具有混合时变时滞主从神经网络的指数采样同步控制

陈刚 ，王信 ，肖伸平 ，杜博文 ，王聪聪 ，罗昌胜

(1. 湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲，412007；2. 电传动控制与智能装备湖南省重点实验室，湖南 株洲，412007)

神经网络(neural networks)已经广泛运用于各种工程领域，如模式识别、静态图像处理、联想储存以及组合优化等[1−5]。神经网络在大规模综合电子回路的实现过程中，神经元之间的信息交互往往会产生神经元时滞现象。而此时滞往往是导致系统震荡、发散和不稳定的重要原因，因此，对时滞相关神经网络的研究具有实际与理论意义。系统中的时滞项存在许多形式，常见的有离散时滞与分布时滞。在研究时滞系统的方法中，Lyapunov−Krasovskii泛函方法以及线性矩阵不等式方法(LMI)得到广泛运用。例如，在对时滞系统稳定性的研究中，利用Lyapunov−Krasovskii泛函方法构建Lyapunov增广泛函，并对其导数进行界定，可以得到线性矩阵不等式形式的稳定性判据。至今已有许多稳定性判据被推导[6−9]。同样，在对时滞神经网络的无源性、耗散性、全局稳定性、指数稳定性以及同步性等的研究中，推导出大量线性矩阵不等式形式的判据[10−11]。基于 Lyapunov稳定性定理，可从 2个方面获得更低保守性判据：一个是构建更加合适的Lyapunov−Krasovskii泛函，另一个是利用更好的不等式界定方法，界定泛函中的交叉项。在构建Lyapunov−Krasovskii泛函时，大多采用增广泛函方法[1−6]。而在研究界定交叉项时，主要采用自由权矩阵方法[11]、积分不等式方法[12]以及凸优化方法[13]等。近年来，同步控制问题[14]被广泛研究，包括时滞反馈控制、自适应控制、模糊控制、脉冲控制以及采样控制在内的控制方法被运用于同步控制问题中。主、从神经网络同步控制同样可以利用这些控制方法，如ZHANG 等[15−17]基于线性矩阵不等式方法以及Lyapunov−Krasovskii泛函方法对混合时滞主从神经网络指数采样同步控制进行了研究，得到1个控制该神经网络同步的线性矩阵不等式判据以及可行控制器。本文作者在文献[16]的基础上，研究具有离散与分布时滞的主从神经网络指数采样同步控制问题，构建新的增广Lyapunov−Krasovskii泛函。对泛函导数进行估计，获得具有更小保守性的指数同步性判据以及可行控制器，并通过数值计算以及仿真结果证明该方法的优越性和可行性。

1 问题描述

采用如下标号：矩阵上标“T”和“−1”分别表示转置矩阵以及逆矩阵；Rn和Rn×n分别代表n维向量和n×n维矩阵；矩阵P＞0代表矩阵P是正定的；diag{b1，…，bn}表示块对角矩阵；0和I分别表示合适维度的零矩阵以及合适维度的单位矩阵；Sym{P}代表矩阵PT+P；标记“*”表示块对阵矩阵中的对称项。

考虑下面的混合时滞神经网络：

其中：x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xn(t)]T∈Rn，为t时间神经元状态向量；g(t)=[g1(t)，g2(t)，…，gn(t)]T∈Rn，为神经元激励函数向量，且有g(0)=0；C=diag{a1，…，an}，是 1 个正定对称矩阵；A=(aij)n×n，B=(bij)n×n，D=(dij)n×n，表示连接权矩阵；V(t)=[V1(t)，…，Vn(t)]T，为外部输入向量；d(t)和τ(t)分别表示离散时滞与分布时滞，并且满足以下条件：

