基于平方根无迹卡尔曼滤波算法的电动汽车质心侧偏角估计

田彦涛,张 宇,王晓玉,陈 华

(1.吉林大学 通信工程学院，长春 130022；2.吉林大学 工程仿生教育部重点实验室，长春 130022)

0 引 言

对于汽车安全系统而言，在转向行驶时容易产生过度转向、车辆发生侧滑的情况，严重时危害人身安全，因此需要对电动汽车侧向稳定性进行研究[1]。而对车辆侧向运动状态的实时、准确估计是车辆侧向稳定性控制系统研究的基础[2]。其中，横摆角速率和车辆侧偏角是两个非常重要的参数，可以通过调整两者来控制车辆侧向行驶状态。横摆角速率可以由角速度传感器(陀螺仪)直接测量得到；侧偏刚度能够反映轮胎和路面条件，对车辆操纵稳定性和安全性有直接影响，但是轮胎侧偏刚度和车辆侧偏角由于技术和经济原因无法直接测量。因此，找到一种可以实时获取车辆重要信息的、经济且精确的方法，成为底盘控制的一个重要问题。

Piyabongkarn等[3]提出了一种使用廉价传感器实时估计侧偏角的算法，用于车辆的横摆稳定控制，该算法结合模型估计和运动学理论，可以补偿存在的道路倾斜角度和轮胎特性的变化。Doumiati等[4]提出了一种动态建模和观察的方法来估计侧向力和侧偏角，为了解决系统的非线性和未建模动态，设计了扩展和无迹卡尔曼滤波观测器。Nguyen等[5]提出了一种基于卡尔曼滤波侧偏角估计的电动汽车新电子稳定控制系统，通过将组合模型误差和外部干扰作为扩展的卡尔曼滤波算法,实现了侧偏角的准确估计，同时提高了控制系统的鲁棒性。宗长富等[6]采用了扩展卡尔曼滤波进行估计，但是其计算复杂，在实际控制系统的应用中会受到一定限制。郭洪艳等[7]提出了基于车辆质心侧偏角估计的非线性全维观测器设计方法。武冬梅等[8]将二自由度车辆模型简化为以侧向速度为状态的线性估计模型,用于电动汽车质心侧偏角的估计。刘飞等[9]利用直接积分法，对比了基于扩展卡尔曼滤波的质心侧偏角估计算法与基于广义龙贝格观测器的质心侧偏角估计算法的特点。

电动汽车的质心侧偏角对车辆稳定性控制起着重要作用。而现有的车辆质心侧偏角估计算法存在有实时性不强或精度不够等问题，不能适应各种路面条件。本文提出使用平方根无迹卡尔曼滤波(Square-root unscented Kalman filter,SR-UKF)算法对车辆侧偏角进行实时估计，并使用递推最小二乘法对轮胎侧偏刚度进行估计，这种方法考虑了不同道路的实际情况，具有更好的实时性和鲁棒性。

1 车辆动力学建模

在不考虑车身的俯仰和侧倾运动时，描述车身在平面内运动的方程有3个：纵向运动方程、侧向运动方程和横摆运动方程[10]。将车辆视为质量集中在重心的质量块，质心处为坐标原点。

1.1 车身动力学模型

本文车辆侧向动力学模型只考虑车辆的横摆平面，将车辆的直接横摆力矩作为一个输入变量。直接横摆力矩是由于作用于每个车轮的电磁力矩的不同而产生的。车辆横摆平面的侧向动力学模型如图1所示。

图1 车辆横摆平面四轮模型Fig.1 Four-wheel model of vehicle′s yaw plane

根据横摆平面四轮模型，得到车辆侧向动力学模型和基于质心的横摆力矩平衡方程分别为：

(1)

(2)

(3)

为了设计的简化，在对模型精确度影响不大的前提下可以将四轮模型简化为自行车模型,车辆的侧向和横摆动力学方程可分别简化为：

(4)

(5)

当轮胎的侧偏角比较小时，轮胎的侧向力与轮胎的侧偏角近似成线性关系，如下所示：

(6)

式中：Cf、Cr分别为前轮和后轮侧向力与轮胎侧偏角线性关系的比例系数。

当转向角非常小时(cosδ≈1)，根据式(4)～(6)可以近似得到以下状态方程：

(7)

式中：x=[β,γ]T；u=[δ,Mz]T；y=γ；

1.2 轮胎模型

轮胎模型的力学特性和结构参数决定了汽车的主要性能，因此若要建立精准的整车动力学模型必须首先建立与之相匹配精确的轮胎模型。本文采用由Pacejka等[11]提出的魔术公式，在CarSim中有相应的动力学模型，其一般形式如下：

