思有源 解有方*

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(大和初中,四川 巴中 636031)

近期笔者遇到了一道解绝对值方程的题目，其常见的错误解法引发了笔者的深层次探究.

1 解法探讨

题目如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是

( )

A.a>-3 B.a≥3 C.a<3 D.a≤-3.

(2016年初中奥林匹克数学竞赛试题)

1.1 错误解法

1.2 致错原因及思维突破

上述解法看似有根有据，其实迷惑性很强.为什么会出现上述结果呢？上述错误解法没有弄清绝对值方程的特殊性，机械套用了常规方程的处理方法.

对于本题，理解条件“根是负数”是关键.正确解题方法是克服思维定势的消极影响，在使用零点分类讨论的基础上，排除正根，即解决根的纯粹性问题；或利用数形结合思想，借助直观性突破思维障碍，或利用选项检验排除法获得正确答案.

1.3 正确解法

解法1(排除法)当方程的根是负数时，x<0，原方程为

-3x-ax-1=0，

即

(3+a)x=-1，

从而

3+a>0，

得

a>-3.

当方程的根是正数时，x>0，原方程为

3x-ax-1=0，

即

(3-a)x=1，

从而

3-a>0，

得

a<3.

可见，两个解集有公共部分，由于方程只有负数根，因此应从解集a>-3中排除a<3，结果为a≥3.故选B．

评注零点分类讨论是代数解法的基础，必须恰当使用：剔除不符合条件的部分.而上述错解中，解法并不完备，导致取值范围扩大.

思考1如果条件修改为“根是正数”呢？如果条件修改为“有一正一负根”呢？

图1

利用上述零点讨论，对于前者应从解集a<3中排除a>-3，即a≤-3；对于后者应是两个解集的公共部分，即-3

解法2(数形结合法)如图1，作y=|3x|的图像，直线y=ax+1必过点(0，1).观察图像，当a=3时，直线y=ax+1与y=3x平行，并与直线y=-3x相交于第二象限，交点横坐标为负数，符合题意；当a>3时，直线y=ax+1与y=3x无交点，只与直线y=-3x相交于第二象限，交点横坐标为负数，符合题意.

综上所述，a≥3.故选B.

评注函数y=|3x|的图像关于y轴对称，经过定点(0，1)的直线与其相交，在y轴左侧有交点(对应根为负数)时，右侧可能有一个交点(对应根为正数)，错误解法只考虑了负根有所欠缺.

1.4 选项检验排除法

从4个选项看，临界值有a=3，为提高区分度，再增加a=0，检验如下:

综上所述，选项B正确.

评注这种解法虽较为直接，但要增加区分度值作进一步检验，从而突破选项的迷惑性，避免偶然性的投机行为，提高排除法的准确性.

2 关于x的方程|x|=kx+b(其中bk≠0)根的正负性条件

利用零点分类讨论，探究如下：

1)若b>0，当x>0时，

x=kx+b，

从而

得

k<1.

当x<0时，

-x=kx+b，

从而

得

k>-1.

关于x的方程|x|=kx+b(其中bk≠0)：①有唯一正数根，应剔除有负数根条件，得k≤-1；②有唯一负数根，应剔除有正数根条件，得k≥1；③既有正数根，又有负数根，即有两个不相等的实数根，应取公共部分，得-1

2)若b<0，同理可得①当k<1时，有唯一正数根；②当k>-1时，有唯一负数根；③当-1≤k≤1时，无解.

思考2画出“V型”函数y=|x|和一次函数y=kx+b的图像，可以直观地得到上述结果(略).

3 关于x的方程|x-a|=kx+b(其中k≠0)根的性质

先画出“V型”函数y=|x-a|和一次函数y=kx+b的图像，分类探究如下：

3.1 当a>0时的探究

|a-a|=ak+b，

③当-1

图2 图3

①当k<-1或k≥1时，有唯一的根小于a；

图4

③当-1≤k≤1时，没有实数根；

3.2 当a<0时的探究

③当-1

①当k>1或k≤-1时，有唯一的根大于a；

③当-1≤k≤1时，没有实数根；

4 解法应用

请选择合适的方法解答以下3个例题.

例1已知方程|x|=ax+1有一个负根，且无正根，求a的取值范围.

解法1(零点分段讨论法)当x<0时，-x=ax+1，从而

得

a>-1．

当x>0时，x=ax+1，从而

得

a<1.

由于方程有一个负根且无正根，从解集a>-1中剔除解集a<1，得a≥1．

解法2(数形结合法)如图5，在同一坐标系中，分别作出y=|x|及y=ax+1的图像.直线y=ax+1过定点(0，1)，因此a≥1.

解法3(运用结论)此处b=1,运用“关于x的方程|x-a|=kx+b(其中k≠0)根的性质”的相关结论，直接可得a≥1.

图5 图6

例2方程|x-2|+1=kx有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

例3关于x的方程|x2-2x-3|=mx+1有正根，没有负根，则m的取值范围是

( )

C.m>1 D.m<1

图7

解(数形结合法)如图7，在同一坐标系中作出函数y=|x2-2x-3|和y=mx+1图像，当直线y=mx+1经过点(-1，0)时，m=1.由于方程只有正根，没有负根，因此m>1.故选C.

“千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金”，科学探究离不开周密思考，只有去其糟粕，才能取其精华.通过“问题探究─归纳总结─应用升华”，定能实现数学学习和探究的不断超越.