创建数学模型渗透数学思想———《鸽巢问题》教学设计

陈海晓

（本文作者系朱乐平名师工作站“一课研究”组成员）

【主题与背景】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有2人的出生月份相同。这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人）。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”，也称为“鸽巢原理”。人教版六年级下册第五单元数学广角，就安排了与此内容相关的三个例题，其中例1和例2旨在感悟“鸽巢原理”的一般模型，例3是“鸽巢原理”的具体应用。本案例描述的是例1和例2的内容，即通过具体问题，借助实际操作，让学生感悟和理解“鸽巢原理”，并在理解“鸽巢原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，进一步体会数学证明的雏形，为以后学习较严密的数学证明做准备。在设计本课教学预案之前，自我提问：“在多样的实际问题中如何抽象‘鸽巢问题’的一般模型？”“如何让学生从枚举法说理逐步走向假设法说理，感受数学证明的雏形？”“在解决问题和说理中如何让学生逐步感悟和抽象‘鸽巢原理’？”带着这些问题的思考，笔者对这节课有了以下的教学设计。

【教学过程】

一、探究“枚举法”和“假设法”两种策略

1.出示问题，理解题意。

（1）出示问题：把 4支铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里放进至少2支铅笔。你认为说得对吗？

（2）理解关键词“总有一个文具盒”和“至少2支”的含义。

预设：“总有一个文具盒”意思是一定有一个文具盒；“至少2支”意思是2支或2支以上。

【设计意图：理解题意是学生后续判断和“说理”的关键，对关键词“总有”和“至少”的理解是学生理解题意的难点，所以把关键词突显出来让学生进行独立解读，有利于后续目标的达成。】

2.判断并尝试说理。

你认为这句话对吗？把你的想法用摆一摆、画一画、写一写的方式表示出来。

【设计意图：让学生经历“数学证明”的过程，借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”，为枚举法和假设法两种说理思路的产生做铺垫。】

3.汇报。

（1）感悟枚举法说理的思路。

预设1：把每种放法一一例举出来。

板书：（，0，0）（，1，0）

（，2，0）（，1，1）

（请一位学生汇报后，课件具体演示）

结论：不管哪一种放法，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。

（2）感悟假设法说理的思路。

预设2：假设每个铅笔盒中先各分一支，最后这一支无论放在哪里，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。

板书：（，1，1）

（请一位学生汇报后，课件具体演示）

教师引导反思：你只假设了一种摆法，就证明这句话是对的，其他方法为什么不用再一一例举了呢？

预设：平均分可以使最多的铅笔盒里的笔尽可能的少，即做了一个最坏的打算，这样分都有一个铅笔盒里有2支，那么其他分法肯定有一个铅笔盒里的笔是大于或等于2的，所以就不用再一一例举了。

【设计意图：结合实物的直观演示，让学生从枚举法说理逐步走向假设法说理，通过不同的说理方式体验数学证明的雏形。】

4.比较“枚举法”和“假设法”两种说理策略。

“枚举法”和“假设法”你更喜欢哪一种？为什么？

预设 1：喜欢“枚举法”，把每种方法都进行例举后更放心。

预设 2：喜欢“假设法”，只例举一种最坏的情况，方便快捷，而且能保证正确。

【设计意图：以问题形式引发学生自主比较与反思，明晰“枚举法”和“假设法”的联系与区别，同时尊重了学生的自主选择，也为后续进一步感悟“假设法”的优越性埋下伏笔。】

二、呈现题组，初步抽象鸽巢问题模型

1.出示题组，请学生说理。

（1）5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。

（2）5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼里至少飞进了2只鸽子。

学生说理后，课件演示：

2.比较以上两题与例题，寻找相似之处。

预设：都是把若干个物体放进若干个抽屉里，结果都总有一个抽屉放进2个物体。

3.归纳：这三道题都是把若干个物体（鸽）放进若干个抽屉（巢）里，下次遇到类似的问题，我们可以思考什么相当于“鸽”，什么相当于“巢”，就能用假设法或枚举法说明理由了。

【设计意图：通过相似题组练习，既巩固了两种说理思路，同时在比较中感知了“鸽巢问题”的结构，初步抽象“鸽巢问题”模型。】

三、感知“假设法”的优越性，逐步抽象“鸽巢原理”

1.在特例中感知“假设法”的优越性。

（1）出示四道题组，学生独立填空并反馈。

①5支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

②6支铅笔放进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

③7支铅笔放进6个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

④100支铅笔放进99个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

（2）你用什么方法思考？为什么都选择了“假设法”？

预设：铅笔数和笔筒数越多放法也越多，用枚举法解决问题很麻烦，而假设法就简便多了。

（3）在解决问题的过程中你有什么发现？

预设：铅笔支数比笔筒个数多1，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。

【设计意图：相似情境的题组，有利于学生把目标聚焦到数量的变化，在数量逐渐增加的过程中体会“假设法”的优越性，感受最佳验证方法，在有趣的类推活动中，引导学生初步得出结论。】

