关于初中数学课题学习的几点思考

姜红梅

摘 要：組织课题学习研讨活动能促进教师深入反思教法，强化对专业知识的领悟。数学课题活动能有效引导师生共同思考如何建立高度概括并揭示本质的数学模型；突破思维难点、提升思维水平；解决实际问题，积累实践经验。

关键词：初中课题；模型；素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）11-0034-04

《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《课标》）中将初中阶段的课程内容分为：“数与代数” “图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四部分，其中“综合与实践”内容的设置目的在于训练学生综合运用知识与方法解决有关的实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。人教版教科书在每章后面设置了一项内容——“数学活动”，但在实际教学中一些老师对这部分内容不够重视，经常忽略“数学活动”及“课题学习”等内容对学生学习品质的升华功能，使得此部分授课环节处理得比较草率。笔者就“如何开展数学课题学习”主题以同课异构和评课研讨的形式，对人教版八年级上册“13.4课题学习——最短路径问题”进行了较细致的探究，并将几点反思整理出来，以期得到同行的指正。

思考一：如何建立数学模型？

问题一（将军饮马问题）：相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A城堡出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B城堡，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

抽象过程：两个城堡是两个位置，所以抽象成点A和点B ，笔直的河岸抽象成直线l。问题转化为：如图1，点A， B在直线l同侧，点P是直线l上一动点，当点P在什么位置时，PA+PB最小？

问题二（造桥选址问题）：如图2，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

教材中的抽象过程体现得非常好，可以直接用。A和B两地在一条河的两岸，已经抽象为两点，把河的两岸看成一对平行线a和b，桥MN是垂直于两条平行线的，问题转变为只需解决：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？

实际问题转化成数学问题时要体现抽象过程，数学抽象是舍去物理属性从而得到数学研究对象的学科素养。就本例而言，某个位置用点表示，笔直的河岸、公路等用直线表示，有一定宽度的河流用一组平行线表示等；抽象思维要返回原来的实际问题，明确事物的数学本质是什么，进而以数学模型概括表示，从而高效地运用已知的数学知识分析和解决问题。

思考二：如何突破学习难点？怎样在课题学习中提高思维能力？

如本节课的难点在于，利用对称和平移的方法解决问题，以及证明线段和最小。

1.为什么作对称点？怎么想到作对称点的方法？

如图3，不改变距离和PA+PB的情况下，如何将直线同侧的两点转化成异侧的两点，不妨将点B固定，即不改变PB，将点A进行处理，即对PA进行等量代换，得到PA′——以点P为圆心，以PA为半径的圆上各点到点P的距离都等于PA，是不是圆上任意一点都可以是A′，当然不行！为什么不行？因为无论点P在直线l上的哪个位置，必须始终保证PA′=PA。

在教学中有些教师处理这个问题的方法是让学生进行小组讨论，再找一个会做的（或提前预习过的）学生展示自己的作法，然后教师就可以对此进行后续的证明。是的，作对称点之后解决了线段和最小的问题，但关键是怎么想到作对称点的呢？笔者曾就这个问题与其他教师进行过讨论，最后可将问题总结为“在点A和直线l的位置确定的条件下，在直线l的另一侧确定一点A′，使得对于直线l上的任意一点P，都有PA′=PA″。如图4，对于直线l上的任意一点P，都有PA′=PA，从而确定最后解决方案为：作点A的关于直线l的对称点A′。

2.如何证明线段和最小？

在以往的教学过程中鲜见证明线段和最小的例子，缺乏解决问题的经验，因此，应该让学生有个认识过程。可以在直线l上先任选一点P′，连接P′A，P′B，通过测量等方法验证PA+PB

以上过程中，学生经历了由浅入深的认识过程，经历了观察、实验、探究、归纳、推理的过程，先有实验归纳，再有推理论证，将实验几何与论证几何有机结合，推理论证在培养学生逻辑思维能力方面起着重要作用，而几何实验则是发现几何命题和定理的有效途径，在培养学生的直觉思维和创造性思维方面起着很大作用。最后进行方法归纳：遇到类似的最值问题都可以这样处理。

