非线性力矩作用下气动偏心弹丸强迫圆锥运动稳定性条件

舒敬荣， 李红星， 李宏玲

(安徽新华学院 电子通信工程学院， 安徽 合肥 230031)

0 引言

弹箭圆锥运动(也称锥形运动)是指在特定条件下弹箭纵轴以固定攻角绕速度矢量旋转、形成一个以速度矢量为中心的圆锥面运动。即使是稳定的圆锥运动，如果锥角较大，也会使射程大大减小。不稳定的圆锥运动可能会发散，造成弹体飞行失稳。例如，美国奈特霍克探空火箭在50次飞行试验中出现了近20次发散的锥形运动[1]，导致弹丸飞行失稳；其2.75″航空火箭弹在风洞试验中也出现过发散锥形运动[2]。西班牙140 mm火箭弹在28次飞行试验中出现了9次锥形运动，导致弹丸射程大幅降低[3]。因此，关于圆锥运动的研究主要侧重于寻找其形成原因、稳定条件及其抑制措施。Peterson等[4]首先从理论上分析了导致锥形运动的所有可能因素，还采用风洞试验方法证明了马格努斯效应是产生极限圆锥运动的原因之一。Schiff[5]计算了圆锥运动中的超音速非黏性流场。Nicolaides等[6]通过理论推导和风洞试验证明了产生锥形运动的直接原因是旋转诱导产生的面外力和面外力矩。Livshits等[7]的研究证实了推力偏心、外形不对称也是导致大攻角锥形运动的重要原因。Morote等[8]、Mao等[9]利用刚体弹道方程和Routh判据，对锥形运动进行了理论研究和数值仿真。Morote等[3]分析了140 mm火箭弹卷弧翼展长和弦长对飞行动稳定的影响，得到了减小弦长不利于动稳定性、减小展长有利于动稳定性的结论。雷娟棉等[10]分析了尾翼稳定大长径比无控旋转火箭弹的圆锥运动，指出由旋转诱导产生的面外力和面外力矩是圆锥运动产生的原因。王华毕等[11]通过对几种不同安装方式的卷弧形尾翼大长径比无控低速旋转火箭弹的气动特性进行数值计算,并进行弹道数值仿真，验证了火箭弹的圆锥运动。文献[10-11]都得出将卷弧翼反装能有效地抑制圆锥运动的结论。王华毕等[12]还采用李雅普诺夫一级近似方法和Hurwitz判别准则,分析了侧向力矩对低速滚转无控火箭弹稳定性的影响，并通过仿真得到了决定圆锥运动是收敛还是发散的临界转速和临界锥角。赵良玉等[13]提出通过提高临界转速或降低平衡转速来提高火箭弹圆锥运动稳定性的方法，并给出了提高临界转速或降低平衡转速的具体措施。闫晓勇等[14]通过建立以章动角和进动角为变量的弹体圆锥运动动力学方程，分析了弹体章动及进动运动的相互关系,给出了弹体圆锥运动稳定时章动角度及进动角速度应满足的条件。李克勇等[15]分析了弹箭在高空飞行过程中弹道顶点附近圆锥运动的稳定性，给出了弹道顶点附近弹体圆锥运动的稳定判据。李臣明等[16]通过分析大攻角下非对称赤道阻尼力矩产生的极限圆锥运动，找到了远程火箭试验射程与计算射程不相符的原因，为远程火箭设计提供了参考。任天荣等[17]基于旋转弹的变质量陀螺方程和李雅普诺夫稳定性理论，对旋转弹产生锥形运动的条件进行分析探讨，得到旋转弹产生极限环运动的区间范围及锥形运动振荡频率的解析公式，并成功地解释了旋转火箭弹的“掉弹”现象。颉凯平等[18]为预防由于出现发散锥形运动而导致发射试验失败，对火箭弹锥形运动的稳定性进行理论分析和仿真计算，得到了确保火箭弹稳定飞行的舵翼面安装误差及发动机推力偏心指标要求。Murphy等[19]将圆锥运动理论引入单通道控制的旋转导弹，证明了稳定性分析时不能忽略弹体旋转引起的气动不对称因素。任天荣等[20]探讨了导弹纵向静稳定力矩和侧向力矩对其旋转圆锥运动的影响，并得到线性气动阻尼对圆锥运动稳定性不利且会导致圆锥运动发散的结论。Cooper等[21]采用数值计算方法得出了一对鸭式舵面存在气动不对称时出现不收敛锥形运动的不稳定区域。石忠佼等[22]利用锥形运动稳定条件和Routh判据，分析计算了确保双鸭舵单通道控制旋转弹锥形运动稳定的转速范围，揭示了一对鸭舵带来的气动不对称对其角运动的影响规律，为单通道控制旋转弹的转速设计提供了参考。

