高低轨双星时频差无源定位精度

狄 慧，潘金波，张国强，赵庆广

(1. 上海卫星工程研究所，上海 201109； 2. 上海机电工程研究所，上海 201109)

0 引言

目标辐射源定位精度是评价无源定位算法的重要指标。传统的卫星无源定位算法与采用的定位体制及卫星轨道高度密切相关，时频差定位是常用的定位体制[1-2]。通常高轨定位精度相对较差，低轨定位精度在千米量级，要显著提升定位精度，将会对载荷参数测量精度、星间同步，以及卫星的轨道、姿态控制精度提出较高的要求，短期内难以取得突破性进展。

高低轨联合定位在定位精度方面的优势逐渐被研究人员发现[3-5]。传统的星座定位体制中，多颗卫星通常位于同一轨道或者轨道高度一致的不同轨道面。处于不同轨道高度的卫星在共视的前提下能够提供较大的距离差，地面辐射源到达两星的时差(TDOA)值较大，且由于轨道高度差异越大，两星的运动速度差异越大，地面辐射源相对两星的径向速度差就越大，到达两星的信号频率差(FDOA)值较大。在相同的测量误差条件下，参数值越大，测量误差所占比例越小，误差造成的影响越小。随着两星轨道高度差的增大，上述变化越显著，定位精度大幅度提高。文献[3]在分析低轨双星时频差定位、低轨三星时差定位的基础上，给出了高低轨三星联合时差定位、高低轨联合时频差定位结果。文献[4]分析了太阳同步轨道高低轨双星、地球同步轨道太阳同步轨道双星、地球同步轨道准同步轨道双星3种不同轨道高度组合对定位结果的影响。文献[5]分析了高低轨双星时频差参数的时变特性及估计方法。上述高低轨联合定位类文献未具体分析双星相对位置关系、参数测量精度、高低轨卫星位置速度精度等参数对定位结果的影响。本文主要分析高低轨双星联合定位系统。采用时频差定位体制，分析高低轨双星时频差定位误差分布理论公式，时频差测量方法及能达到的理论精度，并通过仿真分析高低轨双星位置关系(包括卫星轨道高度差、倾角差、相对位置)、载荷参数测量精度、卫星轨道位置、速度测量精度等因素对定位精度的影响，为工程实现提供理论依据。

1 高低轨双星时频差定位原理

针对“地面”固定目标辐射源，可假设高程已知，即位于一个半径确定的球面上，显然在地球表面用WGS-84模型来描述相对正球面更精确，但得出的方法和结论和用正球面很相近。为简化运算，文中采用正球面模型，地心坐标系，高轨卫星选择地球静止轨道。设地面辐射源目标位于[xyz]T，正球体地球模型半径为R，在辐射源位置有以下方程成立

x2+y2+z2=R2

(1)

通常情况下，卫星自身的位置、速度均能通过GPS或航天测控等系统测定。高轨卫星s1测定得坐标[x1y1z1]T，低轨卫星s2测定得坐标[x2y2z2]T，运动速度分别为：v1=[vx1vy1vz1]T，v2=[vx2vy2vz2]T，静止轨道卫星排除轨道涉动因素近似静止，即v1≈[0 0 0]T。地面辐射源至卫星的距离为

(2)

对式(1)微分，地面辐射源相对两星的径向速度为

(3)

时差和频差(径向速度差)方程为

(4)

式中：Δr为信号到2颗卫星的波程差；c为光速；Δt为信号到达2颗卫星的时差；Δvr为目标相对2颗卫星的径向速度差；Δfd为多普勒频差；λ为波长。

联立式(1)和式(4)，采用数值解或者解析均可得到辐射源位置坐标[xyz]T，实现高低轨双星时频差无源定位[6-8]。

2 高低轨双星时频差定位误差分析

双星时频差定位中，影响定位精度的误差量主要有时差估计误差dΔt、频差估计误差dfd以及各个卫星位置测量误差[dxidyidzi]T(i=1，2)、低轨卫星速度的测量误差[dvxdvydvz]T。对式(4)中第1个方程在目标坐标位置[xyz]T处进行微分，可得

