网络异构性对前向传输传感网络渗流密度的影响*

韩亚君,高文华,康 琳

(太原科技大学电子信息工程学院,太原 030024)

无线传感器网络由大量的微小的、低功率的节点组成,节点将感知到的信息传到汇聚节点,汇聚节点再将数据传输到基站,达到通信的目的。无线传感器网络有感知、计算和通信的能力,广泛应用于军事侦察、环境监测、基础设施、灾害搜救、设备诊断和其他工业应用[1-2]。为了确保整个传感网络所在区域信息向汇聚节点的的传输,网络的覆盖和连通必须同时得到保证。

受限于部署成本,达到网络的全连通是不能实现的,为了满足网络的覆盖与连通问题,Broadbent等[3]人最早将渗流理论引入到无线网络的连通问题的研究,当网络中的节点分布密度达到一定的数值,整个网络的连通就可以由部分连通转化为全连通,即形成了整个网络的渗流。Scher等[4]提出了渗流密度来表示节点的分布情况。在此基础上,Mertens等[5]提出一种算法计算了二维连续介质渗流阈值,用临界渗流密度来表示节点在覆盖性的情况下最少节点数目。在渗流理论中,有很多模型,例如:Ammari等[6]提出了一个关于渗流网络的磁盘相关模型;Li等[7]提出了一种连接组合模型;Wang等[8]提出了一种新颖的完全信息覆盖模型。在这3种模型中,本文选用磁盘相关模型。在实际的节点部署中,必须考虑实际情况,Chau等[9]说明了定向传输在大规模无线网络中的重要作用,Sung等[10]在定向传输的基础上用多边形法建立覆盖改善定向无线传感器网络,Ai等[11]分析了在无线传感器中定向传感器的随机部署,Gupta等[12]人研究了在随机异构情况下的覆盖连通问题,在无线传感器网咯中,节点随机分布,并且节点的感知半径不同,形状不同,遵循圆盘模型,但可以有不同的形状,提出一个有界区域的近似泊松模型,计算了网络规模和网络参数。本文研究随机异构情况下前向传输的传感网络。同时Li等[13]人扩展了排除区域的理论,Khanjary等[14]运用排除区域的概念得到前向同构情况下的排除区域的近似值,以及临界渗流密度,Li等[15]人在将协作传输路径的感知角度从π扩展到2π,并且计算了各个角度排除区域面积的实际值,得到实际的临界渗流密度。实际得到的临界渗流密度比近似的临界渗流密度小,更能够节省资源。在实际情况中,传感器节点的感知角度不尽相同,因此研究随机异构前向传输节点部署的渗流密度具有重要的实际意义。

本文基于连续渗流理论构建了前向传输(0≤φ≤π)异构网络的连续渗流模型。模型中,基于异构网络节点感知角度的差异性,被视作协作传输路径的两个节点的感知角度不同且之和为2π,在随机出现节点的感知角度中,我们取特殊的传感器感知角度的协作传输路径:π/4、7π/4;2π/4、6π/4;3π/4、5π/4;π、π,基于异构网络的渗流模型,得到前向传输异构网络的连续渗流密度。

这篇文章结构安排如下:第1部分介绍了系统模型及相关定义。第2部分详细介绍了异构节点渗流模型。第3部分对数值结果进行仿真和分析。第4部分对文章进行总结。

1 系统模型和定义

定义1(空间泊松分布) 它是一种常见的离散概率型分布,令Xλ代表目标区域A内的节点数目的随机变量,λc为节点密度,且λc=λ|A|,其中λ为单位面积的节点密度,K(K≥0)为目标区域内的节点数目,则其概率可以表示为[6]:

(1)

定义2(传感器模型) 我们定义传感器的传感范围Si为[7]:

(2)

定义3(通信模型) 我们定义了通信模型为[7]:

(3)

图1 传感器的感知模型和通信模型

定义4(协作与通信传感器) 两个传感器si和sj协作的条件是,当且仅当两个感知磁盘中心间的欧氏距离满足|ξi-ξj|≤2r,即两个传感磁盘相切或重叠(如图2(a)所示)。协作的一组传感器si,用Col(Si)表示[6]:

Col(Si)={ξj:|ξi-ξj|≤2r}

(4)

两个传感器Si和Sj通信的条件是,当且仅当两个感知磁盘中心间的欧氏距离满足|ξi-ξj|≤R(如图2(b)所示)。通信的一组传感器Si,用Com(Si)表示[6]:

Com(Si)={Sj:|Si-Sj|≤R}

(5)

图2 协作传感器和通信传感器

定义5(协作与传输路径) 两个传感器Si和Sj之间的协作路径是一个传感器序列Si,Si+1,…,Sj-1,Sj,任何一对传感器Sl和Sl+1都可协作,其中i≤l≤j-1(如图3(a)所示)。