(8)

式中：Y(x)为输出变量，一般是纵向力Fx或侧向力Fy或回正力矩Mz；X为输入变量，一般是滑移率s或侧偏角α；θD为刚度因子；θC为形状因子；θB为峰值因子；θE为曲率因子；Sh、Sv分别为水平和垂直偏移。

2 侧偏角观测器设计

稳定性系统需要车辆状态信息，其中，车辆侧偏角是一个非常重要的参数，可用于控制系统设计。本文不考虑路面的倾角、车身翻滚运动和悬架的偏转等因素，设计了平方根无迹卡尔曼滤波算法来估计车辆侧偏角。

2.1 侧向动力学状态方程

电动汽车侧向行驶时,系统的非线性随机状态方程为：

(9)

式中：ω(t)为过程噪声；υ(t)为测量噪声。

(10)

横摆角速率和前、后轮侧向力组成观测向量y,如下所示：

(11)

输入向量u由转向角、前后轮的驱动力组成：

(12)

将状态方程(9)中的过程噪声和测量噪声假设为不相关的白色噪声，那么系统的非线性状态方程f(x(t),u(t))和观测方程h(x(t))分别为：

f(x(t),u(t))=

(13)

(14)

2.2 平方根无迹卡尔曼滤波算法设计

在非线性的简化车辆动力学模型基础上，本文使用无迹卡尔曼滤波器(UKF)进行状态估计。但在实际应用中，UKF算法由于噪声和计算误差会出现协方差矩阵非正定的问题，本文应用平方根无迹卡尔曼滤波(SR-UKF)来提高数值的稳定性，保证状态协方差矩阵半正定性，进而估计车辆侧偏角[12,13]。

为了能在计算机上实现，本文采用欧拉近似理论将其离散化为如下形式：

(15)

式中：状态变量xk∈Rn；输入变量uk∈Rr；k时刻的输出变量yk∈Rm。

SR-UKF算法步骤如下所示。

(1)初始化。在UKF的基础上，通过乔里斯基(Cholesky)分解后的矩阵平方根计算状态协方差：

(16)

式中：协方差平方根有“-”标志的是下三角矩阵，没有的是上三角矩阵；chol(·)为乔里斯基分解。

(2)Sigma点的选择计算和时间更新。主要包括如下两步：

Step1 非线性状态方程的预测和状态协方差矩阵平方根的计算：

(17)

式中：cholupdate(·)为乔里斯基分解的更新函数；qr(·)为QR分解函数；Q为过程噪声协方差矩阵。

Step2 Sigma点的更新传播和非线性观测方程的进一步预测：

(18)

式中：相关权重因子如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：R为测量噪声协方差矩阵。

本文选择Q和R为对角矩阵形式，协方差的过程和测量噪声矩阵如下：

(23)

本文中应用的简化车辆动力学模型是精确可靠的，所以过程噪声设置得相对较小。

3 轮胎侧偏刚度估计

侧偏刚度是一个随轮胎侧偏角和路面摩擦变化而变化的重要参数，可以利用在线估计的侧偏刚度来改善主动转向系统性能。本文利用上述侧偏角信息，采用最小二乘法[14]估计轮胎侧偏刚度。

3.1 轮胎侧向力模型

轮胎侧向力在车辆动力学中起着重要作用。当轮胎侧偏角出现时，在接触路径侧向力将施加于轮胎上[15]。当轮胎侧滑角很小时，侧向力与轮胎侧偏角和侧偏刚度成正比：

Fy=C0β

(24)

式中：Fy为轮胎侧向力；C0为轮胎侧偏刚度。

假设左、右侧轮胎侧偏刚度相同，则左侧和右侧的侧向力结合可以近似表示为：

(25)

3.2 轮胎侧偏刚度估计

定义两个虚拟参数为：

X1=Cf,X2=Cr

(26)

建立如下的一个线性回归方程：

y(t)=φT(t)X(t)

(27)

式中：y(t)、φT(t)分别为测量输出和输入数据向量；X(t)为待估计的参数向量，其表达式分别为：

(28)

本文采用带遗忘因子的递推最小二乘法估计轮胎的侧偏刚度，算法过程如下：

(29)

(30)

实际中，轮胎侧偏刚度在确定的路面条件下，是在一定范围内的。本文限定Cf∈(Cf,min,Cf,max),Cr∈(Cr,min,Cr,max)。在转向角近似为零时，所得的试验数据也近似为零，此时估计值将变得不确定。所以在转向角很小时，设置递归最小二乘法的数据不更新。