(gx1-gx2)dx+(gy1-gy2)dy+(gz1-gz2)dz=

dΔr+(gx1dx1-gx2dx2)+

(gy1dy1-gy2dy2)+(gz1dz1-gz2dz2)

(5)

(cx1-cx2)dx+(cy1-cy2)dy+(cz1-cz2)dz=

dΔvr+(cx1dx1-cx2dx2)+(cy1dy1-cy2dy2)+

(cz1dz1-cz2dz2)+(gx1-gx2)dvx+(gy1-gy2)

dvy+(gz1-gz2)dvz

(6)

将式(1)在目标点[xyz]T处进行微分运算，可得

xdx+ydy+zdz=RdH

(7)

式中：dH为目标辐射源的高程误差，dH=dR。可以把式(5)～(7)写成矩阵的形式为

Cds=dz+u·ds1-v·ds2+w·dv

(8)

式中：

RS= E[dsdsT]=C-1(RZ+uRS1uT+

vRS2vT+wRvwT)(C-1)T

(9)

定位误差分布(geometric dilution of precision，GDOP)为

(10)

式中：tr(RS)为矩阵RS的迹。

3 时频差测量方法及精度分析

3.1 时频差测量方法

估计辐射源信号到达高低轨卫星的时差和频差，常用的方法是通过星间链路将其中1颗卫星采集的数据传递到另一颗卫星，或者2颗卫星都将采集的数据下传至地面。采用互模糊函数法估计时差和频差[9-12]。

设高低轨2个卫星接收机X和Y接收到的信号分别为

(11)

式中：s(t)为地面辐射源目标信号；A，Δt，Δfd分别为接收机Y相对于X接收到目标信号的相对幅度、时差以及频差；nx(t)，ny(t)为均值为0的白高斯噪声，且相互独立。

接收信号x(t)和y(t)的互模糊函数定义为

(12)

式中：T为积分时间。对接收信号以采样频率fs(采样周期T=1/fs)进行离散化，令τ=mTs，N=T/Ts，f=kfs/N，则互模糊函数离散形式为

(13)

通过搜寻|R(m,k)|的最大值可以估计出时差和频差。互模糊函数法时频差估计是一个二维的运算和搜索过程。为了达到要求的参数估计精度，数据积累长度通常在几百毫秒以上。

在高、低轨双星定位系统中，参数变化范围大，这给相关处理和峰值搜索带来了巨大的运算量。由于目标信号具有突发性和时短特性，必须提高处理速度，达到准实时的定位。

3.2 时频差测量误差

根据信号理论，时差、频差测量的标准误差下限[13]为

(14)

式中：B为信号带宽；Bn为接收机噪声带宽；T为信号积累时间；γ为测量系统信噪比，有

(15)

式中：γ1，γ2分别为两路接收信号的输入信噪比。

4 仿真验证及结果分析

以地心为原点，地心至静止轨道卫星连线为Z轴方向，东经方向为X轴方向，北纬方向为Y轴方向建立坐标系进行仿真分析。

4.1 双星相对位置对定位精度的影响

设置仿真1分析双星之间相对位置对定位精度的影响。相对位置关系影响因素主要有：轨道高度差、轨道倾角差。当轨道高度和轨道倾角确定后，在运行过程中双星的相对位置随着时间的推移而时刻变化。从这三个方面分别设置仿真1-1，1-2，1-3对定位精度分别进行分析。

仿真1-1 轨道确定，不同时刻定位精度对比。仿真条件如下。

1) 低轨卫星位于轨道高度HL为600 km；

2) 低轨卫星轨道倾角i为0°；

3) 时差测量精度σΔt为100 ns；

4) 频率差测量精度σΔfd为10 Hz，以信号载频6 GHz为例，对应速度差测量精度为0.5 m/s；

5) 低轨卫星位置测量精度σL为10 m，速度测量精度σvL为0.1 m/s，高轨卫星位置测量精度σH为100 m；

6) 仿真时刻为低轨卫星在高轨卫星正下方，即低轨卫星和地心连线与高轨卫星和地心连线夹角α为0°。GDOP仿真结果如图1所示。

图1 高低轨双星时频差定位误差分布图Fig.1 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA

低轨卫星从静止轨道卫星下方飘过，沿X轴正向运动，根据低轨卫星与地心连线和高轨卫星连线夹角不同进行仿真，将第6项低轨卫星和地心连线与高轨卫星和地心连线夹角设置为30°时，高低轨双星时频差定位结果仿真如图2所示。