其中：d，τ和μ都为常数。

假设 1[16]：系统(1)中的激励函数gi(.)是连续的且满足

其中：S1≠S2；Fi¯和Fi+为已知实恒定值。

设定系统(1)是主系统，则系统(1)的从系统可以写成以下形式：

其中：C，A，B和D与系统(1)中等价；u(t)∈ Rn，为合适的控制输入。

据文献[1−5]，通过定义误差信号为r(t)=y(t)−x(t)，误差系统可以写成以下形式：

其中：f(t)=g(y(t))−g(x(t))。必须指出的是，f(t)依赖于y(t)和x(t)，这里用f(t)代替f(x(t)，y(t))。

假设控制信号由零阶保持函数发生，其保持以下时间次序：

则状态反馈控制器可以写成以下形式：

其中：K为采样反馈控制增益矩阵；tk为第k个采样时间，且满足当k趋向于无穷大时，tk也趋向无穷大；r(tk)表示tk采样时刻状态向量r(t)的离散值。

其中：h为正标量，代表最大采样间隔。

将(5)代入系统(4)，可以得到下面误差系统：

这里，引入指数同步性的概念。

注释 1：设mk=t−tk，mk+1=tk+1−t，据式(6)可以得出在系统(7)中，有 0≤mk＜h，0＜mk+1≤h。又因为mk和mk+1是关于t的一次函数，所以，有

或者

定义 1：若误差系统(7)是指数稳定的，则主系统(1)与从系统(3)指数同步。换言之，存在 2个常数ρ＞0，α＞0，

其中：

引理1[17]：对于所有对称正定矩阵X及可积函数{w(s)|s∈ [α,β]}，满足

引理 2[18]：对于任意向量w1和w2，正定对称矩阵X，任意合适矩阵S以及标量β∈(0，1)，当条件成立时，有

引理 3[19]：对于任意正定对称矩阵X，2个标量β>α>0以及可积函数w(s)，有

引理 4[17]：存在合适维度的矩阵Ω1，Ω2和Ω3，其中Ω1是对称矩阵，Ω2是对称正定矩阵，则有

当且仅当或者时成立。

2 主要结果

定义：

定理1：在条件(C1)下，给定正常数d和τ以及常数γ和μ，若存在正定对称矩阵P∈Rn×n，Pa∈R2n×2n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=2，3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，对称阵Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定对角阵Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有以下矩阵不等组成立：

其中：

则主系统(1)与从系统(3)是指数同步的，其衰减率为α。另外，据系统(7)中的可行控制增益矩阵求得K=G−1L。

证明：构建下面的增广泛函：

其中：

对V(t)求导，可得

其中：

根据引理1，可知

这里，引入2个零项等式：

又根据引理1和引理2，并将式(17)和(18)中的积分项代入，根据文献[8]中的推理，可得

其中：

由引理3，可得

运用自由权矩阵方法，对任意适合维度的自由矩阵H，有下面的不等式成立：

其中：

故可得

根据误差系统(7)，对于任意合适的矩阵G，L以及标量γ，有

同时，根据不等式(2)，对于任意i=1，2，…，n，有

对于合适维度的正定对角矩阵V1和V2，可得

根据引理4，式(14)和(15)等同于t∈[tk,tk+1)。

根据文献[16]，当P＞0以及式(9)成立时，存在充分小的正标量δ和σ，有

因此，系统(7)是指数稳定的，其衰减率为α。根据定义1，主系统(1)与从系统(3)是指数同步的。其指数同步率为α。证毕。

注释2：无法直接用Matlab计算。由计算结果以及注释1，已知是关于mk或mk+1的一次函数，因此，求解等同于求

其结果见式(14)与(15)。

注释3：引理2中β的取值并不影响时滞d(t)的取值，因此，d(t)可以等于0或者d。

定理2：在条件(C2)下，给定正常数d和τ以及常数γ和μ，若存在正定对称矩阵P∈Rn×n，Pc∈R4n×4n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=2，3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，对称阵Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定对角阵Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有下面不等式组成立：

其中：Γ(h)，Φ，Ψ1，Ψ2，Ψ，Ξ，Π1，Π2和Pa在定理1中定义，且

则主系统(1)与从系统(3)是指数同步的。另外，据系统(7)中的可行控制增益矩阵求得K=G−1L。

证明：构建以下增广泛函：

其中：V1(t)，Vi(t)(i=3，…，12)在定理1中被定义。同理，可以证明定理2的结论。

注释4：在条件(C2)下，无法直接用Matlab计算。因为对是一次函数，所以，可同时计算时的2种条件。

当系统没有分布时滞时，神经网络(1)和(3)可以写成下列形式：

同样地，误差系统(4)可写成

根据定理1与定理2，并将增广泛函中的V7(t)去掉，可以得到下面2个定理。

定理3：在条件(C1)下，给定正常数d以及常数γ和μ，若存在正定对称矩阵P∈Rn×n，Pa∈R2n×2n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，对称阵Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定对角阵Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有下面不等式组成立：