4 仿真试验结果及分析

为了验证本文所提出估计算法的有效性，选择专业的汽车仿真软件CarSim和Simulink进行联合仿真试验。将CarSim车辆模型中输出的变量作为实际参考值，与采用SR-UKF估计算法得到的车辆侧偏角估计值和遗忘因子最小二乘法估计得到的轮胎侧偏刚度估计值进行比较。但由于CarSim车辆模型中输出的变量不包含轮胎侧偏刚度数据变量，所以本文利用已知的轮胎侧向力和车辆侧偏角信息将其计算出来，作为实际参考值进行对比。

本文设定CarSim车辆模型中汽车参数如表1所示。

在CarSim的测试规范模块设置车辆参数和仿真条件。车辆以80 km/h的初速度行驶，方向盘输入转向角设置为正弦信号输入，其周期为4 s、振幅为60°。本文假设汽车分别在路面附着系数为0.9和0.4的路面上行驶，进行仿真试验，得到在不同路面条件下车辆状态信息、车辆侧偏角和轮胎侧偏刚度的估计结果图。

表1 电动汽车参数Table 1 Parameters of electric vehicle

图2 μ=0.9时的车辆侧偏角与轮胎侧偏刚度估计结果Fig.2 Eestimation results of side-slip angle and cornering stiffness of tire when μ=0.9

图2为μ=0.9时的车辆侧向运动相关状态估计结果。从图2中可以看到：转向角正弦输入在2～6 s期间起作用，图2(a)为在路面附着系数为0.9时的侧向加速度、横摆角速率和输出转向角随输入的正弦信号的变化趋势和状态。从图2(b)中可以看出：在正弦信号输入状态下，本文所设计的平方根无迹卡尔曼观测器(SR-UKF)可以准确、有效地估计出车辆侧偏角的变化，估计误差很小，它的准确估计为下文的控制设计和分析提供了有效的车辆状态信息。

图2(c)(d)分别为车辆的前、后轮侧偏刚度的估计值与真实值对比图，可以看出：本文采用的遗忘因子递推最小二乘法有很好的实时性，前、后轮侧偏刚度的估计值能够较好地跟随真实值的变化；前、后轮的侧偏刚度真实值在转向角为零或在零附近时，产生剧烈的震荡，因为真实值是通过输出的已知量计算得到的，可能是在该时刻轮胎侧偏角非常小(近似为零)，导致轮胎侧偏刚度突变增大。这种突变对控制系统有一定的影响，所以在转向角很小或在零附近时，递归算法不进行数据的更新，从而消除转向角很小时，前、后轮侧偏刚度产生的剧烈震荡。

图3 μ=0.4时的车辆侧偏角与轮胎侧偏刚度估计结果Fig.3 Eestimation results of side-slip angle and correring stiffness of tire when μ=0.4

图3为μ=0.4时的车辆侧向运动相关状态估计结果。图3(a)为路面附着系数为0.4时的侧向加速度、横摆角速率和输出转向角的随着输入的正弦信号的变化趋势和状态。从图3(b)中可以看出：此时的质心侧偏角的估计值也能很好地跟随真实值的变化，具有较好的实时性，相对于路面条件良好时，侧偏角的值相对增大了一些，但是估计的准确度依然很好，误差较小；图3(c)(d)分别为车辆前、后轮侧偏刚度的估计值与真实值的对比效果图，可以看出：图中前、后轮侧偏刚度的估计值也能够实时跟随真实值变化。

图4为不同路面条件下的侧偏角估计误差。从图4可以看出：在不同路面条件下，本文所设计的状态观测器都能很好地估计车辆侧偏角，估计误差都很小，能为稳定性控制提供可靠的车辆状态信息。

图4 侧偏角估计误差Fig.4 Estimation error of side-slip angle

5 结束语

本文提出采用平方根无迹卡尔曼滤波(SR-UKF)观测器对车辆侧偏角进行实时估计。利用估计到的侧偏角，使用带遗忘因子的递推最小二乘法对轮胎侧偏刚度进行估计。最后，通过Simulink仿真试验和CarSim联合仿真试验验证了本文估计方法的有效性。结果表明：在不同路面条件下，本文方法获得的估计值能够实时地跟随实际值的变化，能够达到控制系统设计的要求。本文研究对于后期电动车侧向稳定性控制的深入研究具有重要意义。

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