图2 高低轨双星时频差定位误差分布图(α=30°)Fig.2 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (α=30°)

仿真结果表明：低轨卫星在高轨卫星下方时定位精度最优，随着低轨卫星的运动，低轨卫星与地心连线和高轨卫星与地心连线的夹角逐渐增大，最优精度定位区域逐渐缩小，高轨卫星一侧定位精度相对较高，另一侧受地球曲率的影响定位精度加速变差。

仿真1-2 轨道倾角及仿真时刻确定，低轨卫星不同轨道高度的定位精度对比。仿真条件相比仿真1-1，仅第1项低轨卫星轨道高度HL设置为1 200 km，其余相同。图3给出仿真结果。

图3 高低轨双星时频差定位误差分布图(HL=1 200 km)Fig.3 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (HL=1 200 km)

将图3对照图1，仿真结果表明：高低轨卫星的轨道高度差越大，定位精度越高，即低轨卫星的高度低有利于高精度定位。但在天线性能一定的情况下，低轨道带来覆盖区域小问题，降低了卫星效率，需综合考虑定位精度和覆盖区域因素设计低轨卫星高度。

仿真1-3 低轨卫星轨道高度及仿真时刻确定，低轨卫星不同轨道倾角的定位精度对比。仿真条件相比仿真1-1，仅第2项低轨卫星轨道倾角i设置为30°，其余相同，GDOP如图4所示。

图4 高低轨双星时频差定位误差分布图(i=30°)Fig.4 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (i=30°)

对照图4和图1，可以看出，高低轨双星时频差定位在低轨卫星速度方向及其延长线上定位精度较差，存在定位盲区。

4.2 参数测量精度对定位精度的影响

设置仿真2分析参数测量对定位精度的影响。高低轨联合双星时频差定位涉及到的测量参数主要是辐射源到达两星的时差和频差，从这两个方面分别设置仿真2-1，2-2进行分析。

仿真2-1 高低轨卫星相对位置以及频差测量精度确定，不同时差估计精度对比。仿真条件相比仿真1-1，仅第3项时差测量精度σΔt设置为500 ns，其余相同，仿真结果如图5所示。

图5 高低轨双星时频差定位误差分布图(σΔt=500 ns)Fig.5 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (σΔt=500 ns)

仿真2-2 高低轨卫星相对位置以及时差测量精度确定，不同频差估计精度对比。仿真条件相比仿真1-1，仅第4项频率差测量精度σΔfd设置为50 Hz，其余相同，以信号载频6 GHz为例，对应速度差测量精度2.5 m/s，仿真结果如图6所示。

图6 高低轨双星时频差定位误差分布图(σΔfd=50 Hz)Fig.6 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (σΔfd=50 Hz)

分别将图5、图6与图1对照，可以看出，和同轨双星时频差定位相同，频差的测量精度对定位结果影响较大，必须重点控制频差参数的测量精度。表1中列出了低轨卫星星下点±2 000 km范围内，不同定位精度对应的时频差测量精度。

表1 低轨星下点±2 000 km范围内不同定位精度对应的时频差估计精度

4.3 卫星位置、速度测量精度对定位精度的影响

设置仿真3分析卫星位置、速度测量精度对定位精度的影响。卫星的位置、速度测量精度主要受目前测定轨能力限制，低轨卫星利用导航系统测定轨精度相对较高，静止轨道卫星由于非标称轨道引起的轨道细微变化会对测定轨带来不小的误差。

仿真3 高低轨卫星的相对位置以及参数测量精度确定，卫星不同测定轨精度对比。仿真条件相比仿真1-1，仅第5项低轨卫星位置测量精度设置为20 m，速度测量精度设置为0.2 m/s，高轨卫星位置测量精度设置为200 m，其余相同，仿真结果如图7所示。

