求参数范围的几种方法
2018-06-01郭道俊
郭道俊
摘要：含参数不等式问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想，是高考热点题型之一。求参数范围往往和函数构成统一体，是高中数学的重点，也是难点，求解时各种方法时常也结合应用，构造函数，利用函数性质结合图形是解题的主要方向。
关键词：构造函数；数形结合；转换主元；分离变量
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）15-0129-01
含参数不等式问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现，题目一般综合性强，可考查函数、不等式及导数等诸多方面的知识，同时兼顾考查转化化归思想、数形结合思想，是高考热点题型之一。此类问题有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
正因为此类问题解法灵活、综合性强，所以部分考生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢？下面介绍一些求参数范围的主要方法，以供参考。
1.利用构造函数法
例、已知4a+loga3+a2>5恒成立，求a的取值范围。
该不等式是一个非常规不等式，不宜用通常的方法求解，联系到函数的单调性，可构造函数求解。
解析：令f（a）= 4a+loga3+a2，该函数定义域为（0，+∞），且在定义域上，函数y=4a，y= loga3，y= a2都是增函数，故f（a）在（0，+∞）上单调递增。又有f（1）=5，所以当f（a）>5= f（1）时，有a>1，即原不等式恒成立的a 的取值范围为（1，+∞）。
一般地，在运用"构造函数法"求解"含参不等式恒成立问题"时，结合所学函数快速判定构造方向是解题的关键。
2.利用数形结合法
例：当x （1，2）时，不等式（x 1）2 解析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。 设y1=（x-1）2，y2=logax，则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈（1，2），y1 数形结合是高中数学的一种重要的思想方法，包括"以形助数"和"以数辅形"两个方面，利用数形结合可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简。 3.利用分离变量法 例：若x∈（-∞，-1]，1+3x+（t-t2）·9x>0恒成立， 求实数t的取值范围。 解析：原不等式 t-t2>-3x-19x ， 则 t-t2> {-3x-19x } max ① 令y=-3x-19x=-（13）2x =-（13）x=-μ2-μ （设μ=（13）x）. 由 x∈ （-∞，-1]得μ∈ [3，+ ∞）， y=-μ2-μ 在[3， + ∞）上最大值为-12，代入①得 t-t2>-12， 解得-3 故实数t的取值范围为{ t|-3 4.利用转换主要元素的方法 例： 若不等式2x-1>m（x2-1） 对满足-2≤m≤2 的一切m都成立，试求实数x的取值范围。 解析： 若将原问题转化为集合[-2，2]是原关于m的不等式的解集的子集，则不可避免地要分类讨论.若令f（m）=（x2-1）m-（2x-1） ，则可转化为函数f（m）在区间[-2，2]上的最大值小于零，而f（m）是"线性函数"或"常数函数"，其最值在区间端点取得， 故f（-2）< 0且f（2）< 0，解之得，x的取值范围是（7-12，3+12） . 本题有两个变量x、m，且本来x为主元，但为了解题方便，把原不等式移项后右边为0，左边看作m的一次函数，这就大大简化了运算。在多字母的关系式中，处理参数的策略常常是"反客为主，重设函数"，通常的依据是已知取值范围的字母为主元，要求取值范围的字母为参数。 5.逆推代入法 这种方法主要应用于选择题中求参数范围。由于每个选项中都给出了参数的一个取值范围，因此可以从选项出发，给参数取几个特殊值，代入原函数检验是否满足条件，从而可确定参数的取值范围。 例：若函数f（x）=x2+（2a+1）|x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）。 （A）a<-32 或a>12（B）-32 （C）a>-12（D）a<-12 解析：取a=0，则函数化为f（x）=x2+|x|+1，显然函数是一个偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B和C；再取a=1，则函数化为f（x）=x2+3|x|+1显然函数是一個偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A.故选D。 这种方法也称为筛选法，它适用于定性型或不易直接求解的选择题。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选项。 以上几种是求参数范围的重要方法，熟练掌握可帮助我们快速有效解题，提高分析问题和解决问题的能力。求参数范围往往和函数构成统一体，是高中数学的重点，也是难点，求解时各种方法时常也结合应用，构造函数，利用函数性质结合图形是解题的主要方向。
