螺旋转子成形铣刀廓形数值计算方法

丁国龙，余金舫，朱海峰，张雅丽

(湖北工业大学 机械工程学院，武汉 430068)

0 引言

螺旋转子是螺杆压缩机、螺杆泵的关键零件，其轮廓形状与轮廓精度对机械本体的运行平稳性，包括振动和噪声，关系十分密切[1-4]。关于螺旋转子的设计与加工，首要问题是依据螺旋转子的几何形状确定加工该零件的刀具形状。由于螺旋转子的形状复杂，目前大多采用成形铣削的方法对螺旋转子进行加工，所以加工螺旋转子的成形铣刀的齿廓形状计算是确保螺旋转子能正确加工的基础[5-7]。

计算成形铣刀廓形首先需要计算成形铣刀与螺旋转子的接触线。主要是依据成形铣削原理[8-9]或无瞬心包络原理[10-11]，结合接触条件公式和坐标变换理论来计算。这些方法都是推导了接触线的参数化方程，不过这些方程都是隐函数形式的。要计算确定的接触线坐标时，需要求解隐函数，并且要计算偏导。目前，产品设计与制造数字化是当前制造业的主流，尤其是复杂曲面零件，如燃气轮机叶片、航空结构件等，大多采用数字化设计与制造[12-13]。借鉴这一思想，本文提出了基于螺旋转子几何特征的接触线数值计算方法，从而避免了求解复杂隐函数方程的问题。同时该方法计算接触线与成形铣刀廓形曲线理论上也能达到任意精度要求，只需要增加计算程序的迭代次数。

另外，对计算出的接触线和成形铣刀廓形的验证同样是一个关键问题。范晋伟[8]在Matlab中从各个角度对铣刀廓形与螺旋转子是否干涉进行分析，从而判断铣刀与螺旋转子是否吻合良好。况雨春[14]使用三维软件建立了成形铣刀和螺旋转子的几何模型，也是通过观测的方法对是否干涉进行判断。这种通过在可视化环境中的观察来判断是否干涉的方法说服力不强，更缺乏科学性。本文中提出的基于数字化运动仿真方法，通过在MATLAB软件中对螺旋转子与成形铣刀的相对铣削运动进行仿真，再结合误差分析来判断所计算的接触线以及成形铣刀廓形的正确性。该方法能清楚地判断出成形铣刀与螺旋转子的接触状态，从理论上证明所提出的接触线数值计算方法的正确性。

1 基于最短距离原理的接触线计算

本文研究对象为椭圆螺旋转子，螺旋中心为椭圆的中心。

1.1 螺旋母线

如图1所示，在螺旋转子模型中建立坐标系：以底面椭圆(端截面)的短轴为X轴，长轴为Y轴，以转子的轴线为Z轴。因为螺旋转子是由底面椭圆经过螺旋上升，扫描而成的，所以底面椭圆上的任意一点在螺旋转子的柱面上都会形成一条轨迹线，在本文中将这条轨迹线称为螺旋转子的螺旋母线。值得注意的是底面椭圆上不同点对应的螺旋母线升角不同，螺旋母线升角λ的计算公式为：

(1)

式中，p表示螺旋转子的导程，r表示该点到坐标系原点的距离。

图1 螺旋母线

底面椭圆任意一点Po(x,y)可表示为：

(2)

式中，a、b分别表示底面椭圆的长短半轴长度，u为角度变量。

任意一条螺旋母线的参数方程Ps(x1,y1,z1)可表示为：

(3)

式中，θ表示任一高度的椭圆截面相对于底面椭圆的旋转角度。

1.2 最短距离原理

图2为成形铣刀安装示意图，螺旋转子坐标系{O;x,y,z}同图1，成形铣刀坐标系{Om;xm,ym,zm}以铣刀中心为原点，以中轴线为X轴，Y轴方向与螺旋转子坐标系Y轴方向相同，Z轴按右手定则确定。使用成形铣刀铣削螺旋转子时，铣刀轴线需要与螺旋转子轴线成一个夹角λb(z轴与xm轴的夹角)，大小为：

(4)

即λb为椭圆短轴螺旋母线升角的余角。

图2 成形铣刀安装位置图

使用成形铣刀加工螺旋转子时，假定螺旋转子被固定，则成形铣刀需要在自转的同时，还需要沿螺旋转子轴线方向移动和旋转。分析该运动方法可知：成形铣刀与螺旋转子的接触线上任意一点的运动轨迹都是一条螺旋母线。又因为任一时刻螺旋母线上只有一点与成形铣刀相接触，依此推断：螺旋母线上距离成形铣刀轴线最短的那一点即为接触线上的一点。本文将这一结论称为螺旋母线的最短距离原理。该原理与一般计算方法所用到的公式n·V=0(n表示螺旋转子表面上的任意一点的法向量，V表示该点的相对运动速度[5])的本质是一样的。

