一而再，再而三，试题三现见真颜

郑俊辉

【摘要】数学核心素养不是指具体的知识与技能，而是指能够反映数学本质与数学思想，在数学学习过程中形成的具有综合性、阶段性、持久性的一种数学能力。从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。

【关键词】数学 核心素养 不等式 试题讲评

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）20-0118-01

一次高三模考结束，笔者所在的一个磨课团队安排了一次试卷讲评课的磨课活动。结合考试中的第16题（考查基本不等式的知识），笔者在进行试卷讲评时，就数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上进行了探索和尝试。

1.教学分析

1.1考情分析

第16题是一道不等式的题目，位于7道填空题的第6题，在全市统计中，本道试题是选择填空中得分率最低的一道题目，难度系数为0.1。

1.2学情分析

基本不等式已完成一轮复习，学生对基础知识较为熟知，对“a+b与ab的关系”、“常数代换”、“消元法”、“判别式法”等常用解题方法已有一些了解和训练，但表达式结构发生变化，背景发生转换后，处理能力显得不足，不能有效的转换到熟悉题型、熟悉方法上，同时在理解试题的本质上能力还有所欠缺。

2.教学过程

2.1试题一现

已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值是_________。

师：我们再看看考试的这道试题，大部分同学没有得分，这节课我们再来研究它，我想我们一定能解决它，并且能用多种方法来解决，我们先思考下面这些问题：

铺垫：条件不变，已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，思考下列问题：

（1）求xy的最大值

（2）求2x+3y的最小值

（3）求x+y的最小值

学生思考回答，教师归纳引导

生1：（1）小题只要用到x+y≥2就可以解决了。

生2：（2）小题可以用xy≤（）2来解决，不过要把2x和3y分别看作一个整体。

生3：（3）小题我想到了“判别式法”。

师：嗯，已知二次等式关系，求一次表达式最值时，我们常常用到“判别式法”，下面我们同学用这种方法一起试试看？

学生陆续算出结果。教师环绕查看。

师：我们还有没有方法可以处理？

生4：我觉得还可以对题干进行整理，利用这个等式关系得到x和y的关系后，代入所求表达式，就只剩一个变量了。

师：非常好，我们的同学对常规的方法还是比较熟练的，而且在第（3）小问上有用两种方法进行解决，下面我们再试试考试的这道题。

（设计意图：通过更常规的设问让学生回顾基本不等式的基础知识及常用方法，使学生对原题产生再次思考的兴趣和再试试的冲动）

2.2试题二现

已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值是__________。

（学生在上述问题的背景下再次尝试，对xy+5x+4y进行变形后求42+3x+y的最小值，大部分同学已经能够处理了）

生5，生6分别利用“判别式法”、“消元法”进行板演，并作分析。

（设计意图：让已做出的同学有所展示，未做出的同学再次感受知识方法的应用）

设问：对这个表达式的处理，我们用到了整体代换、消元法、判别式法，我们还可以怎样处理？对这道题我们还有没有其他的更本质更简洁的解法？

师：基本不等式是若正实数a，b的和为定值，则积有最大值，积有定值，则和有最小值的描述，也就是对正实数a，b，有“a+b≥2”和“ab≤（）2”的应用。那么这道试题我们能不能转换成这个问题。

（设计意图：再次让学生产生求知的欲望，积极思考，认真听老师接下来的讲解）

铺垫：x=-1或y=-2是xy+2x+y+2=0的________条件

学生思考回答（教师引导）

xy+2x+y+2=（x+1）（y+2）=0？圯x=-1或y=-2，所以是充要条件

（设计意图：引导学生利用因式分解来处理表达式）

2.3试题三现

已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，則xy+5x+4y的最小值是___________。

师：我们能对条件和所求的表达式都进行因式分解吗？

生7：xy+5x+4y=（x+4）（x+5）-20 xy+2x+3y=42？圯（x+3）（y+2=48

师：表达式转换后我们可以怎么处理？

生8：那么可以令x+3=m，y+2=n，条件变成了mn=48

结论变成：求（m+1）（n+3）-20的最小值。

（m+1）（n+3）-20=mn+3m+n-20=3m+n+31≥2+28=24+31=55取得时，“3m=n=12”即“x=1，y=10”

（设计意图：对新的处理方式进行熟悉）

课堂练习

若正实数a，b满足a2+b2-ab=12，则a2-b2的最大值是 _______。

（设计意图：对新的处理方式进行熟悉）

3.教学思考

试题讲评是高三数学复习教学中最常见、最重要的一种课型，笔者结合考试情况，知识掌握的情况，选择一道试题，以微专题探究的形式对试题进行三现，通过三现来寻找试题背后的数学知识本质，利用数学本身来解决问题，当理解本质问题，所用到的方法都变成了一种手段，变成了一种自然而然的想法，而不是一种技巧了。同时通过铺垫、引导、来体验数学知识发生发展过程的合理性，同时满足了学生思维过程的合理性，反映了数学本质与数学思想。

参考文献：

[1]任伟芳.高中数学创优课例探讨与教学设计.宁波出版社，2014