初中数学教学案例——探析一次函数的图象（第一课时）

江苏省南京市旭东中学 丁 伟

一、教学前期准备

（一）学生学情分析

《一次函数》是苏教版八年级数学上册第5章的内容，在七年级的时候，学生就已经学过“变量之间的关系”，对利用图表来表示变量之间的关系已经有了一些认识，并且也能从图象中获取一些信息，但是对函数和图象之间的联系还是比较陌生，这就需要教师重点引导，帮助学生确立函数和图象之间的对应关系。

（二）教学任务分析

《一次函数的图象》是在学习了一次函数的基本概念之后引入学习的第三节内容，本节内容主要介绍了正比例函数的图象和一次函数的图象以及两者之间的关系。因为教学任务繁多，笔者将这节内容划分成了两个课时。本课时着重讲解正比例函数的图象。

二、教学目标

1.了解一次函数的图象是一条直线，并熟练画出一次函数的图象。

2.初步了解绘制函数图象的步骤：列表、描点、连线。

3.理解一次函数表达式与图象之间的对应关系。

三、教学重难点

1.一次函数图象的作图步骤；

2.一次函数图象特征与解析式的联系规律。

四、教学方法

合作─探究；总结─归纳。

五、教学过程

（一）创设情境，导入新课

一天，小红离开家去上学，速度是80米/分，设小红离家的距离为S（米），小红出发的时间为t（分），那么S和t之间有着怎样的关系？它是我们今天要学习的一次函数么？

我们假设t=0，那么S=0；如果t=1,那么S=80。这样，就可以列出函数表达式：S=80t（t≥0）,而这恰恰是我们今天所要学习的内容：一次函数图象中的特殊情况——正比例函数图象。

【小结】这个环节借助了学生较为熟悉的生活场景，让学生在一一对应关系中画出图象，得出关系式，初步感受一次函数的表达式与图象之间的联系，调动学生的学习兴趣。

（二）动手操作，自主探索

1.首先我们来学习什么是函数的图象？

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。

例1 请画出正比例函数y=3x的图象。

解：列表:

描点：将表格中的x、y值作为点的坐标，将其在直角坐标系中标记出来。

连线：把刚刚标记出来的点用直尺依次连接，这样就可以得到函数y=3x的图象了。

由上面的例子我们可以发现，画一个函数图象大致需要三个步骤：一是列表；二是描点；三是连线。

【小结】例1环节的设定，是想让学生大致了解画函数图象的基本步骤，并试着自己作一个函数图象，同时脑海里留下正比例函数图象是一条直线的概念。

2.（1）画出正比例函数y=-2x的图象。

（2）在画好的图象上随机取几个点，找出相对应的横坐标和纵坐标，记录下来，看看其是否满足关系式y=-2x。

教师将班级学生划分为若干小组，以小组为活动单位，探究下面的几个问题，并记录相关结论：

（1）满足函数关系式y=-2x中的x,y所对应的点，是不是都在y=-2x这个正比例函数图象上？

（2）正比例函数y=-2x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-2x吗？

（3）正比例函数y=k x（k≠0）的图象有什么样的特点？

解析:由上面的探究我们可以得到：正比例函数的表达式和所画图象是一一对应的关系，也就是说满足代数表达式中所有对应的(x，y）值都在图象上；满足图象上的所有点（x,y）都能代入检验正比例函数表达式。我们可以总结出正比例函数y=k x（k≠0）的图象是一条过原点的直线。

小组讨论：从上面可知，正比例函数y=k x（k≠0）的图象是一条过原点的直线。那么在作图的时候有什么简单的方法？

众所周知，两点确定一条直线，也就是说，在画函数y=k x（k≠0）的图象时，只需要描出直线上的两个点就可以了，而有一个点（0,0）是已知的，只需要再确定一个点（1，k）就可以了。

例2 在同一直角坐标系内作出函数y=x,y=4x,y=-2x,y=-3x的图象。

解：列表：

过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是函数y=x的图象。

过点（0，0）和（1，4）作直线，则这条直线就是函数y=4x的图象。

过点（0，0）和（1，-2）作直线，则这条直线就是函数y=-2x的图象。

过点（0，0）和（1，-3）作直线，则这条直线就是函数y=-3x的图象。

【小结】这个环节的内容主要是让学生熟悉和掌握绘制正比例函数图象的方法，同时引导学生在这几个函数图象中总结正比例函数的性质以及k值对直线倾斜程度的影响。

（三）巩固练习，加强理解

练习1：在同一直角坐标系中分别做出函数y=3x与y=-4x的图象。

练习2：对于函数y=-2x的两个确定的值x1、x2来说，当x1＜x2时，对应的函数值y1与y2的关系是( )

A. y1＜ y2B. y1= y2C. y1＞ y2D. 无法确定

（四）课堂总结

提问：通过本节课的学习，同学们都积累了哪些知识点？又有哪些问题需要解答呢？

（五）课外延伸

已知正比例函数的图象经过点（1，-2），则正比例函数的解析式为________ ，函数值随着自变量的增大而_______ 。

【小结】这个环节的设计可以让学习基础较好的学生有另外的发展空间，让他们的学习能力得到进一步的提升与发展。

六、教学反思

通过对一次函数图象第一课时的学习，我们充分了解了正比例函数表达式和图象之间的对应关系。教师通过数形结合的方式，创设教学情境，激发学生对于正比例函数图象的探究兴趣，并给予学生亲自探索和实践的机会，让学生得到正比例函数图象是一条经过原点的直线的结论。此外，教师在巩固练习中引导学生积极思考问题，不断提升学生解决问题的能力。