1.3 接触线方程

最短距离原理是螺旋母线的重要特性，利用该原理可计算螺旋转子与成形铣刀的接触线。

如图3所示，空间曲线上一点到直线的距离计算可以转化为计算空间曲线上一点与直线上两点围成的三角形的面积(此时距离最短等价于面积最小)。之所以使用计算面积代替计算距离，是因为在求解接触线方程时需要求导，而距离表达式中带有根号，求导会使得方程更加复杂。

图3 最小面积(最短距离)计算示意图

已知成形铣刀轴线上一点Om，另一点Pm取为：

OPm=OOm+nm

(5)

再计算ΔPsPmOm的面积S(用ΔPsPmOm的两条边所对应的矢量进行叉乘来计算S)。由于

(6)

从而S可表示为：

(7)

式(7)最后可简化成如下形式：

S=Ax1+By1+Cz1+D

(8)

式中,A、B、C、D均为与参数a、b、p、rm有关的常数项。

式(8)是关于参数u和θ的关系式，表示的整个旋转面上的任意一点与铣刀轴线上两点的面积模型。若只考虑任意一条螺旋母线上的任意一点到铣刀轴向的距离，可以将参数θ事先设置为常数，以表示计算某一条螺旋母线上的接触点，将大大减小计算的复杂度。所以只需要对S关于参数u求导，并令S′|u=0，则有：

Esin(u)+Fcos(u)+G=0

(9)

式中，E、F、G均为与参数a、b、p、rm、θ有关的常数项。

结合实际意义可知，S′|u=0时对应的u值，一定是螺旋母线上到成形铣刀轴线距离最短的点。从而计算出u为：

(10)

式(10)即为接触线方程。由于参数E、F、G只与θ有关，所以利用式(10)能够计算出一个确定的θ值对应的u值。但是在实际计算时，由于参数E、F、G表达式复杂，往往会出现计算出的u值为复数或计算出错。

1.4 基于几何特征的接触线数值计算方法

为了避免上述问题，提出了基于螺旋母线最短距离原理的接触线数值计算方法。结合实例，给出具体计算方法。实例参数如表1所示。

表1 实例参数表

首先确定参数u和θ的范围。椭圆螺旋转子是一个双头螺杆，即导程是螺距的两倍，所以在选取u的范围时，只需要选取半圆即可。又由于前面设定底面椭圆的短轴与坐标系X轴重合，长轴与Y轴重合，所以选取u的范围为[-π/2,π/2]。θ值范围决定了螺旋转子高度范围，由于铣刀中心点高度(Z坐标)为p/4，所以接触线Z向范围肯定在[0,p/2]的之内，再根据Z轴高度与θ的转化关系：

(11)

得到θ的范围为[0,π]。

然后在参数u和θ的范围取适量的值(例如间隔1°取值)，计算出这些点到成形铣刀轴线的距离，并取出最小值对应的点。由于参数u和θ是事先选取好的点集，所以这些最小值点只是“比较接近”相同θ值的接触点，导致这些最小值点的连线(近似的接触线)并不光滑，如图4所示。所以还需要一定的方法提高接触点的计算精度。

图4 初步计算的接触线

如图5所示，K1点、K点与K2点为在同一条螺旋母线上连续的3个点，且K点为在上一步中选取的一个距离最近点，从而可以确定理论的接触点一定在K1点和K2点之间。所以分别在K1K和KK2之间二等分，等分点分别为K3点和K4点。然后选出K3、K与K4三点中距离成形铣刀轴线最近的点，再在最近点及其相邻两点间二等分(图5中第3个图表示第2次选取的点为K3点)。

图5 二分逼近法求接触点

随迭代次数的增加，二分法的误差减小，两个角度u和θ的误差ue和θe与迭代次数的关系为：

(12)

式中，Δu和Δθ分别为两个角度的初始步距角。

各个轴的误差与ue和θe的关系为：

(13)

绝对误差e为：

(14)

经过迭代计算接触线如图6所示，迭代计算次数为10次，误差为0.0015mm。

图6 经过迭代计算后的接触线

1.5 成形铣刀廓形

使用坐标转换，将定坐标系下的接触线变换到成形铣刀坐标系下，变换公式为：

(15)

