对一道两条线段长度和的最值问题的初探

秦军

摘 要：历年来，高考数学都要考查圆锥曲线中的最值问题，此类问题是解析几何综合问题的重要内容之一，它融解析几何知识、函数、不等式等知识为一体，综合性强，且对于解题者有着相当高的能力要求。作者通过和学生一起对一道抛物线中的两条线段的最值问题进行探究，让数学探究性学习深入到教学活动中，同时也促使学生的思维主动积极地参与到探究性活动中。

关键词：最值；探究活动；数形结合；分类讨论

中图分类号：G633.6

文献标识码：A

收稿日期：2018-01-03

作者简介：秦 军（1976—），男，中共党员，福建省长乐华侨中学教师，本科，研究方向：数学教学。

圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考中的热点问题。笔者通过和学生一起对一道抛物线中的两条线段的最值问题进行探究，让数学探究性学习深入到教学活动中，同时也促使学生的思维主动积极地参与到探究性活动中。

首先，让我们一起来看一道极其普通的题目，结合现实教学做以下探究，仅供大家参考。

例1：已知直线l1：3x-4y-6=0和直线l2：y=-1，求抛物线x2=4y上的动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值？

一般地，我们教师会引导学生发现直线l2：y=-1，其实是抛物线x2=4y的准线。根据抛物线的定义知动点P到直线l2 的距离|PM|等于动点P到焦点F（0，1）的距离（如图1所示），即|PM|=|PF|。因此本题就转化为在抛物线x2=4y上找一个点P，使点P到点F（0，1）和到直线l1 的距离|PE|的和最小，也就是F（0，1）到直线l1：3x-4y-6=0距离。即|FN|==2。此方法灵活地运用了抛物线的定义和数形结合的思想，起到了事半功倍的效果。

但在实际的教学过程中，笔者常常会引导学生开展以下的探究活动。

探究一：延伸问题

例2：已知直线l1：3x-4y-6=0和直线l2：y=-1，求抛物线x2=4y上的动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值，及此时点P的坐标？

受一般方法的影响，学生很快就能想到，先求出直线FN的方程，然后再与抛物线x2=4y联立，求出直线与抛物线的交点，结合图像即可得出点P坐标。

此时，我引导学生思考用代数的方法求解。设动点P的坐标为（x，x2），则 |PE|+|PM|=。化简

得：|PE|+|PM|=，当x=

时，|PE|+|PM|取得最小值2，此时点P的坐标为（，）。通过计算，可以得到答案，但大部分学生会觉得计算量比较大，没有第一种方法简洁。我会肯定学生的想法，并通过这种疑问进入下面的探究环节。

探究二：改变直线l2 位置

实际教学中，会有学生提出直线l2：y=-1的位置比较特殊，它正好是抛物线x2=4y的准线。如果它不是准线，可以吗？

例3：已知直线l1：3x-4y-6=0，求抛物线x2=4y上的动点P到直线l1和x轴距离之和的最小值？

学生们很快就能发现，此时和例1有很大的联系。到x轴距离比到直线l2：y=-1距离小1。同理可得最小值为1（如图2所示）。此时我会进一步引导学生自己出一道类似的题目，很快就会有“已知直线l1：3x-4y-6=0和直线l2：y=-3，求抛物线x2=4y上的动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值”之类的题目出现。说明学生对例1中灵活地运用了抛物线的定义和数形结合的思想度掌握得十分理想。时机差不多了，我马上就抛出第四个例题。

例4：已知直线l1：3x-4y-6=0和直线l3：y=3，求抛物线x2=4y上的動点P到直线l1和直线l3距离之和的最小值？

问题一抛出，下面就有学生开始议论了，直线l3：y=3虽然与准线也是平行的关系，但它在x 轴的上方和抛物线是相交的（如图3、4所示）。

如图3所示：点P在直线l3：y=3下方，则|PE|+|PH|=4+|PE|-|PM|=4+|PE|-|PF|，和例1中的|PE|+|PF|显然不一样了。

如图4所示：点P在直线l3：y=3上方，

则|PE|+|PH|=|PE|+|PM|-4=|PE|+|PF|-4，也无法让点P、F、E三点共线取得最小值

了。

此时，设动点P的坐标为（x，x2），

则 |PE|+|PH|=。分类

讨论，当时，可化简得：

|PE|+|PH|=-。当时，

|PE|+|PH|取得最小值。当

或时，可化简得：|PE|+|PH|=

。当时，|PE|+|PH|取得最小值。

通过探究二改变直线l2位置，学生不仅对几何法有了更深刻的理解，同时也加强了代数法计算的能力和分类讨论的思想，可以说是一举两得。

探究三：改变直线l1位置

通过探究二中的分类，学生们不难发现，|PE|=，因为3x-x2-6恒为负数，所以可以很简单地去掉绝对值变成x2-3x+6。此时，我们首先要肯定学生，表扬他们善于发现问题的品质，并借机抛出新的问题。

例5：已知直线l4：3x-4y+4=0和直线l2：y=-1，求抛物线x2=4y上的动点P到直线l4和直线l2距离之和的最小值？

如图5所示：|PE|+|PM|=|PE|+|PF|，

也无法让点P，F，E三点共线取得最小值了。

此时，设动点P的坐标为（x，x2），则 |PE|+|PM|=。分类

讨论，当-1≤x≤4时，可化简得：

|PE|+|PM|=；当x=-1时，

|PE|+|PM|取得最小值；当x<-1或

x>4时，可化简得：|PE|+|PM|=

；当x=-1时，|PE|+|PM|取得最小值。此时，点P和点E重合。可以总结若直线l4 与抛物线相交，当点P和点E重合时，|PE|+|PM|取得最小值（注：结合图像取点）；若直线l4 与抛物线相交，且斜率为零，此时就会出现无数个点使得|PE|+|PM|取得最小值（如图6所示）。

探究四：改变曲线的方程

例6：已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求|PA|+|PF1|的最大值与最小值（图略）。

解：设椭圆的右焦点为F1，可知其坐标为（3，0）。由椭圆的第一定义得：|PF1|+|PF2|=10 。

∴|PF1|=10-|PF2|，

∴|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10+

|PA|-|PF2|。

可知，当P为AF2的延长线与椭圆的交点时，|PA|-|PF2|最大，最大值为|AF2|=；当P为F2 A的延长线与椭圆的交点时，|PA|-|PF2|最小，最小值为-|AF2|=-。

故|PA|+|PF1|的最大值为10+，最小值为10-。

通过此类的探究，一方面让课堂起到了“增效”“提速”的作用，学生更喜欢上数学课；另一方面，揭示了问题的本质，数形结合往往存在人为的题目设计，使得方法简洁，给人眼前一亮的感觉，但代数法可以做到以不变应万变，是方法之“母”。函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及的函数最常见的有二次函数、三角函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考查不容忽视。上述各例解题过程均是将圆锥曲线最值转化为讨论二次函数在区间上的最值，此时应注意其定义域是否受题设条件限制，是否需要分类讨论。

参考文献：

[1]杨 华，江明鑫，钱学吉.对一道例题的探究与发现[J].数学通报，2011（10）：36-37.

[2]赵 炜.解析高考中圆锥曲线的最值问题[EB/OL].http//www.docin.com/p-1549461162.html.2014-06-01.