基于波利亚的《怎样解题》浅析中学数学解题教学

摘要：波利亚说过：“掌握数学意味着善于解题。”任何数学教师离不开解题教学，解题教学是中学数学教学的重要组成部分。其实，很多数学教师在解题教学没有一个有结构的程序方法，在帮助学生解出题后，没有帮助学生进一步的反思，为什么这样解题？为了解题而解题，学生的解题能力不仅没能提高，并且等到下次学生再碰到类似的问题，学生还是在不会这个问题，陷入就提论题、重复做题的消极循环中去，看不到问题背后的本质。

关键词：数学；解题教学；方法；问题

针对众多的解题教学方法，教师怎样选择解题教学方法来讲课？波利亚的《怎样解题》中有一张解题表，笔者认为有利于中学数学教师的解题教学，该表有四个步骤，具体如下：

下面以例题出发用波利亚的方法来探索中学数学的解题教学。

例题1.已知椭圆 的焦点为 ，离心率为 ，点 为其上一动点，且三角形的面积最大值为 ， 为坐标原点

（1）求椭圆 的方程；

若点 为 上的两个动点，求常数 ，使 时，点 到直线 的距离为定值，求这个定值。

分析（1）：首先，弄清楚问题是什么？问题是求椭圆 的方程，也就是求出 的值。其次，找条件，条件中的信息如何理解？题中有两个未隐含条件：其一，给出离心率的比值，得出 的比值；其二， 的最大值 ，当点 在与 轴上时，面积最大，得出 。条件二给的不直接，需要教师教学的时候引导学生们思考条件二的实质是什么？与 有什么关系？他利用了三角形的哪些理论？还有一个隐含条件，有椭圆的定义可以知道 。只要明白了这三个条件的真实意义，就能求出 的值。最后，检验结果是否正确。

分析（2）：首先，弄清楚问题是什么？求点 到直线 的距离。其次，找条件，条件中的信息如何理解？题中只有一个条件： ，椭圆与向量结合，并且以向量积的形式出现，一般向量积有两种方法：一种是利用平面向量的数量积 ，即两个向量的模的积与其夹角的余弦值的积；另一种是平面向量的空间坐标运算，首先设 ，则 ，那么选择第二种方法更利于本题的解答。因为第一种方法三个未知量都无法得知，并且与本题相关性低，而第二种方法设坐标，不仅能求出 的直线方程，更利于用距离公式。

但是问题到这里还没有解决，前面有四个未知数，那么直线 的方程应该如何若直线 斜率不存在， ，则 ，很容易求出直线方程，最后直接求出距离。

若直线 斜率存在，我们在引直线 方程为 。

下一步我们来看点 、直线 、椭圆 之间究竟有什么样关系？由题知，直线 与椭圆 相交于点 。那么我们可以设

一个方程组 ，消去 ，得

（ ）由于 ，得到 ，则 这样一来得出了前面的未知數有关，我们就可以直接得到

，整理

又因 为常数，因此 ， ，因此得出结果。最后，检验结果是否正确。一般圆锥曲线的题目，我们无法直接利用，需要设一些未知数，如何设置这些未知数？学生难度在这里，通常教师在课堂上解圆锥曲线的题都会直接用设而不求法，但是作为教师，都需要反思，为什么这样做？如何让学生明白这样做的好处？能不能用别的方法？如何让解题教学的效率提高？教师需要在解题教学中多探讨其价值，提高教学质量。

参考文献：

[1]波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

作者简介：苗兴巧，女，河南新乡人，河南师范大学数学与信息科学学院2017级学科教学（数学）专业教育硕士。