基于不同信道信息的协作系统预编码矩阵的设计*

张莜燕， 苗红意, 赵翠芳

(1.浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004;2.浙江师范大学 文化创意传媒学院，浙江 金华，321004)

0 引 言

随着科学技术的进步和生活水平的提高，人们对通信系统的要求也向着高性能、大容量和更灵活的方向迈进.协作中继技术作为一种全新的通信模式，有效提高了频谱效率和系统容量，在研究领域及工程界都受到了广泛关注，成为研究的热点之一[1-4]，其核心问题是寻求各种能够提高频谱利用率和传输性能的有效手段作为支撑.由于协作通信系统和MIMO(multiple-input multiple-output)系统的相似性，大量针对MIMO技术与协作通信相结合的深层次研究已经涌现，如空时编码、预编码技术等.

空时编码技术无需获知信道状态信息，通过对抗无线信道的衰落获得空间分集增益和编码增益[5].预编码技术通常运用于发射端，依据接收机反馈的信道信息对发射信号进行预变换，进而抑制干扰，使系统误码等性能得到有效提升.若空时编码系统恰好能获知信道状态信息，则可以在不改变发送端和接收端硬件装置的前提下，充分利用该信息进行预编码设计，即将预编码与空时码技术相结合，同时获得空间增益和角度选择性增益，对容量及误码性能均有显著改善，称为“预编码的空时码技术”.针对MIMO系统中预编码的空时码技术，国内外的学者进行了大量的研究[6-7].文献[6]研究了在与发送接收均相关的MIMO信道上，使符号错误概率最小化的空时码的预编码问题，但问题的求解需要多次迭代才能实现；文献[7]在此基础上提出了采用凸优化的方法解决该优化问题，并对2根和3根接收天线的特殊情况提出了闭式解，降低了问题求解的复杂度.中继技术是MIMO技术的延伸，因此,针对预编码的空时码技术在中继系统的研究也陆续出现[8-10].

文献[8]研究了有限反馈下，从码本中选择预编码矩阵的多中继空时编码系统，但该预编码仅应用于中继端，并未在发送端采用；文献[9]在发送端和中继端均采用了预编码与空时编码的结合，但中继端选择了对设备要求较高的解码转发协议(decode-and-forward，DF)；文献[10]采用较为简单的放大转发协议(amplify-and-forward,AF)，以最小接收信噪比最大化为目标，在信道信息存在误差的条件下，研究了空时编码中预编码矩阵设计的鲁棒性问题，但并未考虑MIMO信道间的相关性.

本文研究源与中继节点均采用预编码的空时码技术的中继系统，采用放大转发协议，对完备和不完备2种信道信息反馈下的情况进行探讨.与文献[10]研究鲁棒性不同，笔者将采用通用Kronecker模型，分析MIMO信道的相关性，通过推导误符号率的近似表达式，分别建立接收信噪比最大化和误符号率最小化的优化目标，求解发送功率为约束条件的联合预编码矩阵，并利用相关性，对联合优化问题采用两步法求解.

1 系统模型

yRl=‖H1V1‖sl+nRl,l=1,2,…,L.

(1)

图1 预编码的空时码系统框图

yDl=‖H2V2‖tl+nDl,l=1,2,…,L.

(2)

(3)

(4)

2 系统的误符号率分析

MγD(s)=Mγ1(s)+Mγ2(s)-Mγ1(s)Mγ2(s).

(5)

(6)

MPSK调制下的误码率表示为

(7)

将式(6)代入式(7)可求得误码率的近似表达式

(8)

3 不同信道条件下的预编码矩阵

3.1 完备信道状态信息下的预编码矩阵

本节将基于推导的接收信噪比和误码率来设计完备和统计信道状态信息下的预编码矩阵.首先研究完备信道状态信息.假定发送和接收之间存在高速反馈链路，发送端能获得完备的信道信息，系统可以直接通过提高接收信噪比来降低误码率.因此,建立的优化问题为：在各端点发射功率的约束下，求解源和中继端的最优预编码矩阵，使系统总的接收信噪比最大化,即

(9)

(10)

(11)

由此，最大化问题可以转化为两式均通用的线性规划问题:

该线性规划问题可以采用专门软件进行求解.观察问题的解，可知最优化的功率分配方案为所有的功率均加载在对应的信道矩阵最大特征值的特征方向上，而其他方向的功率为零.由此可知完备信道状态信息下的预编码矩阵的设计是特征波束成形.

3.2 统计信道状态信息下的预编码矩阵

在实际的移动通信环境中，发送端获知完备的信道信息十分困难，但统计信息的获取则要简单得多，因此,本节将对已知天线相关系数矩阵的中继系统进行探讨，设计源和中继端的预编码矩阵，使系统的误符号率最小，该优化问题可以归结为

(12)

(13)

式(12)中,误码率用式(8)代入.考虑到该优化问题是一个非线性非凸的问题，并不容易解决，因此,与完备下的方式类似，采用先确定最优化的方向，再确定最优功率分配的方法.相对完备信道信息，统计信道信息下的求解相对较复杂，因此,将其总结为下面2个推论.

推论1当预编码矩阵的最优化方向与发送端的天线相关系数矩阵的特征向量方向一致时，系统的误符号率最小化，即预编码矩阵可以分解为Vi=URtiEVi，其中URti是发送天线相关系数矩阵Rti的特征向量矩阵，EVi是决定功率分配的对角矩阵.

