结果影响较大，因而参数的准确性决定沉降量计算的可靠性。建议选取有代表性的孔取芯进行试验，并适当增加试验次数。

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