基于优效课堂的数学概念课的课堂评价*——以“函数的单调性”新授课的评价为例

☉广东省广州市第八十六中学 胡革新

如何评价课堂教学质量，是值得研究的问题.高中数学概念课的课堂评价，基于高中数学“优效课堂”的基本观点、基本特征、教学策略、好课味道和好课标准［1-5］，旨在建构数学概念课的课堂评价量表.

笔者认为，高中数学概念课的课堂评价，要体现数学概念课的课型特点，既要关注教师的课堂教学行为，又要重视学生的课堂学习过程；通过课堂评价，促进学生数学学科核心素养的发展，帮助教师改进教学.下面以“函数的单调性”的课堂评价为例，与同行分享.

一、高中数学概念课的评价依据

1.高中数学“优效课堂”的基本观点

高中数学“优效课堂”要“为核心素养而教”、“以理性思维育人”，要彰显数学的思维方式、洋溢数学的味道.高中数学“优效课堂”追求“负担轻、效率高、效益佳、质量优”，要求教师在遵循教学规律与学生认知规律的基础上，实施“优效教学”，促进学生“优效数学学习”，在适度的时间和精力投入后实现课堂教学目标，促进学生数学核心素养的发展.

2.高中数学“优效课堂”的基本特征

基于核心素养的高中数学“优效课堂”的基本特征是：核心素养引领下的教学目标设置，教学策略的适切化，教学过程的最优化，课堂评价的多元化.

3.高中数学“优效课堂”的教学策略

高中数学“优效课堂”的教学策略有：目标定向、面向全体、问题驱动、过程展示、变式探究、方法提炼、文化熏陶.

4.高中数学“优效课堂”的好课味道

高中数学“优效课堂”的好课有三种味道：数学味、文化味和艺术味.数学味是指数学课要展现“数学化”过程、以数学的方式育人，其本质是数学化.文化味是指数学课要发挥数学的内在力量，体现数学的文化价值，以数学的理性思维育人，其本质是理性思维.艺术味是指数学课要讲究教学艺术，既要获得数学“四基”又要展现“再创造”过程，形成情感体验，其本质在于创新.

5.高中数学“优效课堂”的好课标准

（1）教学目标明确具体、动态生成、适宜测评.

（2）教学策略能有效促进学生的优效数学学习.

（3）教学活动合理有序、关注个性、讲究效率.

（4）学习活动状态优良、参与充分、注重创新.

二、高中数学概念课的评价量表

1.高中数学概念课的课型特征

数学概念课是以获得概念为主的课型.数学概念因客观现实或数学自身发展的需要而产生，是数学思维的基本形式，是反映空间形式和数量关系的本质属性的理性认识.从概念学习的心理角度来看，数学概念具有抽象性、多元性、层次性和系统性等基本特征.从教学过程来看，数学概念教学包括概念的引入、概念的明确与理解、概念的巩固和运用等三个阶段，因此数学概念课的一般教学结构是：引入概念—理解概念—运用概念—反思提炼.

（1）教学目标.数学概念课的主要教学目标是帮助学生获得数学概念，并在概念学习过程中形成抽象概括能力、理解数学方法、领悟数学思想、感受数学文化.

（2）教学要求.数学概念教学要引导学生经历概念学习过程，理解数学概念的本质，把握概念中蕴含的数学思想方法，着力培养学生的数学学科核心素养.数学概念教学的一般要求是：通过概念的引入，让学生认识概念的来龙去脉；通过概念的明确，让学生掌握概念的内涵和外延，掌握概念的名称、定义、示例、属性、符号表示等；通过概念的运用，让学生建构相关数学概念的联系.数学概念教学要注重变式，在变式中掌握概念的本质.［6］

（3）教学策略.概念形成与概念同化是掌握概念的两种基本教学策略.概念形成是由概念原型概括出新概念.概念同化是由已有概念获得新概念，直接用数学语言给出数学概念.也可用概念形成与概念同化相结合的方式获得数学概念.在数学概念教学中，宜将概念形成与概念同化相结合，以促进学生对数学概念的理解.

