学习理论观照下的初中数学教学走向

□任卫兵

（南通市通州区教师发展中心，江苏南通 226300）

一切教育效果的评判标准，取决于学生究竟学了多少、学得如何以及继续学习的潜力与愿望.对照这一标准，以往的初中数学教育可能在前两个方面做得还不错，但是学生通过三年的初中数学学习，获得多大的继续学习的潜力与愿望，可能就不容乐观了.初中阶段处于一个人接受十二年基础教育的中间阶段，它起着承上启下的关键作用.要使我们的初中数学教育质量达到诺尔·诺丁斯所言的评判标准，唯一的路径就是从古今中外的学习理论中去寻找突破口.参照国际上有关学习理论的最新进展，并立足于中国本土视野，笔者提炼出促进初中数学教学质量的几条重要原则，或许沿着这样的方向走下去，我们能逐渐达到以上的教育效果.

一、注重知识结构

知识结构化是现代学习理论极其强调的一个特征.布鲁纳在他的《教学的过程》中指出：结构化的知识是真正能够促进学生深度理解的知识.结构为什么对学习如此重要呢？脑科学研究人员的解释是因为人的大脑天生就是一个建构结构、建构模式的器官，结构意味着条理、层次、清晰，建构模型就是人的一种本能.

卓越的学习者，他们头脑中的知识是结构化的，散乱的知识组织是不利于记忆、迁移和理解的.那么，我们如何在初中数学教学中教结构呢？

【案例一】八年级下册“平行四边形”（第一课时）

活动一：回顾三角形的学习历程，形成知识结构图.

根据提示，课件相继出示三角形的知识结构图（见图1）.

图1

活动二：形成四边形的研究思路，建构四边形的研究路线图.

根据学生的回答，课件依次呈现四边形的研究思路图（见图2）.

图2

上述案例中，教师原想通过回顾过去学习三角形知识的过程，让学生自然迁移到接下来的四边形知识的学习中，但在实际教学时有关四边形的知识结构却并没有能够由学生自然生成，无奈之下执教者只好自己边说边用课件展示出来.或许所借班级的教师平时不大注重引导学生提炼知识结构，但在学生不能顺利迁移时我们完全可以把节奏放缓一点，通过提示学生翻翻教材中的目录或者回看一下三角形的知识结构，使学生能逐步理清四边形知识的学习脉络，也使教师的教学意图能够真正得到落实.

初中数学教师要设法帮助学生不断提炼知识结构，这个提炼过程是反复的，逐次递进的.可以让学生在课前看一看教材目录，可以引导学生在教材上写一写批注，可以鼓励学生把教材中的习题分一分类别，也可以提醒学生在学习笔记上画一画知识结构图，等等.然后通过交流、评析、调整、优化等手段，帮助学生逐步学会舍弃具体的经验，从而概括出最本质的东西.一旦学生掌握了结构，他们就能“站起身来，环顾四周”，达到更高的理解层次.如果我们的初中学生学会怎样提炼知识结构，养成提炼结构的习惯，那他们才能真正从零散、烦琐的知识、题海中“立”起身来，达成对数学知识的整体把握及灵活应用，从而进入一种智慧的状态.

二、科学与人文相结合

大科学家爱因斯坦一直强调理性与感性、逻辑与直觉是统一在一起的，他说：“照亮我前进的道路，并不断给我新的勇气去愉快地正视生活的理性，是善、美和真.”钱学森也认为科学与人文精神是一枚硬币的两个面，缺一不可.如果说初中数学教学的科学性是刚性的，那它的人文性则是柔性的，它需要春风化雨，润物无声[1].科学与人文相结合的初中数学教学，需要一个适合的载体，那就是数学故事.

好的数学故事，它糅合了多种人文因素.如能合理地应用于初中数学教学，则必将使初中数学教学脱去“僵硬的外衣”，显露生机，洋溢情趣，充满智慧.

【案例二】八年级下册“随机事件”（第一课时）

师：我们来看这样一个故事.