要证明推论1，首先要给出引理1及其证明.

引理1对于2个非负的独立随机变量w1与w2，满足w1,w2∈(0,1)，函数f(w1,w2)=w1+w2-w1w2是单调递增函数.

因此,当w1,w2最小化时，f(w1,w2)的函数值达到最小.

推论1的证明 假定W1(θ)，W2(θ)对任意θ∈[θ1,θ2]均为正定矩阵.定义Λ(X)：返回一个对角矩阵，其对角元素是原矩阵X的对角值.对于所有θ∈[θ1,θ2]，与文献[6]相似，有

det-1(Wi(θ))≥det-1(Λ(Wi(θ))),i=1,2.

等式当且仅当Wi(θ)为对角矩阵时取得.对det-1(Wi(θ))∈(0,1)，运用引理1可得

f[det-1(W1(θ)),det-1(W2(θ))]≥f[det-1(Λ(W1(θ))),det-1(Λ(W2(θ)))].

将积分看成求和的特殊形式，对所有θ∈[θ1,θ2]，可以得到以下不等式[6]：

(14)

(15)

(16)

式(16)中,EVi为对角矩阵，即最优化的方向与发送相关系数矩阵的特征向量方向一致.推论1证毕.

推论1亦表明:最优化预编码矩阵的方向只与发送端的天线相关矩阵有关，而与接收端的天线相关矩阵无关.

推论2发送功率的分配问题可以分解为如下的子问题:对i=1,2，有

(17)

(18)

证明 预编码矩阵的方向已经确定，式(15)可以进一步表示为

该积分式随着θ的增大单调递增，积分的最大值当θ等于π/2时取得，因此,误码率的值可以等价于一个矩阵区域的面积，即

Ps(error)=F(θmax)Δθ.

(19)

由于Δθ是一个固定的值，所以式(19)可以由等式minPs(error)=minF(θmax)取代.由推论1的证明可知，minF(θmax)可以转化为maxgθmax(V1)与maxgθmax(V2).由于ln(·)也是一个单调递增函数，所以最优化准则可以分解为以下子问题：在发射功率的条件限制下，对i=1,2，有

(20)

图2 统计信息下预编码系统误码率理论值和仿真值的比较

推论2证毕.

对于式(20)的求解，可以参照文献[6]的方法求得.

4 仿真结果

图3 发送相关系数为0.95时的中继系统

例1固定Rri=(0.3|k-j|)，将Rti中ρkj的值从0.8改变至0.3，i=1,2.图2比较了统计信道状态信息下预编码的空时码系统误码率的仿真值和理论值.从结果看，二者之间存在一定偏差，其原因在于推导近似误码率的过程中，采用了矩生成函数的近似值.该理论值可以作为衡量中继系统性能的准则.

例2固定Rri=(0.3|k-j|)，将Rti中ρkj的值从0.95改变为0.80，即发送端天线相关性不同时的误码率曲线(见图3和图4).从图3和图4可以看出，预编码与空时分组码相结合的系统，完备信道状态信息下误码性能最好.在已知条件仅为统计信道信息时，其误码性能也优于单空时分组码的系统，且当发送天线相关性较强(ρkj=0.95)时，在低信噪比区域中的性能优势明显；但随着发送天线相关性从0.95减小到0.80时，预编码带来的性能增益也有所降低，当信噪比逐渐增大时，统计信道的预编码系统增益与单空时分组码系统的增益接近.这是因为在高信噪比区域中，预编码中功率的分配转变为经典的等功率分配.

图4 发送相关系数为0.80时的中继系统

图5 信噪比为8 dB时发送端相关系数与系统误码率的关系

例3图5给出了源节点发送端的相关矩阵系数从0.1增加到1.0时，中继和目的端的接收系数分别固定为0.8和0.3时两系统的误码率，信噪比固定为8 dB.从图5可以看出:当发送端的相关性较小时，预编码系统与单空时码的系统性能几乎一样；当相关系数逐渐增加时，预编码系统的优越性逐渐体现.由此可见，预编码的空时码系统在发送相关性较大时误码率性能的改善更为明显.

图6给出信噪比为8 dB下，中继节点接收端相关系数在[0.1,1]区间变化时对系统误码率的影响，源和中继端发送系数分别为0.8和0.3.由图6可得，当发送端相关性较小(即发送系数为0.3)时，无论接收端相关性如何，预编码系统较空时分组码系统获得的增益并不明显；当发送端相关性较大(即发送系数为0.8)时，预编码系统的的优越性才逐渐体现.这一结果与我们之前得到的推论一致.

图6 信噪比为8 dB时接收端相关系数与系统误码率的关系

5 结 论

本文分别针对完备与统计信道状态信息，研究了采用空时分组码的中继系统预编码矩阵的设计问题.完备信息下，直接以接收信噪比最大化为目标；统计信息下，推导了相关瑞利衰落信道上的近似误码率表达式，并以误码率最小化为目标设计矩阵.研究发现：预编码矩阵最优化的方向与发送端相关系数矩阵的特征向量一致，功率分配方案可以通过数值计算求得.仿真结果表明：预编码与空时编码相结合的中继系统，其误码性能优于单空时分组码的系统，且性能增益的提高依赖于发送端的相关性.

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