高考数列问题的解题方法与技巧

2018-05-26江苏省泰兴中学钱继兵

中学数学杂志 2018年9期

☉江苏省泰兴中学钱继兵

数列是由一列有序的数组成的集合，其定义域为正整数集以及它的有限子集.在高中数学中，数列与其他知识点有很强的联系性，例如函数、方程、简易逻辑、几何、不等式等内容.在大学学习的高等数学中，例如差分方程、级数等知识点也是建立在数列之上的.除此之外，数列还与我们的生活息息相关，在人口增长、分期付款等问题上都可以利用数列的知识进行解决.由此可见，数列既是学生数学学习中的重点，同时也是连接理论学习和生活实践的纽带，学好数列知识对学生有着非常重要的意义.

一、数列部分的高频考点

笔者对近些年高考试题的分析后发现，数列知识的考查是高考中的一个重点，不仅涉及填空题，而且很多压轴题的解题都与数列知识有关.数列分等差数列和等比数列.在等差数列中，学生应重点掌握等差数列的概念、等差数列的通项公式与求和公式、等差数列和一次函数之间的关系这些知识点并知道如何将等差数列和实际应用结合起来进行解题；在等比数列中，除了等比数列的概念、通项公式及求和公式这些基本概念之外，学生还应当熟悉等比数列和指数函数之间的关系并会运用等比数列解决实际问题.高考中常考的知识点有：（1）数列的通项公式.这个考点的考法主要是对公式的考查，可以给出递推公式让考生求通项公式，也可能给出第n项与前n项和让考生求通项公式，通常这一类题目的难度设置为中等水平.（2）求数列的前n项和.这个考点主要是考查学生对求和公式的掌握程度.（3）数列的性质.这个考点难度的设置处于中等水平.（4）数列与函数、不等式的综合问题.这一类题目的难度较高，同时分值较大，在压轴题中比较常见.

二、数列问题的常见题型及解法

（一）数列通项公式的求法

通项公式是数列部分的基础知识也是核心知识，数列许多性质的研究是建立在通项公式的基础之上的.高中数学对数列通项公式的考查比较常见，主要是以已知第n项与前n项和之间的关系求通项公式和给出递推关系求通项公式这两种形式出题来考查学生.

1.观察归纳法求通项公式

例1 写出下列各个数列的一个通项公式：

（4）3，33，333，3333，….

解：（1）通过观察发现这个数列各项是从4开始的偶数，因此通项公式为an=2n+2（.2）通过观察可以发现，每一项的分母都是比分子大1，而分母是2的n次幂的形式，因此该数列的通项公式可以写成3）该数列带有交替的正负号，因此要在通项公式中加入（-1）n+1这个因式，再将原数列中的符号去掉，进行观察.可以将第二这样可以看出分母全部为正奇数：3，5，7，9，11，13…，分子可以写成12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，…，因此该数列的通项公式为（4）这个数列可以写成…，分子可以写成（10-1），（102-1），（103-1），（104-1），…，而分母都是3.因此通项公式可以写成的形式.

点评：在做这一类型的题目时，要仔细观察数列的前几项，把握好数列以下几个方面的特点：（1）数列分式中分子、分母的变化规律；（2）相邻项之间的相同点和不同点；（3）拆项之后相邻项之间的变化规律；（4）正负号变化的的特点.对这些特点进行观察并归纳总结对于掌握这一类型题目的解法非常有帮助.

2.递推法求通项公式

例2 已知数列{an}满足an=2an-1+3（n≥2）且a1=1，求数列{an}的通项公式.

解法1（递推法）：an=2an-1+3=2（2an-2+3）+3=2［2（2an-3+3）+3］+3=…=2n-1+3（1+2+22+…+2n-2）2n+1-3.

解法2（构造法）：设an-1+c=2（an+c），即c=3.因此数列{an+3}的首项为a1+3=4，公比为2，则an+3=4·2n-1=2n+1，则an=2n+1-3.

点评：这种递推法和构造法适合an+1=pan+q（p≠1）的类型.

（二）数列前n项和的求法

数列求和同时也是数列问题中常出的题型之一，对数列进行求和讲究一定的方法和技巧，但这些技巧都是建立在求和公式的基础之上的.

1.公式法

例3 已知的前n项和.

解：由已知条件l，从而解得x=由等比数列的求和公式得

2.错位相减法

在求等比数列前n项和时，如遇到形如求{an·bn}这一类形式的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列时可以运用错位相减法进行灵活地化简、简便解题.

例4求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）.

解：由题意可知，{（2n-1）xn-1}的通项公式是由一个等差数列{2n-1}和一个等比数列{xn-1}相乘得到的.设xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn（设置错位）.将Sn和xSn的求和式子相减能够得到（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4…+2xn-1-（2n-1）xn（错位相减）.由等比数列的求和公式得（1-x）Sn=1+

3.反序相加求和法

顾名思义，倒序相加求和法就是指将数列以相反的顺序进行排列，并和原来的数列进行相加，从而可以得到n个（a1+an）.

例5 求Sn=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解：原式Sn=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°，并将该式以相反的顺序进行排列：Sn=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°，又由三角函数的性质可知，sin x=cos（90°-x），sin2x+cos2x=1，从而将两式相加，得到2Sn=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+cos289°）=1+1+1+…+1=89.因此解得Sn=44.5.

4.裂项相消法

裂项相消法是指在对数列进行求和的过程中，将数列的通项公式拆分成两项差，这样在计算的过程中能够产生正负项的相互抵消，从而化简计算，只需计算最终剩下的几项便可以对整个复杂的数列进行求和.这种方法适用的范围比较广，但必须要保证将等差数列拆分后各个项都不是0，只有这样才能利用等差数列公式d=an+1-an进行求和.裂项相消法能够很好地体现出数学中分解与组合的数学思维.

在利用裂项相消法对数列进行求和时，可以按照下列步骤进行化简和计算：（1）首先对数列的通项公式进行分析，然后有规律地将其分解成若干项，分解时一定要注意这些项能够相互抵消.（2）对各个项进行通项，使得它们的值为1，2，3，…n，相加从而得到Sn.（3）将式子中相互抵消的项删去，便可以通过剩下的几项求得数列的和.在整个解题过程中要保持时刻清醒，要弄清哪些项是要消去的，哪些项是要保留的.

例6 已知数列{an}：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，求数列的前n项和.