（课件出示“生死签”的故事）相传古代有个王国，国王非常阴险而多疑.一位正直的大臣得罪了国王，被判死刑.这个国家世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”（写着“生”和“死”的两张纸条），犯人当众抽签，若抽到“死”签，则立即处死；若抽到“生”签，则当场赦免.国王一心想处死大臣，于是他与几个心腹密谋，想出一条毒计：暗中让执行官在“生死签”上都写了“死”字.

师：同学们，如果你是那位大臣，在这生死攸关的紧张时刻，你会怎么做？

生：抽到签后，立马撕掉.

师：这位同学的答案对不对呢？我们继续往下看.

（课件继续出示）在断头台前，聪明的大臣迅速抽出一张签纸塞进了嘴里，等到执行官反应过来，签纸早已吞下，大臣故作叹息道：“我听天意，将苦果吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了.”剩下的当然写着“死”字，国王怕犯众怒，只好当众释放了大臣.国王“机关算尽”，想让大臣死，反而搬起石头砸了自己的脚，让机智的大臣死里逃生.

师：在这个故事中，国王和大臣由于改变了原来随机事件中的一些条件，使得事件的性质也相应发生了变化.你们能判断下面这三个问题分别是什么事件吗？（课件出示问题：1.在法规中，大臣被处死是什么事件？2.国王的阴谋中，大臣被处死是什么事件？3.在大臣的计策中，大臣被处死是什么事件？）

……

师：今后同学们也会接触到一些随机事件，也可能会遇到随机事件中条件被改变的情况.希望同学们能为自己积极地创造条件，变不可能为可能，为自己争取一个平等参与竞争的机会.

上述案例中教者在“巩固应用”环节自然地引入“生死签”的故事，不仅把随机事件、必然事件和不可能事件巧妙地融入其中，还触发了因条件的变化而影响了事件性质以及如何创造条件从而扭转不利因素的人生思考.表面看故事的介入似乎挤占了学生巩固练习的时间，而实际上通过智慧故事的分享不仅达到基本的练习量，还触发了学生更多关于人生的理性思考.

初中数学教师要注意营造低威胁与高挑战的数学学习环境，将蕴含数学思想、方法的故事适度穿插到数学教学中，一方面融洽了数学学习气氛，拉近了数学与学生的距离；另一方面由于数学问题寓于较复杂的情境之中，需要学生进行分析、评价和创造，而不是简单地记忆、理解和应用，培养的是学生的高阶思维.要在教学中拓宽学生的视野，为他们打开数学阅读的一扇窗.把古今中外的数学史料、数学家的故事以及现实生活中蕴含数学原理的事件与我们的数学教学进行对接，让学生在学习相对枯燥的数学知识的同时，还能发现知识背后隐藏的曲折、生动的数学创造以及浓郁、温暖的人文气息.

三、学会科学记忆

人的大脑有两套记忆系统，一是分类记忆系统，另一是位置记忆系统.分类记忆不依赖于特定的物理情境，通过复述和练习来完成记忆；位置记忆是一种空间记忆，它指向连续的、好奇心驱动的经验事实.与分类记忆对应的是路线学习，即依路线而行，忠实地按照指定的路线行进，忽视大的情境，以确保精确性；与位置记忆对应的是地图学习，即通过建立地图，尽力了解部分与整体、部分与部分之间的关系，从而获得一种总体印象，具有复杂性、个性化的特点.

当前的初中数学教学更多采用的是路线学习而不是地图学习.我们主张在保持路线学习的精确、简约的同时，也能为我们的初中学生多提供一些地图学习的机会，因为地图学习趋向于使学生自行组织信息，趋向于使学生获得超越教材中的更多信息，从而推动学生的思考.

【案例三】八年级下册“勾股定理”（第一课时）

1.创设情境，揭示课题

师：在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和为180°；②外角和等于360°，那么作为三角形的重要组成元素——边，它们之间有确定的关系吗？根据经验，如果要研究，我们当然从最特殊的三角形——直角三角形开始研究.我们从一则故事说起——相传2500年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯，他到朋友家做客.毕达哥拉斯紧紧盯着地砖（如图3），陷入了深深的思考中.忽然，灵光一闪，他发现了用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性.直角三角形三边具有怎样的数量关系？我们如何探求这种关系？这就是我们这节课需要研究的问题——勾股定理.