上述文献都是针对圆锥运动的负面影响探讨抑制或规避方法的。实际上在某些情况下，也可以利用圆锥运动实现特定目的。如文献[23]就针对制导火箭落点速度的约束要求，提出了一种采用圆锥运动控制导弹飞行速度的导引方法，以实现对导弹飞行速度的有效控制。段笑菊等[24]对这种采用圆锥运动控制的导弹姿态稳定性进行了研究，分析了控制系统阻尼回路和控制回路对其锥形运动稳定性的影响规律，得到了制导控制系统参数的稳定控制域范围，为圆锥制导控制系统设计提供了依据。文献[25]针对圆锥运动应用于末敏弹稳态扫描的工程实例，探讨了弹丸形成圆锥运动的条件。另外，前述所有圆锥运动均是对称弹箭自由运动的极限运动，是弹丸运动的特殊状态，一方面通常情况下在弹箭设计时需要努力避免，但另一方面如要利用这种极限运动以实现特定目的时又不容易实现。如无伞末敏弹就是这种情况，它利用弹体气动外形和质量分布的不对称提供非对称气动力和力矩，诱导弹体形成上述形式的极限圆锥运动，实现对目标区的稳态螺旋扫描。相比有伞末敏弹，其具有体积小、落速高、受风影响小等优势。因此，在这种情况下，就需要采取人为措施，如利用人为气动偏心来实现人为的强迫圆锥运动，并探讨其稳定性条件。

关于强迫运动的形成及其稳定性，美国弹道学者Murphy开展过一些研究：文献[26]研究了线性力和力矩作用下弹丸轻微不对称导致的强迫谐波响应，并探讨了共振不稳定问题；文献[27]研究了非线性力和非线性静力矩作用下尾翼式旋转弹丸不对称导致的强迫谐波响应和广义次谐波响应，并探讨了谐波响应的稳定条件和避免非谐波响应的方法。为了研究方便，文献[26-27]中没有考虑非线性赤道阻尼力矩，并且由于所推导出的谐波响应稳定条件表达式形式过于复杂，也没有阐述该条件的物理意义，因此很难用于指导工程实践。针对上述情况，本文综合考虑三次方非线性静力矩和二次方非线性赤道阻尼力矩的影响，求解气动偏心弹丸强迫圆锥运动的稳定条件，探讨该条件的物理意义，并应用数值计算算例进行验证，以指导无伞末敏弹稳态扫描系统的设计。

1 攻角方程

用与文献[28]推导对称弹丸攻角方程类似的方法，可得到在三次方非线性静力矩和二次方非线性赤道阻尼力矩作用下，具有气动偏心角ΔM0的尾翼式低速旋转弹丸攻角方程(该方程忽略了陀螺效应的影响)为

Δ″+(H0+H2δ2)Δ′-
(M0+M2δ2-H2aδδ′)Δ=Beiγ,

(1)

从(1)式可以看出，具有气动偏心角时，尾翼式低速旋转弹丸攻角方程比无气动偏心角时仅仅在等号右边增加了一个周期干扰项Beiγ.

2 攻角方程的近似解

引入新的因变量和自变量：

ζ=Δ/δc,

(2)

(3)

则(1)式变为

(4)

设(4)式的解为

ζ=K1eiφ1+K2eiφ2+K3ei(γ+γ0),

(5)

(6)

(7)

将(5)式、(6)式和(7)式代入(4)式，得

(8)

两边同除以K1eiφ1并移项整理，得

(9)

式中：φ=φ1-φ2；φr=φ1-(γ+γ0).

由(5)式得

(10)

由(10)式得

(11)

(12)

(13)

由(13)式解得

(14)

将(8)式两边分别同时除以K2eiφ2和K3ei(γ+γ0)，用类似方法可得

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

上述得到的(18)式、(19)式及(20)式就是攻角方程(4)式的近似解析解。

3 圆锥运动及其稳定性条件

从(5)式、(18)式、(19)式及(20)式可以看出，气动偏心弹丸在非线性力矩作用下可能存在3种类型的极限强迫运动，即：K1=K2=0时的一圆运动；K1=λ2=0或K2=λ1=0时的二圆运动；λ1=λ2=0时的三圆运动。这3种极限运动，仅一圆运动满足末敏弹稳态扫描时做圆锥运动的姿态要求，故下面对一圆运动的稳定性进行初步分析。

(21)

式中：ηj≪1，j=1，2，3，4.