2.从特例走向一般，打破思维定势。

（1）上面每题的铅笔支数各增加1支，结果会变吗？

预设：不变，每题还是填2。

（2）每题的支数继续增加1支，结果会变吗？

预设：不变，每题还是填2。

（3）每题支数再增加1支呢？铅笔支数比笔筒个数已经多了好几个了，为什么至少还是2呢？

预设：因为每个笔筒先分到1支后，余下铅笔还是不够（或刚好够）分给每个笔筒1支。

（4）再继续增加1支呢？为什么第①题的结果变为3，其他三题还是2？

预设：因为第①题假设把9支铅笔平均分在4个笔筒里，每个笔筒平均分到2支后还多余1支，不管放到哪里都有一个笔筒里至少放进3支铅笔。

【设计意图：把教材例2的知识点作为例1问题的延伸，把两个例题进行有效整合，通过每题铅笔支数的变化，使学生在变化的规律中感知问题的结论与铅笔支数是笔筒个数的几倍相关，从“抽屉原理”的特例逐步走向“抽屉原理”的一般形式，有利于学生进一步感悟“抽屉原理”的本质，为后续抽象概括“抽屉原理”奠定基础。】

3.用算式表征，逐步抽象“抽屉原理”。

（1）出示问题，请学生用算式表征。

①9支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

②10支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

③11支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

④12支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（ ）支铅笔。

（2）逐一反馈算式，适时结合点子图帮助理解算式含义。

（3）通过用算式表征，你有什么发现？

预设：用算式解决问题的一般方法：用“鸽”的只数÷“巢”的个数，有余数，结果就是商加1；没有余数，即是商。

出示：

【设计意图：实物表征——点子图表征——算式表征，这三种层层递进的“说理”方式，让学生经历了将具体问题不断“数学化”和“符号化”的过程，对“抽屉原理”的抽象和概括水到渠成。】

四、变式练习，培养“模型”思想

1.出示问题，寻找“鸽”与“巢”。

（1）六（1）班第一小组共 13位同学，至少有2位同学的生日在同一个月。

（2）一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色的珠子若干颗，一次摸出8颗，至少有3颗珠子的颜色相同。

（3）一副扑克牌中（没有大、小王），任意抽取5张牌，至少有2张牌是同花色的。

以上三题中什么相当于“鸽”，什么相当于“巢”？

2.运用鸽巢原理进行说理。

3.通过解决这三个问题，对你有什么启示？

预设：虽然以上三题外在的内容和形式发生变化，但是内在的本质是一样的，都可以用鸽巢问题的思路来解决。

【设计意图：“鸽巢问题”的变式很多，应用更具灵活性，通过以上变式练习，使学生将具体问题和“鸽巢问题”联系起来，寻找问题的具体情境和“鸽巢问题”的“一般化模型”之间的内在联系，即寻找到问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是解决此类问题的关键。】

【思考与解读】

本案例着眼于学生数学思维的发展，通过“探究问题——辨析问题——拓展问题”创建数学模型，渗透数学思想。课堂为学生提供了自主探索的空间，通过动手操作、分析、推理等活动，发现、归纳、总结原理，并通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力，提高学生解决问题的能力和兴趣。

一、探究问题，经历“数学证明”的过程

本节课中学生经历了两个不同层次的证明过程。第一层次是学生自主证明：在呈现具体问题并理解了题意之后，笔者就大胆放手让学生自主思考，采用自己的方法证明“把4支铅笔放入3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔”，然后交流展示。此处设计注意了从最简单的数据开始摆放，既有利于学生观察、理解，又有利于调动所有学生的积极性。评价学生各种证明方法时，教师针对学生的不同方法给予鼓励和指导，在此过程中学生明晰了“枚举法”和“假设法”两种策略。第二层次是引导更“数学化”的证明：随着数量的不断增加，自然而然地让学生体会到枚举法的局限性和假设法的妙处，然后通过让学生用算式表征“假设法”，抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，并借助点子图的直观演示，使学生很好地理解了如果把待分的物体尽量多地“平均分”给各个抽屉，余下的物体不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里的物体数比平均分得的多1。经历了两个不同层次的证明，不仅提高了学生的逻辑思维能力，而且为以后学习较严密的数学证明奠定了基础。

二、辨析问题，经历“数学建模”的过程

“鸽巢问题”的变式很多，当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢问题”联系起来，能否找到该问题中具体情境和“鸽巢问题”的“一般化模型”之间的内在联系，是影响解决问题的关键。所以，本案例中突出的一个核心思想是让学生经历“数学建模”的过程，分为三个不同的层次：第一层次是在题组比较中概括“鸽巢问题”结构上的共性，让学生感悟此类问题中总是隐藏着“鸽”与“巢”；第二层次是在“数学证明”的过程中抽象、概括“证明”方法的共性，感悟并理解“鸽巢原理”；第三层次是基于前面两个层次基础上的拓展，在变式练习中进一步见证此类问题应用的广泛性。经历三个不同层次的建模，使学生不断感悟外在形式背后的数学本质，逐步完善数学模型。

三、拓展问题，感受原理的灵活应用

“鸽巢原理”本身并不复杂，学生也有很多直接的生活经验，但是学生往往容易理解“显性”的问题情境，很难理解“隐性”问题情境。比如在变式练习中把“珠子颗数”看作“鸽”，把“珠子颜色”看作“巢”，学生是很难理解这一点的，因为在学生的生活经验中，“巢”必须是盛放东西的物体，难道“珠子颜色”能盛放东西吗？这是学生的疑问，也是理解的难点。所以在练习中安排了类似的问题情境，打破学生的思维定势，感受“鸽巢原理”的灵活应用和数学魅力，同时也提高了解决问题的能力和兴趣。