图3

图4

2.观察操作，探求新知

师：仔细观察图3中三个正方形之间的面积关系，你能探索出三个正方形边长之间存在怎样的等量关系吗？

师：图4中是一个直角边不等的任意直角三角形，你能通过观察、思考，把表格填完整吗？

A的面积 B的面积 C的面积

师：现在你们能提出什么样的猜想？

3.合作交流，推理验证

师：请大家用4张全等的直角三角形纸片（两条直角边不相等）拼一拼，看看能不能得到一个以斜边c为一边的正方形？想一想怎样证明刚才的发现？

上述案例中执教者沿用从探索地砖中的等腰直角三角形—方格中的任意直角三角形—任意直角三角形三边之间关系的学习路径，但是每个环节都没有做过多的示范与引导，而是充分地放手让学生自己去观察、思考，所以更多地体现出地图学习的特点.

这个案例的教学虽然花费的时间要多一些，甚至还可能要多走一些弯路，但学生经历了这样一个高挑战的学习过程后，会发现研究直角三角形三边之间的关系都是聚焦到面积这一维度上来证明的规律，数学学习的整体性、开放性得以充分体现.初中数学教师要注意对数学学习素材进行再整合、再构建，从而形成更具张力的数学大问题；要注意尽量把学生推向前台，让他们自己去组织信息、发现问题、分析和解决问题；要注意在教学实践中交替采用路线学习和地图学习这两种学习方式，使数学知识、数学技能、数学思想及数学基本活动经验都能够在课堂上真正得到落实.

四、用共同体方式促进学习

追求与他人一致性的能力是天生地根植于我们的身体和大脑之中的.学生的身份感、归属感对形成学习共同体至关重要.课堂上的尊重差异、相互学习、多元共生等学习“情结”，有助于学习共同体的形成.

【案例四】九年级上册“二次函数复习”

师：如果抛物线经过点A（-1，0），B（2，0），C（0，1），请结合图象（如图5），以小组合作的形式设计一个问题，并解答.

图5

生1：我设计的问题是求三角形ABC的面积.

生2：设P为抛物线上的一动点，当△PBC面积最大时，求P的坐标.

生3：我也设P为抛物线上的一动点，当△ABC与△ABP的面积相等时，求P的坐标.

生4：△ACP是直角三角形时，求P的坐标.

师：同学们设计的问题都不错，有的充分应用了已知条件，也有的还创造了一个新的条件.接下来再请各小组推选一位代表说一说解题思路.

上述案例中教师创设了一个比较开放的问题情境，学生基于已有的知识经验提出角度不一、难易程度不同的各种问题.在交流、分享的过程中，学生不仅呈现出各自真实的想法，还从中看到数学知识发生、发展的动态过程.英国哲学家怀特海在他的《教育的目的》一书中早就提醒过我们：如果你想了解什么，那么亲自动手，这是一个可靠的原则.你的才能富有活力，你的思维栩栩如生.你的概念获得了现实感，这种现实感来自于你亲眼目睹了这些概念和原理的适用范围[2].由于这样的学习是发生在真实的情境中的，这种真实情境中的学习是最自然、最高效的，也是理解最深刻的.

初中数学教师要淡化明确的学习意图，多为学生提供真正丰富的数学实践活动；要从内心尊重学生的认知差异，鼓励学生积极地参与课堂，允许学生暂时隐藏在学习边缘，需要什么就随机询问；要即时呈现自己的研究方法和学习过程，便于学生从中“偷窃”到缄默知识，从而促进师生之间实践共同体的形成.

要真正提高初中数学教学质量，关键是要建立数学学习各要素之间的联系.注重知识结构，就是要建立知识之间、知识与经验之间的联系；科学与人文结合，就是要建立科学与艺术的联系；学会科学记忆，就是要建立路线学习与地图学习这两种学习方式之间的联系；用共同体方式促进学习，就是要建立学习与环境之间的联系……遵循以上教学原则，有望实现初中数学教学质量的新提升.

［1］任卫兵.数学故事，阐释数学教学的人文情怀［J］.基础教育，2008（2）：46-49.

［2］怀特海.教育的目的［M］.庄莲平，王立中，译注.上海：文汇出版社，2012：72.