将(21)式代入(4)式，应用平均法可得线性变分方程。如果线性变分方程是渐近稳定的，则对应的极限运动也是稳定的。

一圆运动(K1=K2=0)情况下，(18)式、(19)式及(20)式变为

(22)

(23)

(24)

将(24)式实部和虚部分开，得

(25)

(26)

(25)式和(26)式两边平方后相加，得

(27)

由于一圆运动K1=K2=0，关于η1和η2的线性变分方程容易得到：

(28)

(29)

eiη4≈1+iη4.

(30)

这样，(21)式可写成：

(31)

式中：

(32)

表示一圆运动的值。

(33)

(34)

把(31)式、(33)式、(34)式代入(4)式，并注意到：

(35)

得

(36)

(37)

(38)

令

(39)

则(37)式和(38)式变为方程组：

(40)

该方程组的特征方程为

a0+a1λ+a2λ2+a3λ3+a4λ4=0,

(41)

式中：

(42)

根据Hurwitz判别准则，线性变分方程(37)式和(38)式渐近稳定的充要条件为

(43)

将(42)式代入(43)式，得

(44)

(45)

(46)

则(44)式、(45)式及(46)式即为一圆运动(即圆锥运动)渐近稳定的充要条件。

4 稳定性条件的物理意义

考虑到通常情况下弹丸都是正阻尼，即H0>0，也即h0>0. 因此，要满足(44)式的第1个式子，必须有：

(47)

又由(45)式和(46)式，可得

(48)

(48)式确定了不同情况下弹丸实现稳定圆锥运动时其自转角速度的取值范围。

为了简化计算，假设忽略弹丸章动阻尼与进动阻尼特性的不同，即取系数a=0，代入(48)式，得

(49)

(49)式限定了某一幅值条件下弹丸自转角速度的取值范围。

5 算例验证

用文献[29]中考虑气动偏心角、非线性力和力矩时的6自由度运动微分方程组对某末敏弹进行数值仿真计算来验证上述结论。参与数值仿真的末敏弹弹体结构参数为：弹质量m=5.5 kg，弹径d=0.14 m，弹长l=0.17 m，赤道转动惯量A=0.004 16 kg·m2，极转动惯量C=0.004 kg·m2，气动偏心角ΔM0=27°；弹体气动参数为：cx0=0.6，cx2=12，cy0=5，cy2=2，mz0=-2.16，mz2=-5.66，mzz0=3.67，mzz2=-4.11. 在一组经过计算筛选、可以实现稳定圆锥运动的典型初始条件(初始高度1 200 m，纵向、横向、铅直3个方向的初始速度分别为30 m/s、2 m/s和150 m/s，初始偏航角、俯仰角和滚转角分别为0°、60°和0°，初始偏航角速率、俯仰角速率和滚转角速率分别为0.02 rad/s、0.05 rad/s、12.56 rad/s)下，通过数值仿真计算求得的扫描运动参数为：落速v=37.68 m/s，弹道倾角θ=-59.42°，攻角δ=|Δ|=30.87°. 将上述参数代入有关公式计算可得：B=0.679，H0=0.208，H2=-0.235，δc=0.941，M0=-0.819，M2=-2.145，M=-1.442，h0=0.173.

由(2)式和(32)式可知，稳定一圆运动状态下

由(49)式得

(50)

以落地前2 s为例(总共飞行28 s，从第15 s开始稳定)，数值仿真计算得到该末敏弹弹轴矢量在地面的扫描轨迹如图1所示。

从图1中可以看出，弹轴在地面的扫描轨迹是内螺旋线，说明弹丸实现了稳定的圆锥运动。

6 结论

1)三次方非线性静力矩和二次方非线性赤道阻尼力矩作用下的气动偏心弹丸，在满足(44)式、(45)式和(46)式所确定的约束条件时能够实现稳定的圆锥运动，这种稳定的圆锥运动可用于实现特定目的，如末敏弹的稳态扫描等。

2) (44)式、(45)式和(46)式所给出的稳定性条件，实质上是给出了弹丸做特定攻角的稳定圆锥运动时其自转角速度和气动偏心角应满足的条件，该稳定性条件可用于指导弹丸的结构设计和气动设计。

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