光杠杆放大原理及其在物理实验中的应用

程军 韩玉龙

【摘要】利用光杠杆可以准确测量固体材料在应力、温度等因素影响下所致的微小长度变化，该方法可用于测定材料的杨氏模量和线胀系数等大学物理实验，同时应用逐差法、最小二乘法等方法对数据进行分析处理，得到了预期的实验结果。

【关键词】光杠杆放大原理；杨氏模量；线胀系数；逐差法；最小二乘法

【基金项目】安徽省质量工程项目“大学物理实验中心”，项目编号：2015sxzx058。

固体材料在外界环境（应力、温度等因素）的影响下会发生形变。通常这种形变极其微小，以至于其长度变化很难通过常规的长度测量工具准确测量。光杠杆是一种利用光学放大方法测量微小长度变化量的装置。光杠杆放大原理可以用于测定固体材料的杨氏模量和线胀系数等大学物理实验。其中，杨氏模量是描述材料抵抗弹性形变能力的物理量，线胀系数是表征材料受热膨胀特性的重要参数，它们都是工程技术中常用的参数，是选用材料的重要参考指标。本论文中，利用光杠杆放大原理设计实验测定材料的杨氏模量、线胀系数等参数，应用逐差法、最小二乘法等方法分析处理实验数据，并对测量的不确定度进行评定，得到了预期的实验结果。

一、原理简介

（一）光杠杆放大原理

光杠杆放大原理图如图1所示，其中D为光杠杆镜面到照明标尺的距离，为光杠杆前后足的垂直距离。当固体材料长度的变化量为时，从望远镜中记录的照明标尺读数的变化量为。

图1 光杠杆放大原理图

根据几何关系有

（1）

由于偏转角度很小，上式可近似作

（2）

由（2）式可得与之间的定量关系为

（3）

其中，是光杠杆的放大倍数。因此，利用光杠杆可以对微小形变进行放大，从而实现对材料微小长度变化的准确测量。该方法可应用于杨氏模量和线胀系数的测定实验。

（二）杨氏模量

由胡克定律可知，在弹性限度内，固体材料的正应力（）与线应变（）成正比，即

（4）

上式中称为杨氏模量，数值上等于产生单位应变时的应力，单位为N/m2。它是描述材料抗应变能力的物理量，其值越大，材料越不容易发生形变。在实验中，通过增减砝码改变对钢丝施加的应力，同时利用光杠杆放大法測量钢丝的微小长度变化。当所加砝码质量变化时，钢丝的长度变化，对应的标尺读数变化，则杨氏模量可以表示为

（5）

上式中，是钢丝原长，是钢丝直径。

（三）线胀系数

固体材料具有热胀冷缩的特性，其受热后长度的增加称为“线膨胀”。在常温下，材料的长度和温度之间近似地呈线性关系，即

（6）

上式中即为线胀系数，数值上等于温度每升高1℃时材料的相对伸长量，单位为℃?1，是0℃时材料的长度。当温度变化时，铜棒的长度变化，对应的标尺读数变化，则线胀系数可以表示为

（7）

上式中，是铜棒的原长。

二、实验结果分析

（一）杨氏模量的测定

实验采用静态拉伸法，通过增减砝码改变对钢丝的应力作用。质量变化1kg记录一组数据，共8组，实验数据见表1，其中增荷表示增加砝码过程中的标尺读数，减荷表示减少砝码时的数据，平均表示对应质量的平均标尺读数。实验测得，钢丝原长L=52.15cm，光杠杆镜面到照明标尺的距离D= 154.88cm，光杠杆前后足的间距b=75.50mm，钢丝直径的平均值=0.495mm。

表1 杨氏模量实验测量数据

mi/kg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

增荷xi/cm 0.07 0.62 1.13 1.71 2.24 2.80 3.35 3.91

减荷xi/cm 0.05 0.59 1.15 1.72 2.27 2.82 3.36 3.91

平均xi/cm 0.06 0.605 1.14 1.715 2.255 2.81 3.355 3.91

?x/cm= xi+4?xi 2.195 2.205 2.215 2.195 = 2.203

应用逐差法，得到标尺读数变化的平均值=2.203cm，此时=4.0kg，由（5）式给出杨氏模量为E=1.982×1011N/m2。

根据不确定度传递理论，杨氏模量E的合成不确定度为

（8）

由（8）式得到杨氏模量E的不确定度u（E）= 0.036×1011N/m2。因此，该钢丝的杨氏模量为E= （1.982±0.036）×1011N/m2，与钢丝杨氏模量的参考值2.04×1011 N/m2比较，百分误差为2.84%。

（二）线胀系数的测定

室温20℃，通过温度传感器测温，在30℃至75℃温度区间，温度每变化5℃记录一组数据，共10组，实验数据见表2，其中升温和降温分别表示升温、降温过程中记录的数据，平均表示对应温度的平均标尺读数。实验测得，铜棒原长L= 50.23cm，光杠杆镜面与标尺的间距D=106.41cm，光杠杆前后足的间距b= 87.60mm。

表2 线胀系数实验测量数据

ti / ℃ 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

ti / ℃ 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

升温xi/cm 0.37 0.48 0.59 0.68 0.78 0.88 0.99 1.09 1.20 1.30

降温xi/cm 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.11 1.22

平均xi/cm 0.335 0.44 0.545 0.64 0.74 0.84 0.945 1.045 1.155 1.26

应用最小二乘法，拟合线性方程。此时，金属杆的线胀系数及其合成不确定度分别表示为

，（9）

拟合的线性方程斜率k和截距c分别为0.0204cm/℃和?0.2775cm，相关系数r=0.99991，这反映了铜棒长度L和温度t之间满足很好的线性关系。由（9）式可得，铜棒的线胀系数为α= 1.673×10?5 ℃?1，不确定度为u（α） = 0.009×10?5 ℃?1。因此，该铜棒的线胀系数为α= （1.673±0.009）×10?5 ℃?1，与参考值1.72×10?5 ℃?1比较，百分误差为2.73%。

三、总结

利用光杠杆测量材料在应力、温度等因素影响下所致的微小长度变化，应用逐差法、最小二乘法等方法分析和处理数据，计算出钢丝的杨氏模量和铜棒的线胀系数及其不确定度，并且将计算结果与参考值比较，误差均在3%以内，得到了预期的实验结果。实验测量和数据分析结果表明，利用光杠杆放大法测量材料微小长度变化量的精度较高。此外，光杠杆放大原理简单，实验操作容易，因此适用于杨氏模量和线胀系数的测定等普通大学物理实验的教学工作。

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