其中：Γ(h)，Φ，Ψ1，Ψ2，Ψ，Ξ，Z2和τ在定理1中被定义，且

则主系统(21)与从系统(22)是指数同步的，其衰减率为α。另外，系统(23)中的可行控制增益矩阵求得为K=G−1L。

定理4：在条件(C2)下，给定正常数d以及常数γ，μ，如果存在正定对称矩阵P∈Rn×n，Pc∈R4n×4n，Pb∈Rn×n，Qi∈R3n×3n(i=1, 2)，Z1∈R3n×3n，Zi∈Rn×n(i=3，4)，M∈Rn×n，U∈R3n×3n，对称阵Yi∈Rn×n(i=1，2)，X5∈Rn×n，正定对角阵Vi∈Rn×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R2n×2n，H∈R3n×5n，Xi∈Rn×n(i=1，2，3，4)，G∈Rn×n，L∈Rn×n，且有下列不等式组成立：

其中：Γ(h)，Φ，Ψ1，Ψ2和Ψ在定理1中被定义，Ξa，Z2和τ在定理2中被定义，且

则主系统(21)与从系统(22)是指数同步的，其衰减率为α。另外，系统(23)中的可行控制增益矩阵求得，为K=G−1L。

3 仿真实例

例 1 考虑系统主系统(1)与从系统(3)以及下列参数：

假设d=1，τ=0.5，γ=0.15，μ=0.25，F1−=F2−=0 和F1+=F2+=1。利用定理1与定理2，得到在不同采样间隔h下的最大允许α，其计算结果见表1。与文献[15]和文献[16]中结果相比，可知本文方法具有更小的保守性。

利用定理2，当h=0.1，α=0.796 7时，利用Matlab工具箱可以计算得到1个可行增益控制器：

表1 例1中不同h下的最大允许αTable 1 Maximum allowed α for different h in Example 1

例2 考虑系统主系统(21)与从系统(22)以及下列参数：

假设激励函数g1(s) =g2(s) = tanh(s)，以及d=1，τ=0.5，γ=0.15，μ=0.25，F1−=F2−=0 和F1+=F2+=1，利用定理3与定理4，得到在不同采样间隔h下的最大允许α，其计算结果见表2。与文献[16]对比，可知本文方法具有更小的保守性。

利用定理4，当h=0.1，α=0.807 6，离散时滞d(t)=(et/et+1)，初始状态为x(t)=[0.6，0.7]T，y(t)=[0.8，0.5]T，t∈[−1，0]时，可以得到1个可行增益控制器：

无控制输入时的状态轨迹见图 1。根据上面的增益控制器，控制输入(5)以及误差系统(23)的响应曲线分别见图2和图3。从图2和图3可见：主系统(21)与从系统(22)在该控制器下是同步的。

表2 例2中不同h下的最大允许αTable 2 Maximum allowed α for different h in Example 2

图1 例2中无控制输入误差系统(23)的状态响应Fig. 1 State response of error system (23)without control input in Example 2

图2 例2中控制输入u(t)与时间t的关系Fig. 2 Relationship between control inputu(t)and time in Example 2

图3 例2中误差系统(23)的状态响应Fig. 3 State responses of error system (23)in Example 2

4 结论

1)运用神经网络建模，并将其与计算机系统相结合，能够解决很多工程领域的难题，如模式识别问题、联想储存、工程优化问题等。

2)利用 Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及构建新的增广泛函，得到具有更小保守性的线性矩阵不等式形式的指数同步控制判据。并且通过比较系统在(C1)与(C2)2种情况下的最大允许时滞，当考虑到更多时滞信息的情况下，所获得的稳定性判据具有更小的保守性。数值算例及仿真结果证明了此方法的优越性与可行性。

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