动力吸振器PQ定点理论研究

2018-05-28张多

汽车实用技术 2018年9期

张多

（陕西航空职业技术学院，陕西汉中 723000）

前言

动力吸振器是工程实际中一种常用的振动控制技术。动力吸振器从发明到现在已历经一个多世纪[1]。因其结构相对简单，并且能够有效的减小频率变化不大的机构和设备的振动，所以已经成为工程领域中对振动进行控制的重要手段。当主系统无阻尼时具有PQ定点现象，通过该现象可对吸振器参数进行优化[2]。

传统的PQ定点理论是在动力吸振器的质量比和固有频率一定的情况下进行讨论。在本文中推导了动力吸振器的质量比和固有频率比对P、Q两点振幅倍率的影响。文中分析的结论，对动力吸振器的设计和半主动控制具有一定的应用价值。

1 动力吸振器的基本原理

动力吸振器作为一种减振装置，其减振原理不是靠耗损能量进行减振，而是通过吸振器质量的动力作用，使吸振器在主系统上产生一个与强迫振动力相抵消的反作用力，以此来达到减振的目的[3]。图1为主系统无阻尼时动力吸振器模型，m1、k1为主系统的质量、刚度；m2、k2、c2为吸振器的质量、刚度、阻尼；主系统的位移x1，动力吸振器的位移为x2；坐标原点都选择在各自的静平衡位置。

图1 动力吸振器模型

应用牛顿第二定律，可以建立以下数学模型：

当F为简谐激励时，，系统的响应可以表示为：

由Hahnkamm的PQ定点理论可知[4]，当主系统参数和动力吸振器的质量和固有频率一定后，无论吸振器阻尼比如何变化，主系统的振幅倍率曲线总有两个共同的交点P、Q，即两点的振幅倍率不受阻尼比的影响，当主系统质量m1=1，刚度为k1=1时，做出主系统在不同吸振器阻尼比下的振幅倍率曲线，如图2所示。

图2 不同阻尼比情况下的主系统振幅倍率曲线（μ=0.25，γ=0.7）

2 吸振器质量比和固有频率比与PQ振幅倍率的关系

通过上述分析可知，当主系统参数确定，动力吸振器的质量比和固有频率比一定时，PQ定点的振幅倍率的大小和吸振器的阻尼没有关系。但当吸振器的质量比和固有频率比发生变化时，P、Q两点的振幅倍率大小就会发生变化。现推导吸振器质量比和固有频率比对P、Q两点振幅倍率的影响。

这两条振幅曲线的交点为PQ定点，由于这两定点的振幅与阻尼无关，所以两曲线相交时有以下关系式：

通过上式与公式（7）联立可求得；由于λP小于λQ，置为：

将其带入公式（3）即可求出在不同质量比和固有频率比下，定点P、Q的振幅倍率的大小。

3 吸振器质量比和固有频率比对主系统减振效果的影响

3.1 质量比和固有频率对主系统振幅倍率的影响

动力吸振器的质量对主系统减振效果有明显的影响，图3为不同质量比μ对主系统减振效果的影响。由图可知，当质量比μ越大时，在减振频带内吸振器对主系统的减振效果越好，此时动力吸振器的有效减振频带也越宽。但是当质量比μ不断变大时，在一阶共振频率对应的峰值振幅倍率会不断变大，二阶共振频率对应的峰值振幅倍率不断减小。还因为在实际应用中，既要考虑安装空间位置还要考虑吸振器质量对结构的整体影响，所以选取吸振器质量时只能在合适的范围内进行考虑。

图3 质量比对主系统振幅倍率的影响

图4为固有频率对比振幅倍率的影响。在图中，固有频率比影响主系统振幅倍率曲线上两个共振峰的位置。当固有频率比越大时，一阶共振峰对应的峰值振幅倍率越大，二阶共振峰对应的振幅倍率越小。选取一个合适的固有频率比，可以使两个共振峰的值相等。

图4 固有频率比对主系统振幅倍率的影响

3.2 质量比和固有频率对PQ定点振幅倍率的影响

图5 质量比μ对定点P、Q振幅倍率的影响

在不同的质量比下，P、Q两点的振幅倍率大小有不同的变化趋势。图5（a）、（b）为不同吸振器刚度下质量比对P、Q振幅的影响。在图中，随着质量比不断增加，P点的振幅随之减小，但是不论质量比如何变化，定点P的振幅都不可能小于1。随着质量比的增加，定点Q的振幅先增加后减小。实际应用中吸振器安装质量受空间大小、安装条件等影响，所以为了保证吸振器在宽频范围内有较好的减振效果，质量比应控制在合适的范围内。

在不同的固有频率比下，P、Q两点的振幅大小有不同的变化趋势。在图6中，讨论了在不同的质量比下固有频率比对P、Q振幅的影响。随着固有频率比不断增大，定点P的振幅不断增大，而定点Q的振幅不断的减小。