图7 高低轨双星时频差定位误差分布图 (σL=20 m，σvL=0.2 m/s，σH=200 m)Fig.7 GDOP of high and low orbit dual-satellite geolocation by using TDOA and FDOA (σL=20 m，σvL=0.2 m/s， σH=200 m)

对比图1和图7，在目前的卫星自身定位及测速精度[14]下，对定位精度的影响不大。

5 结论

本文分析了高低轨卫星无源定位精度相对同轨卫星定位精度大幅提高的原理，从理论推导和仿真验证两方面研究了高低轨双星时频差定位精度的影响因素。在高轨地球同步轨道定点位置选择时，参照仿真1-1两星相对卫星关系影响结果，高轨星下点区域(除去低轨卫星运动轨迹星下点部分)定位精度较高，高轨卫星应定点在关注区域。在设计低轨轨道时，也应充分考虑两星相对位置导致定位精度的变化，使定位精度优的位置覆盖在关注区域；依据仿真1-2低轨卫星不同轨道高度对比结果，定位精度和低轨卫星轨道高度成反比，而卫星覆盖区域和轨道高度成正比，低轨卫星的轨道高度设计必须统筹考虑卫星覆盖范围和定位精度；参照仿真1-3低轨卫星有一定倾角结果，低轨卫星的倾角设计除考虑遍历性外还应关注缩短盲区覆盖区域时间。根据仿真2-1和2-2中系统时频差参数估计精度对定位精度的影响结果，按照目前载荷达到的时频差参数估计精度，可以进行系统指标分解，以此约束高低轨之间时统、频统精度，根据影响显著性，重点关注频差参数估计和双星间频率统一精度。仿真3中高低轨卫星位置、速度估计误差对定位精度的影响亦能反推对地面测控或导航卫星的定轨精度。分析结果可为工程应用提供参考依据。

[1] HO K C, LU X, KOVAVISARUCH L. Source localization using TDOA and FDOA measurements in the presence of receiver location errors: analysis and solution [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(2): 684-696.

[2] YEREDOR A, ANGEL E. Joint TDOA and FDOA estimation: a conditional bound and its use for optimally weighted localization [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(4): 1612-1623.

[3] 林肖辉, 王玉林. 高低轨卫星联合定位研究[J]. 无线电通信技术, 2014, 40(6): 40-42，68.

[4] 顾黎明, 朱建丰. 不同轨道高度双星时/频差高精度定位性能研究[J]. 通信对抗, 2014(3): 23-26.

[5] 杨宇翔, 夏畅雄, 同武勤. 高低轨双星定位中的时变时频差参数估计[J]. 信号处理, 2012, 28(10): 1465-1474.

[6] HO K C, CHAN Y T. Geolocation of a known altitude object from TDOA and FDOA measurements[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1997, 33(3): 770-783.

[7] PATTISON T, CHOU S I. Sensitivity analysis of dual-satellite geolocation [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2000, 36(1): 56-71.

[8] 郭福成, 樊昀. 双星时差频差联合定位方法及其误差分析[J]. 宇航学报, 2008, 29(4): 1381-1386.

[9] 孙正波, 叶尚福. 利用互模糊函数实现卫星干扰源定位[J]. 电波科学学报, 2004, 19(5): 525-529.

[10] 朱伟强, 黄培康, 张朝. 基于互模糊函数的时差频差估计算法及实现途径[J]. 南京理工大学学报(自然科学版), 2009, 33(4): 511-515.

[11] ULMAN R, GERANIOTIS E. Wideband TDOA/FDOA processing using summation of short-time CAF’s [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1999, 47(12): 3193-3200.

[12] LEE Y K, LEE C B, YANG S H, et al. Evaluation of performance enhancement on CRLB of CAF under multiple emitters [J]. Electronics Letters, 2016, 52(3): 235-237.

[13] STEIN S. Algorithms for ambiguity function processing[J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1981, 29(3): 588-599.

[14] 罗达, 宋效正, 沈毅力, 等. 基于地标的静止轨道遥感卫星测定轨技术研究[J]. 上海航天, 2015, 32(3): 42-46.