一个具Logistic-型源和非线性信号产出的趋化系统解的渐近行为

宋芳芳， 陶有山

(东华大学 理学院，上海 201620)

趋化性是指细胞朝信号浓度变化大的地方迁移。除随机扩散运动外，趋化性是生物世界中细胞迁移的最普遍机制之一，其在斑图形成、细菌聚集和人口迁移等生物过程中起着极其重要的作用。经典的趋化数学模型在1970年由Keller和Segel[1]首次提出。数学上，该模型的一个显著特征是：在多维空间情形下，解有可能在有限时间爆破。在过去的40多年里，趋化模型已被广泛研究[2-3]，其中,一些学者定性研究了交叉扩散、Logistic阻尼和非线性信号产出对解的性质的影响。本文考虑以下初边值问题

(1)

0≤g(s)≤sβ对所有的s≥0

(2)

式中：β为正常数。

α>β

(3)

或者

(4)

那么对任何给定的非负的u0∈W1,∞(Ω),初边值问题(1)在Ω×(0,∞)上存在唯一且有界的整体古典解。

此外，文献[5]通过构造上、下解的方法研究了解的长时间渐近行为。与文献[5]不同，本文通过构造Lyapunov泛函方法，获得了一个新解的渐近性结果。更精确地说，有如下结果：

式中：M≥1为给定的常数。

时，该古典解u(x,t)具有下列渐近性质，即对所有的t>0, 式(5)和(6)成立。

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt

(5)

‖v(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt

(6)

式中：C>0,λ>0,且两者为常数。

1 整体存在性和有界性

利用标准的不动点定理可证明系统(1)的局部解存在性，详细证明参见文献[3]。

进一步，如果Tmax<∞,则有

下面的质量性质容易验证。

引理2系统(1)的古典解(u,v)满足

(7)

证明对系统(1)的第一个方程关于x在Ω上积分，并利用分部积分及系统(1)中的零流边界条件可得

由Hölder不等式可得

再应用常微分方程比较原理推得式(7)，引理2得证。

现在来推导一个基本的能量型不等式。

引理3对任何p>1,系统(1)的古典解(u,v)满足：对所有的t∈(0,Tmax),式(8)成立。

(8)

证明根据系统(1)直接计算并利用分部积分，由条件式(2)和v的非负性得：

以式(8)为出发点，当α>β时可以建立u的Lp先验估计。

引理4假设α>β,则对任何p>1,存在常数C(p)>0使得系统(1)的古典解满足

(9)

证明由式(8)得到

(10)

(11)

因此，如果取C(p):=c2(p),则式(9)得证。

当α=β时，对适当范围的p可以建立u的Lp先验估计。

(12)

证明由于假设α=β,由式(8)得

(13)

从而，利用Young不等式可知：

结合此不等式与式(13)得到

假设式(4)成立，以式(8)为基础，利用引理5并结合Gagliardo-Nirenberg不等式也能建立u的Lp先验估计。

(14)

(15)

(16)

接下来，利用假设α=β,由式(8)和Young不等式得到：

(17)

(18)

式中：

从而，由于p0的取法保证：2p0>Nα,因此有

据此并利用Young不等式可以进一步处理式(18)右端的第一项：

(19)

由式(17)～(19)得到

从而引理6得证。

由引理4和6并结合标准的Moser迭代技术，可证明u的有界性。

引理7假设定理1的条件成立,则存在常数C>0 使得系统(1)的古典解满足

‖u(·,t)‖L∞(Ω )≤C, 对所有的t∈(0,Tmax)

(20)

证明在定理1的假设之下，由引理4和6得到：对任何p>1,存在常数c1(p)>0使得系统(1)的解满足

(21)

据此并注意到式(2)这个假设，由系统(1)中的第二个椭圆方程及椭圆方程的正则性理论[8]可知：如果在式(21)中当p>N,则有

‖v(·,t)‖L∞(Ω )≤c2(p),t∈(0,Tmax)

(22)

获得了估计式(21)和(22)之后，可以运用Moser迭代技巧推得式(20)，详细证明参见文献[9]。

定理1的证明：定理1是引理1和7的直接推论。

2 解的渐近行为

本节重点讨论解的长时间行为，将用到下列简单的代数引理。

引理8设M≥1为常数，则对任何α>0,式(23)成立。

(s-1)(sα-1)≥K(s-1)2,

对所有的s∈[0,M]

(23)

证明共分4种情形。

情形1α≥1,s≥1。在此情形下，显然有

(s-1)(sα-1)≥(s-1)(s-1)=(s-1)2

情形2α≥1,0≤s<1。在此情形下，有

(s-1)(sα-1)=(1-s)(1-sα)≥
(1-s)(1-s)=(1-s)2

情形30<α<1,s≥1。在此情形下，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(1,s)⊂(1,M),使得

情形40<α<1,0≤s<1。在此情形下，再由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0,s)⊂(0,1),使得