3.分别作点A、B的关于直线l的对称点，得到的点P位置是相同的吗？

在教学中，一般是作点A的关于直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，点P即为所求。若有学生作点B的关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求。老师会说都对，这样作出来的点P位置是相同的。为什么相同？没有人问，也没人解释，就这样过去了。

重新审视一下这个问题：如图5，先作点A的关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P。再证明作点B的关于直线l的对称点B′，连接AB′经过点P。这相当于一个三点共线的问题。

证明思路1：作点B的关于直线l的对称点B′，连接PB′，

∵点A，点A′关于直线l对称，点B，点B′关于直线l对称，

∴∠APC=∠A′PC

∠BPD=∠B′PD

∵∠A′PC=∠BPD

∴∠APC=∠B′PD

∵∠APC+∠APC=180°

∴∠B′PD+∠APC=180°

即A，P， B′在同一条直线上.

证明思路2：延长AP到B′，使PB′=PB，易证∠BPD=∠B′PD，利用等腰三角形三线合一的性质，证出点B，点B′关于直线l对称。

以上两种方法中，简单地说，思路1是作B与B′对称，证A，P，B′三点共线；思路2是作A，P，B ′三点共线，证B与B ′对称。这个一题多解问题还是值得带领学生研究的.

4.思维拓展

题1：如图6，点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使∠APC=∠BPD.

光行最速原理：光线所行进的“光程”最短。光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短。由于在同一媒介中传播，即光线行进的路程最短。这是物理学科的一个原理，其证明过程就是“将军饮马问题”的证明过程，可见数学学科是基础性的学科，也体现了学科之间的联系。

题2：如图7，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。

这是将“将军饮马问题”中的一条直线换成了两条直线，解决问题的思路与原问题类似，只是需要作两次轴对称变换。

题3：如图8，已知A（1，-1），B（6，-3），點M，N在x轴上且MN=2，求AMNB的最短路径.

这是将问题放在了坐标系中，通过坐标系确定了已知点和已知直线的位置，便于计算线段长。但是解决问题的方法与前面的“造桥选址问题”类似，通过平移和轴对称变换将问题解决。

以上问题是对教科书上两个典型问题的运用和巩固，都是通过轴对称和平移等变换，把问题转化为“两点之间线段最短”的问题，渗透了化归思想。

……

在进行这样的教学活动时，教师是不是应该对问题有个全面的清晰的认识？设计数学活动或进行课题学习时，给学生充分的时间，让学生有自己的体验和认识，找出研究问题的方法，进而进行思考和行动。

思考三：数学活动和课题学习到底要学生学会什么？

“数与代数” “图形与几何” “统计与概率”的内容，师生都很重视，教学目标、学习目标都比较清晰；而作为“综合与实践”部分的数学活动和课题学习等相关内容，在实际教学中处理时，教学目标不是很清晰。

以三角形一章后面的数学活动“镶嵌”为例来说，解决问题要用到多边形的内角和公式，通过这个数学活动，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。

这个活动可按照三个层次的实验来设计：1.只用一种正多边形进行镶嵌，发现正三角形、正方形、正六边形可以，正五边形和其它正多边形不行；2.只用两种正多边形进行镶嵌；3.只用一种任意形状的三角形、四边形、五边形……进行镶嵌。记录实验结果、观察实验结果、解释实验结果，一方面使所学内容（多边形的内角和公式）得到巩固和运用，更重要的是在这样的数学活动中，学生学会了研究问题的方法，思维能力得到很好的发展。表面上看，数学活动是对某个知识点的巩固和运用，可是从深层次来思考，它的作用远远不仅于此。

《课标》中强调：积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口；重在综合是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。在日常备课时多思考，学生认识事物需要一个过程，在一些教师认为简单的地方，不要想当然地以为学生也都明白。多问几个“为什么”，思考知识、方法背后隐藏的能力、素养等，才能真正落实《课标》的要求。