两个传感器Si和Sj之间的传输路径是一个传感器序列Si,Si+1,…,Sj-1,Sj,任何一对传感器Sl和Sl+1都可通信,其中i≤l≤j-1(如图3(b)所示)。

图3 协作路径和传输路径

定义6(前向异构无线传感器网络) 前向传输:如图4(a)所示,节点的感知方向为节点与Sink节点连线的方向,且节点的感知范围服从定义2,即称前向传输。且在视频传输中最为常见[16]。

异构模型 将节点的感知角度近似看作有π/4、π/2、3π/4、π、5π/4、3π/2、7π/4等等,它们各个角度的节点随机分布,如图4(b)所示。在这里我们考虑特殊情况下的分布,在上述节点感知角度情况下,两个节点感知角度之和为2π的节点作为一个协作传输路径,如图4(c)所示。然后对各种情况的协作传输路径进行讨论。

图4 前向异构无线传感器网络

定义7(排除区域与总的排除区域) 排除区域指协作传输路径中两个节点的感知区域没有重叠部分的情况下,所能感知的最大范围的面积,排除区域用〈aex〉表示,对一目标区域来说,总的排除区域用〈Aex〉表示。

总的排除区域在之前的研究中已经得到,在这里,我们取〈Aex〉=4.5。且排除区域与总的排除区域的关系如下[13]:

〈Aex〉=〈aex〉λc

(6)

定义8(填充系数) 如果一个节点的感知面积为a,在均匀泊松分布中,其密度λ可以表示为[14]:

ηc=λa

(7)

φ=1-e-ηc

(8)

式中:ηc为目标区域密度,φ为填充系数。在均匀泊松分布中,填充系数φ与模型的密度λ越接近,其模型越具有优势。

2 异构节点模型

对于异构系统(协作传输路径中的两个节点的感知区域的角度不同,且协作传输路径的感知角度之和为2π)总的排除区域〈Aex〉=4.5是维度不变的,又由于式(6),可以通过计算单个对象的排除区域〈aex〉得出临界密度。接下来,介绍如何基于吉尔伯特模型求得单个对象的排除区域。当节点随机分布时,假设协作传输路径中的一个节点周围随机出现与其感知角度之和为2π的节点时,就会得到一个在保证覆盖连通情况下另一个节点所能存在的最大的区域,就是所求的排除区域。如图5给出了前向传感器感知角度不同时的排除区域(在第一象限的较为粗的边缘区域为1/4排除区域面积,区域中的几条直线将1/4排除区域分为几个区域,以便计算)。

由于几何的对称性,在这里,只计算四分之一的排除区域(红线部分),因此可用几何学知识计算得到不同感知角度下的的排除区域。

①图5(a)中根据排除区域的定义,得到感知角度为0≤φ≤π/4的情况下的排除区域的面积:

图5 排除区域

(9)

②当感知角度为π/4<φ<π/2时,其排除区域的面积与感知角度为0≤φ≤π/4时相同,图5(b)为当感知角度为π/2时的排除区域的面积:

(10)

③图5(c)为当感知角度为π/2<φ≤3π/4时的排除区域的面积:

(11)

④在3π/4<φ<π范围内,其排除区域与图5(c)相同,当φ=π时,其排除区域为下:

(12)

且当φ=π时,式(11)为:

〈aex〉=4r2+πr2

(13)

因此式(12)可以看作是式(11)的特殊值,因此可以整理为:

〈aex〉0≤φ<π/2=8r2+2sinφr2+φr2-2tan(φ/2)r2-πr2

(14)

〈aex〉π/2≤φ≤π=6sinφr2-πr2+2φr2+4r2-2r2cot(φ/2)

(15)

当r=1时,各个排除区域的面积为:

〈aex〉0≤φ<π/2=8+2sinφ+φ-2tan(φ/2)-π

(16)

〈aex〉π/2≤φ≤π=6sinφ-π+2φ+4-2cot(φ/2)

(17)

在研究基于渗流理论的排除区域、渗流密度的计算的文章中,文献[14-15]分别研究了同构模型情况的同构近似排除区域面积、同构近似渗流密度和同构实际排除区域面积、同构实际渗流密度,结果如下:

同构近似值 对于同构系统,Khanjary等[7]人在之前的研究中已经得到,将排除区域可以等效为一个六边形,其排除区域的面积可以得到为[14]:

(18)

当r=1时,排除区域的面积为:

〈aex〉0≤φ≤π=6sin(φ/2)

(19)

同构实际值:李等人在她的研究中对同构系统的排除区域的实际值进行计算,结果如下[15]:

(20)

〈aex〉π/2<φ≤π=2πr2+2r2-φr2-2r2cosφ-πr2sinφ

(21)

当r=1时,排除区域的面积为:

〈aex〉0≤φ≤π/2=φ+2sinφ

(22)

〈aex〉π/2<φ≤π=2π+2-φ-2cosφ-πsinφ

(23)

临界渗流密度的计算 在渗流理论中,排除区域的面积与临界密度的关系为式(6),那我们可以得到临界密度的关系为[13]:

(24)

将(14)和(15)代入是(24)可得异构情况下的临界渗流密度:

(25)

(26)

同构下的实际临界渗流密度为:

(27)

(28)

同构下的近似临界渗流密度为:

(29)

由定义(8)的式(7)、式(8)可知:

(30)

异构模型情况下的临界渗流密度λc与目标区域密度ηc可以表示为:

(31)

3 数值结果

令r=1,得到异构的排除区域的面积、同构的近似排除区域的面积和同构的实际排除区域的面积,然后对这3种面积和密度进行仿真,得到如图6和图7所示的仿真图。

图6 排除区域随感知角度变化图

图7 临界渗流密度随感知角度变化图

图6中y1表示同构实际的排除区域的面积,y2表示同构近似的排除区域的面积,y3表示异构的排除区域的面积值。图中y1由式(22)、式(23)得到;y2由式(19)得到;y3由式(16)、式(17)得到。在[0,π]区间内,y3总处于y1、y2的上方。因此异构情况下的排除区域一直比同构情况下的排除区域的面积大,异构情况下的排除区域更具有优势。并且在[π/2,3π/4] 区间内取到最大值,最大值为9。

图7中y1表示同构实际值,y2表示同构近似值,y3表示异构的密度值。y1由式(27)、式(28)得到,y2由式(29)得到,y3由式(25)、式(26)得到。在[0,π]区间内,y3总比y1,y2小,异构情况下的临界渗流密度相比同构情况下的实际值和近似值,其密度总比同构情况下的实际值和近似值小,则可得到在相同的区域内,异构情况下所用的节点数少,更加节省资源。

同时,同构情况下的密度在[0,π]范围内变化比较明显;异构情况下,密度在0.5周围浮动,没有较大的变化。

表1中的异构值当φ为π/4时由式(25)得到,当φ为π/2、3π/4、π时,由式(26)得到;同构近似值当φ为π/4、π/2时,由式(27)得到,当φ为3π/4、π时,由式(28)得到;同构实际值由式(29)得到。由表1可以看出,异构的临界渗流密度比同构的近似值和实际值都小,异构的临界渗流密度稳定在0.5上下,且异构的临界渗流密度比同构实际值平均小40.77%。

表1 临界渗流密度的异构值、同构近似值与同构实际值比较

图10 感知角度φ=3π/4时,泊松密度与估计密度、填充系数间的关系

令式(31)中r=1,得到异构模型情况下的临界渗流密度,在这将得到的异构临界渗流密度称为估计密度,将式(8)与式(31)的结果进行对比,可充分了解异构模型情况得到的临界渗流密度符合节点均匀泊松分布。如图8～图10所示。

图8 感知角度φ=π/4时,泊松密度与估计密度、填充系数间的关系

y1为估计密度,y2为感知角度φ=π/4时的填充系数。竖线为感知角度φ=π/4时的泊松密度。当感知角度φ=π/4时,泊松密度ηc为0.283 7,填充系数(横线)φ为0.247 0,此时的估计密度λc为0.722 4。填充系数与估计密度的差值为0.475 4。

y1为估计密度,y2为感知角度φ=π/2时的填充系数。竖线为感知角度φ=π/2时的泊松密度。当感知角度φ=π/2时,泊松密度ηc为0.441 8,填充系数(横线)φ为0.357 1,此时的估计密度λc为0.562 5。填充系数与估计密度的差值为0.205 4。

y1为估计密度,y2为感知角度φ=3π/4时的填充系数。竖线为感知角度φ=3π/4时的泊松密度。当感知角度φ=3π/4时,泊松密度ηc为0.590 0,填充系数(横线)φ为0.445 7,此时的估计密度λc为0.500 8。填充系数与估计密度的差值为0.144 3。

表2 估计密度与填充系数值的比较

在感知角度的区间为[0,π],随着感知角度的增加,估计密度与填充系数间的差距越来越小,可得异构模型符合基于渗流理论的节点分布。

4 结束语

本文研究了前向传输定向传感器网络的覆盖与连通问题,考虑实际情况下的节点前向感知角度的不同,基于渗流理论构建了前向感知角度为的异构节点对连通覆盖模型,研究了前向传输异构网络的连续渗流问题。通过对异构覆盖模型排除区域的计算,研究了前向感知角度对异构定向传感网络的连续渗流密度的影响。仿真实验表明,在前向传输的异构定向传感网络中,前向感知角度的增大可减小连续渗流密度。

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