即式(23)成立。

下列引理是研究有界古典解的渐近行为的关键，本质是构造了系统(1)的一个Lyapunov泛函。由于考虑有界解的长时间渐近性质，所以下文均可假设

引理9假设g(s)=s,u0≢0,则系统(1)的解满足微分不等式：

(24)

证明由于u0≡/ 0,所以由抛物方程的强最大值原理可知，当t>0时，u>0。利用系统(1)中的第一个方程进行直接计算，基于分部积分和基本不等式(23)得

(25)

再利用Young不等式进一步处理式(25)右端的第二项得

(26)

利用假设g(s)=s,将系统(1)中的第二个方程改写成如下形式：

-Δv=-(v-1)+(u-1),x∈Ω,t>0

在上述方程两边同时乘以v-1之后，对x∈Ω积分，并再次利用Young不等式得

(27)

结合式(25)～(27)得：

即式(24)成立。

由不等式(24)可以推出：当t→∞时，u(·,t)在L∞(Ω)中的收敛性。

(28)

则系统(1)的解满足

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )→0 当t→∞时

(29)

证明若式(28)中的假设成立，有

在上述不等式两边关于时间t在(1,t)上积分得

(30)

注意到：对任何s≥0,成立s-lns-1≥0,在式(30)中令t→∞,并结合式(28)有

(31)

得到了估计式(31)之后，接下来的证明与文献[10]中的Lemma 3.10的证明类似。为便于理解，在此给出简短证明。由于u是古典解，由抛物方程的Schauder理论[11]得到某个常数c1>0使得

(32)

φ(xj,tj)≥c2, 对所有的j∈N

而式(32)意味着函数φ在Ω×[1,∞)上是一致连续的，因此可以找到小的常数r>0和τ>0使得对任何j∈N成立

既然Ω的光滑性保证：存在某个常数c3>0,使得

|Br(x)∩Ω|≥c3, 对所有的x∈Ω.

据此推得

(33)

但另一方面，根据式(31)及广义积分的收敛准则得到

而这与式(33)矛盾，从而式(29)成立。

下面进一步研究解的收敛速率，先研究解在L2(Ω)中的收敛速率。

引理11假设g(s)=s,u0≢0,并假设式(28)成立，则系统(1)的解满足

‖u(·,t)-1‖L2(Ω )≤Ce-δt,t>0

(34)

式中：C>0,δ>0,且两者均为常数。

证明首先注意到如下简单事实

据此及式(29)可知，存在T>0充分大，使得

(35)

记

则利用不等式(24)和(35)得到

从而

据此并利用式(35)中左边第一个不等式得到

如果取

则式(34)成立。

然后讨论解在L∞(Ω)中的收敛速率。

引理12假设g(s)=s,u0≡/ 0,并假设式(28)成立，则系统(1)的解满足

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt,t>0

(36)

式中：C>0,λ>0,且两者均为常数。

证明根据定理1及抛物方程的正则性理论可以找到某个常数c1>0满足

‖u(·,t)-1‖W1,∞(Ω )≤c1,t>0

从而由引理11及Gagliardo-Nirenberg插值不等式可知：存在某个常数c2>0和c3>0使得

定理2的证明定理2中的式(5)是引理12的直接推论，而式(6)由式(5)及最大值原理推得。

参 考 文 献

[1] KELLER E F, SEGEL L A. Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability[J]. Journal Theoretical Biology, 1970, 26(3): 399-415.

[2] HILLEN T, PAINTER K. A users’ guide to PDE models for chemotaxis[J]. Journal of Mathematical Biology, 2009, 58(2): 183-217.

[3] BELLOMO N, BELLOUQUID A, TAO Y S, et al. Toward a mathematical theory of Keller-Segel models of pattern formation in biological tissues[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2015, 25(9): 1663-1763.

[4] TELLO J I, WINKLER M. A chemotaxis system with logistic source[J]. Communications in Partial Differential Equations, 2007, 32(6): 849-877.

[5] GALAKHOV E, SALIEVA O, TELLO J I. On a parabolic-elliptic system with chemotaxis and logistic type growth[J]. Journal of Differential Equations, 2016, 261(8): 4631-4647.

[6] FRIEDMAN A. Partial differential equations[J]. Holt, Rinehart and Winston, 1969, 24(1):44-52.

[7] WINKLER M. A critical exponent in a degenerate parabolic equation[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2002, 25(11): 911-925.

[8] GILBARG D, TRUDINGER N S. Elliptic partial differential equations of second order[J]. Springer Verlag, 1983, 224(3): 469-484.

[9] TAO Y S, WINKLER M. Boundedness in a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with subcritical sensitivity[J]. Journal of Differential Equations, 2012, 252(1): 692-715.

[10] TAO Y S, WINKLER M. Large time behavior in a multidimensional chemotaxis-haptotaxis model with slow signal diffusion[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2015, 47(6): 4229-4250.

[11] PORZIO M M, VESPRI V. Hölder estimates for local solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equations[J]. Journal of Differential Equations, 1993, 103(1): 146-178.