成形铣刀廓形方程为[5]：

(16)

由式(16)表示的平面曲线即为成形铣刀在铣刀坐标系中xmomzm平面的截型，图7为铣刀截形坐标图。

图7 成形铣刀廓形图

2 成形铣刀廓形验证

用计算出的成形铣刀廓形反求螺旋转子的形状，以验证计算的成形铣刀廓形是否正确。使用数字化运动仿真的方法，在Matlab中对螺旋转子的铣削加工进行仿真，从而对计算的接触线或成形铣刀廓形的精确性进行验证。该方法相对于文献[8,14]中的方法，具有过程明确、结果直观的特点，能够科学性地验证成形铣刀廓形是否正确。

2.1 内包络面点集提取

内包络面的点集提取包括四个步骤，如图8所示。本文将此方法称为“指定空间内距离最短法”，该方法的具体实施步骤如下：

图8 内包络面点集提取流程图

(1)点集生成：根据螺旋转子与成形铣刀的相对运动关系，计算出不同角度时铣刀在空间中的点集。相对运动初始时，螺旋转子与成形铣刀的相对位置如图2所示。由图2可知，铣刀模型只选取[5π/4,7π/4]范围内的点集(接触线在这一角度范围内)，以减少计算量。在仿真运动需要中将螺旋转子固定，而让铣刀做旋转和移动的复合运动，其旋转运动的角度β和移动的距离h满足以下关系式：

(17)

仿真加工运动完成后，铣刀运动生成的点集存在一个内包络面，该内包络面即为螺旋转子的外轮廓。

(2)点集初步删选：对铣刀的运动点集进行初步删选，删选条件为：①去掉Z轴方向在[0,π/2]之外的点；②去掉距离Z轴大于长半轴的点。

(3)点集划分区域：在初步删选过的点中选出属于内包络面上的点。选点的主要方法是通过将这些点分区域后，再选择各个区域内距离Z轴(螺旋转子轴线)最近的点。点集先按Z方向分层，再按角度范围分区域。Z方向分层和角度划分间隔的大小可根据实际计算速度与精度进行适当选取。

(4)内包络面点集提取：点集划分区域后，在每个区域内都有若干个点，选取该区域内距离Z轴最近的点，这些距离最近的点即组成内包络面，也就是螺旋转子的外轮廓面，内包络面点集如图9所示。

图9 提取的内包络面点集

2.2 内包络面点集误差计算

对提取的内包络面点集进行误差分析，以验证内包络面点集提取算法是否正确合理。误差分析方法主要是将提取的内包络面点集与理论轮廓面点集进行比较，判断两者之间的误差是否在允许范围之内。

因为提取的内包络面点集不是规律分布的，所以不能将内包络面点集与理论轮廓面点集直接对比。由公式(3)可知，可以根据角度参数u和θ的值计算出轮廓面上任意一点的坐标值。提取的内包络面点集中的任意一点虽然不一定在理论轮廓面上，但是一定可以在理论轮廓面上找到一点，使得过这两个点的直线平行于XOY平面，并且该直线与Z轴相交。内包络面提取点与对应理论点的误差用两点之间的距离差e表示，如图10所示。在XOY平面中，由于理论点、提取点以及原点共线，所以对应理论点的角度参数u等于提取点的极角。又因为理论点与提取点Z轴坐标相同，所以对应理论点的角度参数θ可由公式(11)计算。从而确定了对应理论点的坐标值。

图10 误差定义图

由于理论轮廓面点集和提取的内包络面点集均为螺旋面，对误差大小的判断不够直观。而螺旋面的每个截面形状都是相同的，所以无论是理论轮廓面点集还是提取的内包络面点集，点集中的点都可以通过旋转一个角度，使得整个点集形成的面变为柱面。点集中的各个点旋转的角度与该点的Z轴坐标值相关，角度值θ1可参考公式(11)，为：

(18)

公式中的负号表示点的旋转方向与转子的螺旋方向相反。

经过旋转变换的提取内包络面点集和对应的轮廓点集如图11所示，其中，轮廓面的Z向视图很好的显示了轮廓提取误差。通过数据分析，提取的包络面点误差最大值为0.2526mm，最小值为0mm，平均值为0.0478mm。误差的主要来源为曲线离散成直线段时形成的弦高误差，通过增加数字化的运动仿真中刀具点集的密度，可以减小提取出来的内包络面的误差值。

