转化：解决多元变量问题的有效途径

李冰清

摘要：多元变量问题在综合题出现的几率非常高，同时还是一个难点。根据已知直接解决，确实很难找到一个有效的途径，但如若根据已知进行转化，将其转化成为线性规划或者直线与圆锥曲线的位置关系，就能够轻松解决问题，不仅能够降低问题的难度，还能够提高正确率。

关键词：多元变量问题；有效途径；转化

函数中的多元变量问题是函数导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，在处理多元不等式可以利用条件粗略确定变量的取值范围，然后处理好相关函数的分析。本文中，笔者以两道习题（例1、例2）为例，探究了转化——解决解决多元变量问题的有效途径.

一、转化为线性规划问题求解

简单的线性规划问题是高中数学新课标教材的重点内容，也是近年高考命题的热点。线性规划问题的常规解法是“截距法”，即利用线性目标函数z=ax+by（b≠0）的几何意义：“是直线，y=-x+在y轴上的截距”来求解.而对于有些线性规划问题.也可以运用新的视角探究其解法.

例1.已知函数y=f（x）是R上的减函数，函数y=f（x-1）的图像关于点（1， 0）对称，若实数x， y满足不等式f（x2-2x）≤-f（2y-y2），且1 ≤ x ≤ 4，则的取值范围是_____

[解析] f（x2-2x）≤-f（2y-y2）f（x2-2x）≤ f（ y2-2y）x2-2x≥ y2-2y，即（x2-y2）-2（x-y）≥0，所以有（x-y）（x+y-2）≥0。再结合1≤x≤4可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是[-，1]

[点评]从所求出发可联想到（x， y）与（0，0）连线的斜率，先分析已知条件，由f（x-1）对称性可知f（x）为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形，转化为平面区域内的点与原点连线的斜率范围问题。

二、转化为直线与圆锥曲线的位置关系问题

二元变量最值问题是高中数学中的一大难点，这类问题知识覆盖面广、综合性强、解题方法灵活，能很好地考查学生的数学知识和思维能力，具有较好的区分度，是命题者比较青睐的题型，在各类综合性考试以及高考中出现的频率都非常高.二元变量最值问题涉及到函数、不等式、线性规划等诸多重要的知识点，同时还体现了函数与方程、转化与化归、数形结合等核心数学思想。

例2.设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式组，那么m2+n2的取值范围是（ ）

A.（3， 7） B.（9， 25） C.（13， 49） D.（9， 49）

[解析]由f（1-x）+f（1+x）=0可得：f（1-x）=-f（1+x），所以f（x）关于（1， 0）中心对称，即-f（x）=f（2-x），

所以：f（m2-6m+23）+ f（n2-8n）<0f（m2-6m+23）<-f（n2-8n）= f（2-n2+8n），利用f（x）单调递增可得：

m2-6m+23<2-n2+8n（m-3）2+（n-4）2<4，所以m，n满足的条件为①，所求m2+n2可视为点（m，n）到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可行域，为以C（3，4）为圆心，半径为2的圆的右边部分（内部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是 ，所以m2+n2∈（13，49）。

[点评]二元变量问题一般与圆锥曲线的轨迹方程有密切联系，如果根据函数特点合理的转化即可利用曲线轨迹中的最值问题来解决，本題首先考虑变形f（m2-6m+23）+ f（n2-8n）<0，若想得到m，n的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。

三、结语

数学创新题的具有“新”和“活”的特点，具有原创性，所以在做题过程中，需要突破固有的思维方式去进行阅读和理解。在解答创新题的过程中遇到的第一个难题就是读不懂题，理解不了题目的意思，这样直接导致后续过程停滞。多元变量问题涉及的数学知识和数学思想方法众多，对于这类问题的解决，不但能丰富知识储备，提升学生数学能力，而且有利于学生掌握数学思想方法，提高综合运用知识解决问题的能力.

参考文献：

[1]李鑫.最值问题的常用解决方法解析[J].学园 2014年12期

[2]龙林川.浅谈二变量线性规划问题的图解法[J].科技信息.2012（25）