关于抽样分布定理的一个证明

马朝忠　邓西云　张岩

摘 要 利用实称矩阵的性质，根据化二次型为对标准形方法，采用代数中正交变换的方法对概率论与数理统计中的一个抽样分布定理进行了重新证明，并说明了每一步产生的理论依据和思想来源，使得这个定理的证明思路更加清楚，更易于接受。

关键词 实对称阵 二次型 标准形 抽样分布

中图分类号：O211 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.01.027

A Proof of Sampling Distribution Theorem

MA Chaozhong[1]， DENG Xiyun[2]， ZHANG Yan[1]

（[1] College of Science， PLA Information Engineering University， Zhengzhou， Henan 450001；

[2] Zhengzhou No.43 Middle School， Zhengzhou， Henan 450001）

Abstract According to the property of real matrix， a sample distribution theorem in probability theory and mathematical statistics is proved again by the method of quadratic form of the standard form and the method of orthogonal transformation in algebra， Theoretical basis and source of thought， making the proof of this theorem clearer and easier to accept.

Keywords symmetrical array； secondary type； standard form； sampling distribution

抽樣分布在概率论与推断统计中具有承上启下的作用，一方面，它把的抽象的概率理论实用化，成为一种可以应用风险推断的方法；另一方面，它是推断统计的重要理论基础，使风险推断具有科学的理论依据。同时，在数理统计教学中，抽样分布定理也是区间估计和假设检验等统计推断技术的理论根据。因此，厘清抽样分布定理的证明思想和证明方法对于加深理解、增强记忆都有很大的帮助。

对于抽样分布定理，文献[1]和[2]都不同程度对给出了证明，但是在文献[1]中，主要讨论了期望为0的情况，文献[2]则对正交化、单位化等方法的来源未作说明，同时，二者都是直接说可以通过一个正交变换来进行证明，而把正交变换是如何得到的这一关键环节省略了，导致定理的证明不易理解。针对这一问题，本文利用实称矩阵的性质，根据化二次型为对标准形方法，采用代数中正交变换的方法对概率论与数理统计中的一个抽样分布定理进行了重新证明，并说明了每一步产生的理论依据和思想来源，使得这个定理的证明思路更加清楚，更易于接受。

定理：设是来自总体 的样本，分别是样本均值和样本方差，则有

（1） ；

（2）与相互独立。

思路：由，根据分布的定义，就是考察是否可以分解为个标准正态分布的平方和，据此，对进行分解。

证明：设，则。

由（6）式知，是关于的二次型。由于矩阵A为实对称阵，可知A必存在正交阵使得A可相似对角化，据此，以下利用化二次型为标准形的正交变换方法，化（6）式为标准形。

首先，写出A的特征多项式，计算矩阵A的特征值。

得基础解系，因为实对称矩阵的互异特征值对应的特征向量必正交，所以只需要对单位化，得到。

然后，构造正交阵P化二次型为标准形。

令，则有。从而有使得

由于P为正交阵，则P可逆且，从而，即

亦即；又由于，，且相互独立，所以它的线性组合也服从正态分布；根据期望的性质，有，，因此，且相互独立；由分布的定义，再结合（7）式可知，即。又由（3）式和（8）式有，再由（1）式可得，可以看出，只与相关。由（7）式知只与，而与相互独立，所以 与相互独立。

由此，文献[1]，[2]中未明确指出的正交矩阵，在化二次型为标准形的过程中自然求得，从而使得正交阵的出现不再显得突兀，也更有利于理解和接受。

参考文献

[1] 梁之舜，邓集贤等.概率论与数理统计（下）[M].北京：高等教育出版社，2003：16-19.

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010：143-147.

[3] 同济大学数学系.线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008：111-134.