平面向量常见典型考题赏析

■余智敏 何春玲

题型1：平面向量的基本概念

求解与平面向量的概念有关的命题的真假判定问题，关键在于理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足:模相等且方向相同。向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不能比较大小，但向量的模是非负实数，可以比较大小。

例 1给出下列四个命题:

①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的等价条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b 的等价条件是|a|=|b|且a∥b。

其中正确命题的序号是( )。

A.②③ B.①②

C.③④ D.①④

解：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，①不正确。由，可得，又A，B，C，D是不共线的四点，可知四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，②正确。由a=b，可得a，b的长度相等且方向相同，由b=c，可得b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，即a=c，③正确。当a∥b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a∥b不是a=b的等价条件，④不正确。应选A。

跟踪训练1：给出下列四个命题:

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λ a=0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λ a=μb，则a与b共线。

其中错误的命题个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

提示：两向量共线要看其方向而不是起点或终点，①错误。因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为非负实数，可以比较大小，②正确。当a=0时，不论λ为何值，λ a=0，③错误。当λ=μ=0时，λ a=μb=0，此时，a与b可以是任意向量，④错误。应选C。

题型2：共线向量定理及其应用

(1)利用共线向量定理可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值。(2)若a，b不共线，则λ a+μb=0的等价条件是λ=μ=0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛。(3)证明三点共线的方法:若存在实数λ，使得，则A，B，C三点共线。

例 2设两个非零向量a和b不共线。

(1)若3(a-b)，求证:A，B，D三点共线。

(2)试确定实数k的值，使k a+b与a+k b共线。

解：(1)因为=2a+8b，=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5，由此可知共线。

又有公共点B，所以A，B，D三点共线。

(2)因为k a+b与a+k b共线，所以存在实数λ，使得k a+b=λ(a+k b)，即得解得k=±1。故当k=±1时，k a+b与a+k b共线。

跟踪训练2：已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同。若a，t b，(a+b)这三个向量的终点在同一条直线上，则t=____。

题型3：平面向量基本定理的应用

平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。利用平面向量基本定理解决向量问题的一般思路是:先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决问题。

例3如图1，在△ABC中，设=a，=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则=( )。

图1

图2

题型4：平面向量的数量积

向量数量积的两种运算方法:①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉；②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2。

向量数量积的运算要注意两点:①若a·b=a·c(a≠0)，则不一定得到b=c；②向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)。

例 4如图3，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，____。

图3

解：(方法1)以D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系x Dy(图略)。

跟踪训练4：如图4，正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为____，的最大值为____。

图4

(方法2)以A为坐标原点，AB，AD分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系x Ay(如图5)。

图5

则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)。

设E(t，0)，t∈[0，1]，则=(t，-1)，=(0，-1)，可得=(t，-1)·(0，-1)=1。

由DC→=(1，0)，得=(t，-1)·(1，0)=t≤1，即的最大值为1。

(方法3)如图6，无论点E在哪个位置，方向上的投影都是||=1，可得|·1=1。

图6

当点E运动到点B时，方向上的投影最大，其最大值为||=1，可得|·1=1。

题型5：平面向量的夹角

求向量的夹角的常见题型:①依据条件等式求两向量的夹角，此类问题求解过程中应关注夹角的取值范围；②依据已知图形求两向量的夹角，此类问题求解过程中应抓住“两向量共起点”的特点。

求两个非零向量的夹角要注意:①数量积大于0，说明不共线的两个向量的夹角为锐角；②数量积等于0，说明两个向量的夹角为直角；③数量积小于0且两个向量不共线时，两向量的夹角是钝角。

例 5若向量a，b的夹角为，且|a|=2，|b|=1，则a与a+2b的夹角为( )。

解：设向量a与a+2b的夹角为α。

跟踪训练5：已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=t a+(1-t)b。若b·c=0，则t=。

题型6：平面向量的模

把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量a=(x，y)，则|a|=。不把向量放在坐标系中，求向量的模，这时可利用公式|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2转化求解。

解：由题意可得|e1|=1，|e2|=1。由得〈e1，e2〉=60°。

由b·e1=b·e2=1＞0，可得〈b，e1〉=〈b，e2〉=30°。

由b·e1=1，可得|b||e1|cos 30°=1，故

题型7：平面向量的共线与垂直问题

平面向量的坐标表示可使平面向量的运算完全代数化，于是可利用“方程的思想”求解向量的共线与垂直问题。

跟踪训练7：已知向量a=(3，1)，b=(1，3)，c=(k，-2)，若(a-c)∥b，则向量a与c的夹角的余弦值是( )。

提示：由已知得a-c=(3-k，3)。

由(a-c)∥b，可得3(3-k)-3=0，解得k=2，这时c=(2，-2)。

题型8：向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的作用:①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”。②工具作用，利用a⊥b⇔a·b=0，a∥b⇔a=λ b(b≠0)，可解决垂直、平行问题。

例8(1)已知向量(4，5)，=(10，k)，且A，B，C三点共线，当k＜0时，若k为直线的斜率，则过点(2，-1)的直线方程为____。

(2)设O为坐标原点，C为圆(x-2)2+y2=3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足=____。

解：(1)由=(4-k，-7)，=(6，k-5)，且，可得(4-k)(k-5)+6×7=0，解得k=-2或k=11。

由k＜0，可知k=-2，则过点(2，-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2)，即2x+y-3=0。

(2)由=0，可得OM⊥CM，可知OM是圆的切线。

设OM的方程为y=k x。

跟踪训练8：已知圆C:(x-2)2+y2=4，圆M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R)，过圆M 上任一点P作圆C的两条切线P E，P F，切点分别为E，F，则P→E·P→F的最小值是( )。

A.5 B.6

C.10 D.12

提示：由圆C:(x-2)2+y2=4，可知圆心C(2，0)，半径为2。

由圆M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1，可知圆心 M(2+5cosθ，5sinθ)，半径为1。由于CM==5＞2+1，所以圆C与圆M相离。

如图7所示，设直线CM 和圆M 交于H，G两点，则的最小值是。

图7

题型9：平面向量与三角函数的交汇问题

平面向量与三角函数的交汇问题是近几年高考的热点，应该引起同学们的重视。

(1)若m⊥n，求tanx的值。

提示：由题意可知6sin2α+cosα(5sinα-4cosα)=0，即 6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0。

上述等式两边同除以cos2α，得6tan2α+5tanα-4=0。

题型10：平面向量中的新定义问题

这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查同学们获取信息，利用信息分析和解决问题的能力。解答这类问题，首先要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程中，这是破解新定义信息问题难点的关键。

例10对任意两个非零的平面向量α向量a，b满足a与b的夹角b等于( )。

跟踪训练10：设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b=(a1b1，P(x，y)在y=sinx的图像上运动，Q是函数y=f(x)图像上的点，且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点)，则函数y=f(x)的值域是____。

提示：设点Q(c，d)。

由点P(x，y)在y=sinx的图像上，可知点P(x，sinx)。