浅谈对初中生数学思维能力的培养

韩清华

摘 要：初中数学课堂教学中，有意识的通过教师的分析与引导，形成学生的数学思维习惯，发展学生的数学能力，是非常重要的。本文以一道初三中考变形题的分解训练为例，说明在教师潜移默化的引导与渗透中达到对学生思维能力的培养的意义。

关键词：初中生；数学思维能力；培养；习题为例

思维最初是人脑借助于语言对客观事物的概括和间接的反应过程。它以感知为基础又超越感知的界限。它探索与发现事物的内部本质联系和规律性，是认识过程的高级阶段。

我国初、高中数学教学课程标准中都明确指出，思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

著名教育家陶行知说：“生活、工作、学习倘使都能自动，则教育之收效定能事半功倍，所以我们特别注意自动力的培养，使它关注于全部的生活工作学习之中。自动是自觉地行动，而不是自发的行动。自觉的行动，需要适当的培养而后可以实现。”加里宁曾说“数学是思维的体操”！赞可夫说，“教会学生思考，对学生来说，是人生中最有价值的本钱”。良好的思维习惯是一种非智力因素，是学生必备的素质。初中数学课堂教学中，有意识的通过数学例题的分析与引导，发展学生的数学能力，形成学生的数学思维习惯是非常重要的。初中三年的数学教学对教师来说，不能只是完成教学任务，潜在的思维培养是需要前期规划与设计的。这里就以一道初三中考变形题的分解训练为例，说明在教师潜移默化的引导与渗透中达到对动点问题的动中求静、分类讨论思想的培养。

例.如图1，边长为AB=6cm、AD=8cm的长方形ABCD，点P、点Q同时从A点出发，点P以3cm/s的速度沿折线ABD按A-B-D的路线运动，点Q以8cm/s沿折线ADB按A-D-B的路线运动，当PQ两点相遇时，它们就停止运动，设PQ从A点出发时间为t，ΔAPQ的面积为S，①在P、Q运动过程中，是否存在PQ//AD？

若存在，请求出此时的t；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值.

这是2013年呼和浩特市中考压轴题的最后一问的一个变式。在我们常规的中学数学教学中，这类习题的接触与处理常常要安排在九年级的总复习中，特别是一轮基础知识复习结束之后的综合性训练与讲解中进行。对于还有2-3个月就要参加中考的学生来说，只有将各种知识整合，形成系统化的能力，同时对于数学各部分知识的结构与解决办法要有很深的融合，方可灵活快捷地应对这些题目。这大概就是学生们对于数学中考中综合性压轴题望而却步的原因了吧。

實际上对于这类问题，如果教师能够运筹帷幄：在七年级的教学中进行分解设计，分步训练，形成相关知识结构，分析结构特征；到八年级进行相关的结构组装，形成模块，进行有序思考；到了九年级就可以将模块形成框架，以框架思考的方式谋篇布局，延伸迁移，形成学生能力应该是水到渠成的了。

在七年级上学习了整式的基本概念和意义后我们就可以完成这样的第一步分解动作。

分解1.边长为6cm的正方形ABCD，点P、点Q同时分别从点A、点B出发沿线段AB相向运动，点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s，当一个到达线段端点后另一个也停止运动。请用时间t表示PQ两点间的距离.

通过学生的思考、交流、整合之后可以完成此题的整体思考，对这道题有了解决的办法并很清晰它的数学道理后，教师就应该和学生进行共同的整理。

点P（1cm/s）：从A到B共需6秒，

点Q（1cm/s）：从B到A共需3秒.