从误差分析可知：通过数值化的运动仿真形成的点集的内包络面与理论轮廓足够接近，从而说明文中提出的基于最短距离原理的接触线计算方法的合理性。

(a) 提取点与理论点 (b) Z向视图

3 结论

(1)提出了螺旋母线的概念，其特征为：每一条螺旋母线上，距离成形铣刀旋转轴最近的点即为螺旋转子与成形铣刀的一个接触点。所有的螺旋母线上“最短距离点”组成接触线。

(2)提出了一种基于几何特征的接触线数值计算方法。该方法避免了理论推导中复杂非线性隐函数式接触线方程在迭代求解时结果不稳定的问题。而且，该方法通过增加计算程序的迭代次数，能够计算出达到任意精度要求的接触线坐标。

(3)接触线的计算充分利用了螺旋母线的最短距离原理和几何特征，包括距离计算转化为面积计算，使用迭代法提高接触点坐标精度。目前常用的接触线方程求解时没有任何螺旋转子的几何形状信息，纯粹的方程求解，相比之下，该方法更直观，结果更稳定。

(4)本文提出的接触线数值计算方法与数字化运动仿真方法具有普适性，适用于各种截面形状的螺旋转子接触线计算及验证，对于具有螺旋沟槽的刀具(钻头、铰刀、齿轮滚刀等的前刀面)以及斜齿轮的成形铣削和磨削加工也同样适用。数字化运动仿真方法不仅能验证接触线是否正确，还可以在已知铣刀形状或成形砂轮与相对运动关系的条件下，反求螺旋转子或斜齿轮的轮廓形状。

[参考文献]

[1] Mimmi G, Pennacchi P. Determination of Tool Profile for the Milling of Three-Screw Pump Rotor[J]. Meccanica, 1997, 32(4):363-377.

[2] Chiang C J, Fong Z H. Design of form milling cutters with multiple inserts for screw rotors[J]. Mechanism & Machine Theory, 2010, 45(11):1613-1627.

[3] 吴沁, 芮执元, 杨建军,等. 复杂螺旋曲面铣削加工刀具的廓形设计[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2009(7):78-81.

[4] 沈志煌, 姚斌, 陆如升,等. 精密螺杆转子齿廓成形磨削的误差分析[J]. 吉林大学学报(工学版), 2016, 46(3):831-838.

[5] 赵春秀, 刘建宁. 螺杆加工成形铣刀廓形坐标计算方法[J]. 机械设计, 2008, 25(6):69-70.

[6] 赵永强, 赵升吨, 魏伟锋,等. 螺杆转子磨削及计算机数控砂轮修整[J]. 西安交通大学学报, 2016, 50(8):6-14.

[7] 夏链, 韩江, 方兴,等. 螺旋转子的三维数学建模及CAD/CAM技术研究[J]. 农业机械学报, 2005, 36(8):162-164.

[8] 范晋伟, 李云, 李伟,等. 采油螺杆泵螺杆成形铣刀刀刃廓形设计与研究[J]. 中国机械工程, 2012, 23(18):2208-2212.

[9] 丁国龙, 张颂, 赵大兴,等. 齿轮成形磨削砂轮廓形优化研究[J]. 中国机械工程, 2015, 26(6)743-748,755.

[10] 李云, 范晋伟, 陈东菊,等. 基于无瞬心包络法的偏心螺杆成形铣刀研究[J]. 北京理工大学学报, 2012, 32(11):1105-1110.

[11] 何理论, 刘志兵, 王西彬, 等. 基于无瞬心包络的微细铣刀螺旋槽刃磨分析[J]. 机械工程学报, 2016, 52(19): 197-203.

[12] SHEN Zhihuang, YAO Bin, TENG Weibin, et al. Generating grinding profile between screw rotor and forming tool by digital graphic scanning (DGS) method[J]. International Journal of Precision Engineering & Manufacturing, 2016, 17(1):35-41.

[13] 王伏林, 易传云, 杨叔子,等. 二维数字化齿面的插削展成加工方法[J]. 机械工程学报, 2008, 44(6):88-94.

[14] 况雨春, 舒峰, 吴龙梅,等. 复杂螺旋曲面成形磨砂轮廓形数值仿真方法[J]. 四川大学学报(工程科学版), 2013, 45(2):182-187.

[15] 许朝阳, 黄筱调, 方成刚,等. 基于UG/Grip的斜齿轮盘铣刀齿廓截形计算与参数化建模研究[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2011(1):13-17.