一类分式函数的图形及应用

李代辉

【内容摘要】本文通过对一类分式函数y=ax+bcx+d的草图探究，达到快速求解其函数性质的目的。

【关键词】反比例函数 平移 分式函数图形 图形性质应用

在高中的函数学习中，经常会出现的一类分式函数式为分子分母关于自变量为一次的分式形式，即y=ax+bcx+d，对这种问题的处理常用的做法为分离常数法。即，将函数转化为y=kx+m+n后进行研究。如果能够快速得到y=kx+m+n的图形则对研究这类函数的性质非常有帮助。下面首先研究这类函数的图形。

比较反比例函数y=kx（k≠0）与y=kx+m+n的表达式发现：如果令f（x）= kx，则y=kx+m+n就为y=f（x+m）+n。由函数平移的结论y=kx+m+n的图形可以由y=kx（k≠0）通过平移“左加右减”得到。但反比例函数的图形双曲线如何平移的呢？针对y=kx+m+n有没有更快的办法呢？这一点初中没有讲到，需要举例观察。

如图：利用几何画板我们得到了一个y=3x与y=3x+3+2的图形，比较两个图形，可知都是双曲线。其差别为y=3x是以原点为对称中心，从对称中心出发作x，y轴的垂线得到渐近线，在渐近线的基础上画出双曲线来。而y=3x+3+2是以（-3，2）为对称中心，从从对称中心出发作x，y轴的垂线得到x=-3和y=2做渐近线，在渐近线的基础上画出双曲线来。比较y=3x与y=3x+3+2的对称中心（0，0）和（-3，2）发现，都是当分母为0时得到的x为对称中心横坐标，分式为0时得到的y为对称中心纵坐标。所以要找一般的y=kx+m+n（k≠0）的对称中心只需要令分母、分式为0时得到的x，y值就是对称中心 （-m，n），从对称中心出发作x，y轴垂线，得到的就是渐近线，沿渐近线作双曲线（由k确定大小）就得到y=kx+m+n（k≠0）的图形了。下举例说明。

例題1：已知y=2x+12x-4，求①求y的值域；②x≥3时，求y值域；③y≥6时，求x的范围；④当x≥3时，求函数单调性；

解：∵y=2x+12x-4=2（x+12）2（x-2）=1+52x-2

作出草图，计算出端点A（3，3.5），B（2.5，6）看图得：

①y∈（-∞，1]∪（1，+∞）；

②y∈（1，3.5]；

③x∈（2，2.5]；

④函数单减。

综上可知，求解类似于y=ax+bcx+d的函数问题时，通过分离常数法转化为y=kx+m+n（k≠0）的形式，然后通过找对称中心快速作出双曲线来，经过看图说话可以很快得到答案。

（作者单位：德阳市旌阳区德阳中学校）

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