聚焦“方程和不等式”应用型问题分析

江苏省海门市能仁中学 花永平

在课程改革和课标理念的指导下，中考命题出现了能力立意和题型创新的新型试题，考试的基本核心不仅对基本知识和基本方法的考查，更加注重了对考生学习潜能的考查，并注重为初中数学学习全面提高，切实提升现代学生的核心素养，全面提高学生的应试能力。本文结合具体例子对方程与不等式，从其综合生长的角度涵盖三个方面：（1）用函数图象求方程的解和不等式的解集。（2）用几何融合探索方程的解和不等式的解集。（3）用流程图涵盖方程的解和不等式的解集。帮助大家将所学知识进行合理的串联和有效的融合，从而对方程和不等式知识有一个再认识、再提升的过程

一、用函数图象求方程的解和不等式的解集

用函数图象来求方程的解和不等式的解集。重点是关注这条直线与x轴交点的横坐标就是对应方程的解。而求不等式的解集就是看这条直线在x轴上方或者下方部分对应的横坐标所构成的集合即为不等式的解集。

例1 在平面直角坐标系中，画出的图象，从图象中可以发现哪些信息？

【分析】可以发现信息：

（1）直线和x轴、y轴的交点分别为A（-3，0）、B（0，4）；

（2）直线经过一、二、三象限，并且从左向右呈上升趋势；

（3）△AOB的面积；

（4）的解，即为A点的横坐标；

（5）当x﹥-3时，y﹥0；当x﹤-3时，y﹤0。

【点拨】以上信息都是从图象中直观得出来的，你发现了吗？

你还能发现什么或提出什么问题？如：

（1）当x满足什么条件时，y﹥2？（在图中找出对应的直线在y=2的上方部分对应的x的范围，即为不等的解集）

（2）方的解为正数，求k的取值范围？（在图中找出对应的直线与y=k的交点横坐标大于0时，找k的取值范围）

（3有两解，且有一解大于-1，求k的取值范围？

【点拨】对于以上问题，注重开放，考查探究能力和创新能力。每年的中考题会出现一些让人耳目一新的题，他们的精巧的构思、生机盎然地呈现形式让人注目。这些题常中见拙，拙中见巧，为不同程度的学生提供展示自己才华的平台。假如从方程本身去思考，需分类讨论；假如借助函数图象，解题更直观清晰。

二、用几何融合探索方程的解和不等式的解集

例2 市区某中学九年级学生步行到郊外春游。一班的学生组成前队，速度为4km/h，二班的学生组成后队，速度为6 km/h。前队出发1 h后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12 km/h。若不计队伍的长度，联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间存在着某种函数关系。

（1）求后队追到前队所用的时间的值；

（2）联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中，求此函数关系表达式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；

（3）联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中，当x为何值时，他离前队的路程与他离后队的路程相等？

【分析】（1）当x=0时，一班组成的前队出发1小时，二班组成的后队准备出发，两队相差4 km，接着后队和前队进行追及问题，只要简单构建方程就行了。

后队追及前队：4+4x=6x。

联络员追及前队：4+4x=12x 解得x=0.5，故AC长度为6 km。

（2）当x=0.5时，联络员开始折返，他与后队进行的是相遇运动，后前队做的是背向运动。

联络员和后队作相遇运动，他们的相遇时间：6x+12（x-0.5）=6，解

联络员和前队作背向运动，他们的相距的距离：y=(4+12)(x-0.5) 。

（3）要看联络员在追上前队前，还是在追上前队返回过程中，他离前队的路程与他离后队的路程相等，我们可以利用直线图，合理构造方程即可。

【点拨】针对上述问题，所涉及的数学量比较多，信息量比较大，运动关系比较复杂，对于这一类问题，指导学生经历用观察、画图、计算等手段，合理求解。

【思考】同学可以想一想：联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中，当x为何值时，他离前队的路程大于他离后队的路程（他离前队的路程小于他离后队的路程）？

【点拨】用函数的图象来解决该问题也不失为一个很好的方法。

三、用流程图涵盖方程的解和不等式的解集

例3 对一个实数按如图所示的流程图进行操作，规定程序运行从“输入一个实数x”至“判断结果是否大于244”为一次操作。

（1）若输入实数x=11，则输出的结果是__________；

（2）输出的结果可能会是352吗？

（3）若操作恰好进行四次才停止，求x的取值范围；

【分析】第一次：3x-2，第二次：3（3x-2）-2=9x-8，第三次：3（9x-8）-2=27x-26，第四次：3（27x-26）-2=81x-80，第五次：……

第二问：用方程思想去解答（需要分类讨论）： 若是一次出结果3x-2=352，则x=118。若是两次出结果9x-8=352，则x=40；若是三次出结果27x-26=352，则x=14；若是四次出结果81x-80=352，则x=5.333（舍去）。

第三问：建立不等式解答：27x-26≤244且 81x-80 ＞352，解得4＜x≤10。

【点拨】本题的流程图，看似没有方程和不等式，其实它考查的本质就是方程和不等式，而同学们在解题就是时要抓住问题的本质，追本溯源解决问题。

总之，我们教师应针对初中课数学课程改革和中考的命题，在学生备考试题时要有的放矢，注意关注中考信息，认真分析考点考什么，学生做什么，考到哪个层次，就把训练的标准定到哪个层次，做到以课本为基础，让学生终身学习到生活中必须的数学知识和科学的数学方法，在学习过程中培养学生的能力，真正切实提高学生运用知识解决问题的能力。方程、不等式的试题多样，形式多变，方法多用，而解决该类问题的关键是弄清问题中所涉及的数量关系，选取适当的方法，这样离解决问题就近在咫尺了。这样，学生在中考的舞台上就能大展拳脚。