2.高中数学概念课的课堂评价量表

依据高中数学概念课的课型特征，基于高中数学“优效课堂”的基本观点、基本特征、教学策略、好课味道和好课标准，我们构建出如下高中数学概念课的课堂评价表（表1）.

表1 高中数学概念课的课堂评价表

说明：从教师行为、学生行为两个维度进行量化评价（各50分，满分100分），每个维度又分三个一级指标（目标占5分、过程占30分、效果占15分），每个一级指标又分为几个二级指标（评价要点），共17个二级指标，每个二级指标占3分（其中第2个二级指标占2分），评价要点中优秀、良好、一般所赋分值均为该等级上限.

三、高中数学概念课的评价案例

下面以“函数的单调性”新授课为例，呈现高中数学概念课的评价实践.

1.课堂实录

上课伊始，教师导入新授概念（问题1）.

问题1：观察函数f（x）=x+1、f（x）=-x+1、f（x）=x2+1的图像，从左到右看，函数f（x）有何图像特征？函数f（x）随x增大如何的变化？

学生1：从左到右看，函数f（x）=x+1的图像呈“上升”趋势，函数f（x）随x增大而增大.

学生2：从左到右看，函数f（x）=-x+1的图像呈“下降”趋势，函数f（x）随x增大而减小.

学生3：从左到右看，函数f（x）=x2+1的图像在区间（-∞，0）上呈“下降”趋势，函数f（x）随x增大而减小；在区间（0，+∞）上呈“上升”趋势，函数f（x）随x增大而增大.

在学生回答基础上，教师给出增函数、减函数的名称（图形语言）：

在数学中，通常把“图像从左向右呈上升趋势”的函数称为增函数，而把“图像从左向右呈下降趋势”的函数称为减函数.

接下来，教师引导学生建构概念定义（问题2）.

问题2：依据函数图像的“上升”“下降”趋势，如何定义增函数、减函数呢？

学生4：若函数f（x）随x的增大而增大，则称f（x）为增函数.

学生5：若函数f（x）随x的增大而减小，则称f（x）为减函数.

紧接着，教师呈现问题3.

问题3：如果将“f（x）随x的增大而增大”作为增函数的定义，能用定义证明函数f（x）=x2+1在区间（0，+∞）上是增函数吗？

学生：这样的定义，没法运算与推理.

接下来，教师呈现问题4.

问题4：如何定量刻画二次函数f（x）=x2+1“在区间（0，+∞）上，f（x）随x的增大而增大”？能列举一些具体数据吗？

学生6：f（1）=2，f（2）=5，f（1）＜f（2）.

学生7：f（2）=5，f（3）=10，f（2）＜f（3）.

教师追问：这样的列举能刻画增函数的本质吗？用什么办法来定量刻画呢？

众生：不知道如何定量刻画f（x）随x的增大而增大.

教师引导：

①“增大”意味着比较，需要建立两个量的大小关系；

②“x的增大”的符号化：用两个自变量的大小关系表述为x1＜x2；

③“f（x）增大”的符号化：f（x1）＜f（x2）；

④“随”字的符号化：当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）；

⑤“在区间（0，+∞）上，f（x）随x的增大而增大”的符号化：对任意的两个自变量x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）.

这样的定量刻画方式就可进行运算与推理了.

接下来，教师呈现问题5.

问题5：若函数f（x）在定义域I内某个区间的图像如图1所示，能用符号语言来表示函数f（x）的变化趋势吗？

图1

在学生尝试基础上，教师给出函数单调性的形式化定义：

一般地，如果函数f（x）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是增函数.

如果函数f（x）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是减函数.

如果函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.

教师强调：上述定义中包含区间、任意、增函数、减函数、单调区间等5个关键词.

在获得增函数、减函数的概念后，教师组织变式训练（问题6）.问题6：证明函数在区间（0，+∞）上是减函数.

生众：运用减函数定义解题（过程从略）.

教师规范推理过程后，引导学生变式训练：

变式1：证明函数在区间（-∞，0）上是减函数.

变式2：函数在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.

变式3：证明函数（f x）=x2+1在区间（0，+∞）上是增函数.

变式4：证明函数在区间［1，+∞）上是增函数.

