浅析高中物理图像中斜率的意义及应用

秦绪健

在高中物理学习中，物理图像中斜率的应用非常广泛，有不少同学对此缺乏正确的分析，常常混淆斜率的应用或者忽略有关限制条件。如果对这类问题模棱两可，领会不深刻，会导致物理学习出现较大困难，做题时有会而不对，对而不全的情况，甚至对有些题目无从下手。

下面对斜率的有关问题进行讨论。

一、割线斜率与切线斜率的比较

从数学知识可知，斜率是表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度，通常是用直线和水平线的夹角的正切来表示。如图1所示，Ⅰ线为P点与坐标原点相连接的割线，其斜率k=，即过原点的割线斜率为相应的y与x瞬时值的比值；Ⅱ直线为P点的切线，其斜率k1=，即切线斜率为相应的y与x微小变化量的比值。显然，在图线为曲线时，某点的切线斜率与过该点和原点的割线斜率一般并不相等，只有在图线为过原点的直线时，两者的斜率才一定相等。

因此，在物理图像中，两种斜率所反映的问题是不同的，用切线的斜率来表示的是用微小变化量的比值来反映的物理量，如：

1.速度v=，在x-t图像中，切线斜率表示速度的瞬时值。

2.加速度a=，在v-t图像中，切线斜率表示加速度的瞬时值。

3.电流强度I=，在q-t图像中，切线斜率表示电流强度的瞬时值。

4.电动势E=n，在Ф-t图像中，切线斜率表示电动势的瞬时值。

用过原点的割线来表示的是相应瞬时值的比值来反映的物理量，如：

1.电阻R=，在U-I图像中，过原点的割线斜率表示电阻值。

2.质量倒数=，在a-F图像中，过原点的割线斜率表示质量的倒数值。

下面探讨运用斜率法解题：

例1：列车在恒定功率机车牵引下，从车站出发行驶5min，使速度达到20m/s，那么在这段时间内，列车行驶的路程（ ）

A.一定小于3km B.一定等于3km

C.一定大于3km D.不能确定

解析 列车在恒定功率下行驶，牵引力随速度增加而减小。因此，列车做初速度为零的加速度不断减小的加速运动。由此可做出v-t图像①曲线（图2），图②直线为加速度不变的参考的v-t图线。比较①②线所围的“面积”，便可得答案C正确。

中学里解此题，若不做v-t图像，不用斜率法几乎不可能求解的。斜率法解此题形象直观。

例2：一个标有“220V 60W”的白炽灯泡，加上的电压U由零逐渐增大到220V，在此过程中，电压U与电流I的关系可用图线表示题中给出的四个图线中，符合实际的是（ ）

解析 因金属导体的电阻率随温度的升高而增大，故加到白炽灯泡上的电压由零逐渐增大到220V的过程中，钨丝的电阻值逐渐增大。因此，過U-I 曲线上的点和原点的割线的斜率，随U（或I）的增大而增大，从而可判定图线B是符合实际情况的。

此题存在着用切线斜率来判断的错误，需引起注意。

二、用斜率表达物理量的限制条件

应用斜率解决物理问题时，在应用k=tanа时，若忽视限制条件，不考虑物理意义，容易出现数学与物理知识的矛盾，很多同学却往往忽略这一点。

对于斜率，数学上是这样定义的：

“直线倾角为а时，斜率k=tanа，0≤а≤∏”。它是在横纵坐标轴标度相同时方能成立的。

例1：感应电动势E=ΔФ/Δt=tanа=斜率，依据原文中给定的已知条件，我们可以通过两条途径计算电动势的数值。

解法一：由图可见，如果以纵横坐标增量的比值计算电动势：

E= tanа=ΔФ/Δt=（20-5）/（4-1）=5（V）

解法二：若用E=tan45°=1V

上述计算，在角度相同（同是а）的情况下却得到了不同的正切值，亦即两种方法得到电动势的数值是不同的。

我们知道，在三角函数中，正切值tanа是随着角度а（自变量）而变化的。角度а相同时就应该有相同的正切值，以上由于计算方法的不同而得到不同的结果，很显然解法二是不正确的。

由此可见，直线倾角а的大小与它所在的坐标系的横纵坐标单位长度（标度）的取值有关，标度不同就会有不同的а和tanа值。因此，用E= tan45°计算电动势时，横坐标t与纵坐标Ф单位长度必须取值相同时，才能有唯一的角度а和正切值tanа。原题所给图形的横纵坐标标度不一致，所以在这种情况下，就不能用斜率计算电动势的数值。

在物理学中，用斜率tanа表达有关物理量往往比较简洁明了，因此在物理量的表述上应用颇多。但我们一定要注意限制条件：只有横纵坐标标度相同时，才能用斜率tanа计算有关物理量，否则只能用纵横坐标增量比值的计算方法。总之，我们在物理学习中，要把单纯的数学知识运用同物理意义有机结合起来，而不是单纯的套用公式而忽视物理意义，以免出现错误的多值结果。

总之，研究物理图像问题时，首先注意分析斜率的物理意义，搞清割线斜率和切线斜率的意义，不能混淆；其次，注意斜率表达物理量的限制条件，搞清标度和直线夹角的关系，通过分析做出正确的判断。