由条件当一个到达线段端点后另一个也停止运动知t的取值范围只能是0≤t≤3，而影响PQ间距离还有一个时间就是二者的相遇时间2s了即6÷（2+1）=2，这也就是行程问题中相遇问题（小学时学生很熟悉），所以分类的区间也就显而易见了，0≤t≤2，2

当0

当2

在这里教师带领学生进行习题条件分析，首先分析每一个动点的变化范围，接着分析两个动点的关联时间点即相遇时间，就达到了对于分段区间的确定，接着画出每一部分的线段图就会很清晰明确了，那么表达线段PQ就迎刃而解了。

总结：通过这种类型习题的感受和学习，学生思维中会产生一种解决动点问题的思维方向和思考方法，同时形成学生表示线段的思维结构，对于学生常常困惑和无助的分类区间不容易确定以及对于线段表示不准确的问题，有很大的思维帮助，分类讨论思想也就会有所感受。

到了八年级，学习完勾股定理之后，学生表达线段就会上一个新台阶，同时还可以继续渗透分类讨论思想，从而使学生的思维习惯得以强化，为九年级形成数学思维能力奠定基础。

分解2.如图2，边长为6cm正方形ABCD，点P、点Q同时从A

点出发，点P以3cm/s的速度沿折线ABD按A-B-D的路线运动，点

Q以4cm/s沿折线ADB按A-D-B的路线运动，当PQ两点相遇时，它们

就停止运动，设PQ从A点出发时间为t，请分析随时间t的变化，线段PQ的运动情况。

分析：首先单独分析每一个动点的运动的关键点和时间区间段（如下图按照七年级学习过的分析方式）。

即：P：从点A到B需要63=2cm/s，从B到D需要22s.

Q：从点A到D需要64=1.5cm/s，从D到B需要624=322s.

其次，由条件当PQ两点相遇时，它们就停止运动，分析关联点即点P、Q相遇的时间t=（6+6+62）÷（3+4）=12+627；说明点P、Q在线段BD上相遇。故时间t的分段就确定了。

当0

当1.5

点Q在线段BD上，PQ表示需要利用勾股定理可求，

此时DQ=4t-6，AH=QK=DQ2，PH=AP-AH=3t-4t-62，

QH=AD-DK=6-DQ2=6-4t-62，则PQ可以利用勾股定理求得了；

当2

分解3如图4，边长为AB=6cm、AD=8cm的长方形ABCD，点P

点Q同时从A点出发，点P以3cm/s的速度沿折线ABD按A-B-D

的路线运动，点Q以8cm/s沿折线ADB按A-D-B的路线运动，当

PQ两点相遇时，它们就停止运动，设PQ从A点出发时间为t，请分

析随时间t的变化，线段PQ的运动情况。

首先单独分析每一个动点的运动的关键点和时间区间段，如下图按照七年级学习过的分析方式。

即：P：从点A到B需要63=2cm/s，从B到D需要103s.

Q：从点A到D需要88=1cm/s，从D到B需要108=54s.

然后思考彼此的关联点，即当PQ两点相遇时，它们就停止运动，需要计算相遇时间，这样就可以分出真正的时间范围了。可以很容易分析出相遇时是简单的相遇问题，则

t=（6+8+10）÷（3+8）=2411s.也就是說两点运动的过程可以清晰了，点P从A到B再到BD上某点与点Q相遇，点Q从A到D再到相遇点。所以，分为如下时间段：

当0

当1

DK=QK=AH=8t-82，QH=AK=AD-DK=8-8t-82，

PH=AP-AH=3t-8t-82，PQ=HP2+HQ2即可求。

当2

由分解1、2、3可见原例题的难点已经解决，对于动点问题的分类方法已经成为学生随心所欲解决的内容了，也就是说，已经是不是问题的问题了，后面的最值问题更是在表达式清晰的情况下显而易见了。

学生的思维形成过程是需要思维转换的空间和消化的时间的，体现了思维形成的渐进性，这就需要一线教师认真研究学生的认知规律和教学内容的相关性，合理构造衔接点，建造学生的思维大厦的“脚手架”，从而使学生搭建适合于自己的思维框架、思维习惯，最终形成自己的思维能力。

参考文献：

[1]张奠宙.数学教育经纬「M].南京：江苏教育出版社，2002.

[2]〔美〕G·波利亚.阎有苏译.怎样解题[M].北京：科学出版社，2006.

[3]吕小保.“简单”的问题“不简单”的教学行为——记一道课本习题的教学[J]，数学通报，2011，50（10）：15-17.

（作者单位：内蒙古呼和浩特市第四中学 010020）