圆锥曲线的焦点弦长公式

王树新

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）20-0127-02

一个平面从不同角度截一个圆锥面所得的曲线称为圆锥曲线，截得的结果可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线、两相交直线、点。不过，狭义上讲，圆锥曲线仅指椭圆、双曲线、抛物线，狭义圆锥曲线有一个统一的定义如下：

到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e的动点轨迹称为圆锥曲线，当01时轨迹是双曲线，当e=1时轨迹是抛物线。

定点F称为圆锥曲线的焦点，定直线l称为圆锥曲线的准线，定点到准线的距离称为焦准距（记为p），常数e称为离心率。（椭圆和双曲线都有两个焦点和对应的两条准线）

如下图1所示，P为某圆锥曲线上任意一点，则P1是P到准线的射影，则=e

过焦点的直线与圆锥曲线交于两个点A、B，这两点之间的线段成为圆锥曲线的焦点弦，当直线绕焦点转动起来时，焦点弦的倾斜角和长度都在变化。

当焦点弦与准线平行时称为圆锥曲线的通径。

一、抛物线的焦点弦长公式

例1. 如下图2，已知抛物线的方程是y2=2px（p>0），AB是过焦点F的弦。

（1）若A（x1，y1），B（x2，y2），求焦点弦长；

（2）若焦点弦的倾斜角是？兹，求焦点弦长。

解：焦点弦AB被焦点F截成两段，为了方便，我们分别记m=|AF|、n=|BF|则|AB|=m+n

（1）记A1、B1分别为A、B在准線l上的射影，根据抛物线的定义，m=|AA1|，n=|BB1|则焦点弦长为：

三、圆锥曲线的焦点弦长公式

例3.如下图6，某圆锥曲线的焦点为F，准线为l，焦准距为p，过焦点F的弦AB与对称轴（过焦点与准线垂直的直线）夹角为？兹，求焦点弦AB的长。

解：记m=|AF|、n=|BF|，如图7，作A1、B1分别为A、B在准l线上的射影，作FC⊥AA1于C，作BD⊥于对称轴于D，则在Rt△ADC中，

要注意到，以上解题并不严密，还得继续考查其他图像情况 ，当点F在焦点弦外（此时的圆锥曲线为双曲线）类似可得 |AB|=

综上所述，无论是椭圆、双曲线还是抛物线，它们有相同的焦点弦长公式，其公式为|AB|=，其中p指焦准距。

四、焦点弦中通径最短

例4.当焦点弦AB与准线平行时，称为通径，求通径的长，证明通径是最短的焦点弦。

解：如上图7所示

|AB|=2|AF|，且=e，即|AF|=e|AA1|=ep

所以通径|AB|=2ep

如图8，我们取弦AB的中点为E，作A1、E1、B1分别为A、E、B在准线上的射影则梯形AA1B1B中，|AA1|+|BB1|=2|EE1|

则|AB|=|AF|+|BF|=e|AA1|+e|BB1|=e（|AA1|+|BB1|）=e（2|EE1|）=2e|EE1|

从图8中容易看出|EE1|≥p

所以|AB|=2e|EE1|≥2ep

即焦点弦长不小于通径，当且仅当E与F重合时，焦点现场等于通径。简而言之，焦点弦中通径最短。