接下来，教师呈现问题7.

问题7：函数y=（x-1）2在区间（-∞，+∞）上是增函数吗？请说明理由.

学生积极思考，合作交流，得出问题7的答案.

接下来，教师引导学生探究概念变式（问题8和问题9）.

问题8：如果函数f（x）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在区间D上是增函数吗？

问题9：如果函数f（x）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）-f（x2）＞0，函数f（x）在区间D上是减函数吗？

生众：思考问题8和问题9的答案.

学生8：如果函数f（x）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2∈D，当x1≠x2时，（x1-x2）［f（x1）-f（x2）］＞0，则函数f（x）在区间D上是增函数.

学生9：如果函数f（x）对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2∈D，当x1≠x2时函数f（x）在区间D上是增函数.

教师：很好！这两位同学善于创新.

下课时间临近，教师引导学生反思（问题10）.

问题10：回顾上述学习过程，有何感悟？

学生反思函数单调性的学习过程，概括出定义法证明单调性的操作步骤：取值定序—作差变形—判断符号—给出结论.

教师布置课外作业后，结束了本节课.

2.评价记录

（1）对教学目标与学习目标的量化评价.

通过查阅教学设计、观察课堂表现，教学目标定位准确，学习目标清晰，评定为10分.

（2）对教学过程与学习过程的量化评价.

从教学过程来看，教师提供概念背景、引导观察归纳、揭示内涵外延、探究概念变式、组织变式训练、提供教学反馈；从学习过程来看，学生提取关键属性、明确概念定义、表征数学概念、运用概念解题、举出正反实例.问题1引导学生观察三个具体函数的图像“上升”“下降”特征，学生明白不同函数有不同的图像特征；问题2引领学生描述函数图像“上升”“下降”的变化趋势，学生给出增函数、减函数的描述性定义；问题3引起认知冲突，学生体验到形式化定义的必要性；问题4从定量刻画入手，学生感悟到定量刻画函数f（x）=x2+1在区间（0，+∞）上随x的增大而增大的方法；问题5搭建脚手架，引领学生获得增函数、减函数的形式化定义；问题6提供运用增函数和减函数定义的教学情境，通过4个变式来强化定义的正向运用，学生理解单调性概念，培养了逻辑推理素养；问题7通过反例变式，深化学生的概念理解，培养了学生的批判性思维品质；问题8、问题9创设探究概念变式的教学情境，引领学生提出新观点、新命题，培养了学生的创新意识；问题10关注数学活动经验的积累，有利于培养学生的元认知能力.

总之，教师着力于问题驱动、建构函数单调性概念，学生经历图形语言、文字语言向符号语言转换的过程，体会到从具体到抽象、从定性到定量的研究方法.但教学媒体运用不够，学习方式较为单一，因此，教学过程与学习过程的量化评价为54分.

（3）对教学效果与学习效果的量化评价.

从教学效果与学习效果来看，教学目标达成良好，获得单调性概念.教师注重培养抽象素养和创新意识，变式练习适度，注重激励评价；学生形成抽象意识，感悟思想方法，作业正确率较高，发表个人见解.因此，在教学效果与学习效果的量化评价中，评定为28分.

综上所述，总分评定为92分，评定等级为优秀.

课堂评价，难度较大.不同的教学理念，有不同的课堂评价标准.在数学核心素养引领下，高中数学概念课的课堂评价值得深入探究.

1.肖凌戆.高中数学“优效课堂”的理论建构［J］.中国数学教育（高中版），2015（12）.

2.肖凌戆.数学教学要“为思维而教”［J］.中学数学教学参考（上旬），2016（1/2）.

3.肖凌戆.基于核心素养的高中数学优效课堂的基本特征［J］.中国数学教育（高中版），2017（12）.

4.胡革新，肖凌戆.高中数学优效课堂的好课味道［J］.中国数学教育（高中版），2018（3）.

5.肖凌戆，张先龙.高中数学“优效课堂”研究［M］.西安：陕西师范大学出版总社，2017.

6.肖凌戆.从被动接受学习走向变式创新学习——中学数学变式创新学习模式的探索［J］.中学数学，2003（10）.F