2017年全国数学理科III卷第17题解法分析——兼谈高考数学对数学核心素养的考查

杨孝斌 潘志坚

（1.凯里学院， 贵州 凯里 556011 2.顺德梁銶琚职业技术学校， 广东 顺德 528300）

（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 A D⊥A C，求△A BD的面积.（注：原题无图.）1.第（1）问之问题分析与解法分析

第（1）问之问题分析：

求什么？——求c，三角形的边长.

有哪些方法可用？——正弦定理、余弦定理、勾股定理、面积法以及c=a·cos B+b·cosA等等.

第（1）问方法 1（用余弦定理）：

因为a、b已知，且有关于A的关系式，由余弦定理a2=b2+c2-2b c·cosA知，欲求c只需求角A.

图1

图2

结论c=a·cos B+b·cosA来自于哪里？来自于正弦定理的推导过程（如图1所示），结合此题的实际情况，可作图2.

此题第（1）问还可以借助面积法或勾股定理求解，由于在第（2）问要反复用到这两种方法，故不赘述.

2.第（2）问之问题分析与解法分析

第（2）问之问题分析：

求什么？——求△A BD的面积.

有哪些方法可用？——三个三角形之间的面积关系以及各种三角形面积公式.

结合此题的已知条件，构图如图3所示：

图3

第（2）问方法1（利用三个三角形之间的面积关系）：

图4

图5

3.该问题的命题立意分析及对数学核心素养的考查

此题为高考数学第一个大题，重在考查考生对正弦定理、余弦定理、勾股定理、角的正弦（余弦、正切的定义）、特殊角的三角函数值、辅助角公式、两角和的正弦（余弦）公式、三角形面积公式、三角形中位线、平行四边形的有关性质、一元二次方程的解法等具体知识的掌握情况，以及对数形结合思想、化归思想、方程思想等数学思想的理解与应用情况.

整体而言，此题知识覆盖面广，难度并不高，上述各种方法均可凑效，在实际考试过程中需要考生迅速的判断出哪种方法更简单易求（如上述第（2）问解法 6、7明显要容易一些，而第（2）问解法4的计算量就要大得多），对考生思维的灵活性有较高要求.在数学核心素养的考查上，此题着重考查了逻辑推理、直观想象、运算能力等方面，同时兼顾数学建模能力、合情推理能力的考查.

逻辑推理对于数学的重要性不言而喻，高考中的几何问题也常常将逻辑推理能力作为首要的考查目标，此题的上述各种解法均涉及逻辑推理.同时，先猜后证是几何解题中的常用方法之一，考生在实际解题过程中可以先猜出D点为BC边上的中点这个结论再进行证明，这就涉及到对考生合情推理能力的考查.

由以上分析可知，题中D点为BC边上的中点这个结论若隐若现.通过上述解法探究，可以认为命题者有可能是将一个完整的直角三角形（如图4所示）或平行四边形（如图5所示）故意残缺而命出此题.考生在解答此题时，若能在对图形的观察中充分把握整体与局部的关系，并将残缺的图形补全，则显得容易得多.这就要求学生具有较高的直观想象能力.

运算能力也往往是高考数学综合题的重点考查目标之一.就此题而言，在运算能力方面重点考查了特殊角三角函数值、一元二次方程的求解、利用正弦定理（余弦定理、勾股定理）进行计算、利用两角和的正弦（余弦）公式进行计算、利用三角形面积公式进行计算，等等.特别地，上述第（2）问方法4，在实际解方程组的时候，计算量相对较大，对学生的计算能力要求较高.此外，方程也是数学模型，因此第（2）问方法4（列方程组求解）涉及到数学建模能力的考查.事实上，从对数学模型的广义理解来看，高考数学综合题常常涉及对学生数学建模能力的考查.