数形结合思想在圆锥曲线问题解答中的应用

摘 要：本文分析全国1卷2015-2017年关于圆锥曲线的考试试题，探讨高考考查的重点、难点和共同点，了解高考圆锥曲线的考查方向以及考查内容的内在联系，领会数形相结合思想在解题中应用，对广大考生把握考查的难点、有效地掌握考查的关键点具有一定的借鉴意义。

关键词：圆锥曲线；椭圆；抛物线；韦达定理

作者简介：吴紫云，安徽省祁门县第一中学教师。（安徽 祁门 100013）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）06-0083-04

一、题目的提出

1. 2015年全国1卷第20题。

在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y=kx+a（a>0）交于M、N两点。

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

2. 2016年全国1卷第20题。

設圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

3. 2017年全国1卷第20题。

已知椭圆C：+=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上。

（I）求C的方程；

（II）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。

二、题目的欣赏

1. 选材。这三题都来源于近三年全国1卷理科数学试卷的第20题，这些题涉及中学数学的多个主干知识。例如，椭圆的方程及性质、抛物线、直线、斜率、导数、切线方程、圆、直线与圆、直线与椭圆、直线与抛物线等内容，这些都是《考试说明》中的B、C等级要求的内容，体现了重点内容重点考查的命题理念，同时，这些知识点内容巧妙组合，自然交汇。

2. 题目源自课本。第二题（2016年高考题）来源于“人教版”A版选修教材2-1的第二章第二节的课后习题，在课本2-1的第49页的第7题；第三题（2017年高考题）来源于“人教版”A版必修2的第四章的第一节的课后习题，在课本的第124页的第6题。这些高考题，有些是题型、有些是方法来源于课本，都是课本中的重要内容，体现命题源自课本，而课本是学习的基础。

3. 设问。这些题目都设两个问题，对于第一个问题大部分学生都是很熟悉的，自然比较容易得分。例如第一题的第一问，给出了参数k=0时，求切线方程。给出了参数的具体数值，问题便简单了，但还有一个参数a，又要求学生有一定的代数推理和规范表达的能力，所以说第一题即使送分也不是完全送分的。对于第二题，给出两个角相等，要求学生有转化的数学思想，把两角相等转化成斜率之和等于0，能考虑到这一点的学生就不多了。然后利用直线与抛物线的关系及一元二次方程根与系数的关系找到相等关系，从而求出定点P的坐标。要算出最后答案，且其中有两个参数k和a，这里的代数推理运算要求很高，对于不少学生来说是一道有难度的题，也恰恰是一道压轴题。

4. 解法。

（1）2015年全国1卷第20题。

【解析】（Ⅰ）由题设可得M（2，a），N（-2，a），或M（-2，a），N（2，a）

∴ y'=x，故y=在x=2a处的导数值为，C在（2，a）处的切线方程为y-a=（x-2），即x-y-a=0

故y=在x=-2a处的导数数值为-，C在（-2，a）处的切线方程为y-a=-（x+2），即x+y=a=0.

故所求切线方程为x-y-a=0或x+y=a=0

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2

将y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0

∴ x1+x2=4k，x1x2=-4a

∴ k1+k2=+==

由∠OPM=∠OPN，得直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，则有k1+k2=0所以b=-a，故P（0，-a）。

（2）2016年全国1卷第20题。

解析：（Ⅰ）因为|AD|=|AC|，EB|| AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+

|EB|=|EA|+|ED|=|AD|

又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4所以|EA|+|EB|=4

由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：+=1（y≠0）

（Ⅱ）当l与轴x不垂直时，设l的方程为y =k（x-1）（k≠0），M（x1+y1），N（x2+y2）

由y=k（x-1）+=1得（4k2+3）-8k2x+4k2-12=0

则x1+x2=，x1x2=

所以|MN|=|x1-x2|

=·

=

过点B（1，0）且与l垂直的直线m：y=-（x-1），A到m的距离为，所以|PQ|=2=4

故四边形MPNQ的面积S=|MN||PQ|=12

可得当l与x轴不垂直时，由k2>0得四边形MPNQ面积的取值范围为（12，8）。

当l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12。综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8）。

（3）2017年全国1卷第20题。

解析：（I）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点。

又由+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上。

因此=1+=1，解得a2=4b2=1

故C的方程为+y2=1

（Ⅱ）设直线P2 A与直线P2 B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，-）。

则k1+k2=-=-1，得t=2，不符合题设。从而可设l：y=kx+m（m≠1），将y=kx+m代入+y2=1得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0

由题设可知△=16（4k2-m2+1）>0 （1）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=

而k1+k2=+=+=

由题设k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2 + （m-1）（x1+x2） =0

即（2k+1）·+（m-1）·=0

解得k=-

当且仅当m>-1时，△>0，欲使l：y-=-x+m，即y+1=-（x-2），所以l过定点（2，-1）。

5. 抓住共同处，分析共同点。这三道题中，有不少共同之处，值得与大家分享。其一，都有直线方程、直线的斜率。其二，都有直线与圆锥曲线的联立，都有韦达定理的使用。其三，三道题就有两题跟椭圆有关，只有一题跟抛物线有关，说明椭圆还是考查的重点。其四，第一问主要是以求曲线方程为主，第二问主要是求范围问题和定点问题。从这些共同处，不难看出以后教学学习的重要内容和重要题型。

三、教学启示

1. 重视基础知识的生成，公式的灵活运用。圆锥曲线的问题，是高考的必考点，主要考查椭圆、抛物线、直线方程、以及圆等内容，这一部分基礎知识点多，且之间又有紧密的联系。学好这一部分内容，必须领会椭圆、圆、抛物线等概念，掌握各个性质形成过程，不要死记硬背，死记硬背肯定是不行的。在平时的教学中，教师要重视知识的产生发展过程，帮助学生建立和领会知识体系的网络结构，能让学生领会和掌握主干知识的交汇处。同时，这一章节有特别多的公式，比如“两点间的距离公式、点到直线的距离公式、椭圆的标准方程、抛物线的标准方程、离心率公式、弦长公式”等内容，学生不仅要知道这些公式是如何产生的，也要掌握这些公式、会运用这些公式，它们就是我们手上的“工具”或“武器”，没有了它们，我们很难解决数学里的曲线问题。灵活运用它们是教师要思考的，也是学生学好圆锥曲线的保障。

2. 重视方法的总结和升华。在日常的教学中，对问题的总结，对方法的归纳都是有必要的。直线与椭圆或抛物线的联系，利用一元二次方程根与系数的关系可以求弦长问题；中点弦问题、直线的斜率问题也可以转化到两根的关系上来。比如，第一题的第二问，由∠OPM=∠OPN到k1+k2=0，再由k1+k2=+===0得出b=-a。第三题的第二问，由k1+k2=-1和k1+k2=+==0，可得到（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0，再把根与系数的关系，即韦达定理带入即可等到（2k+1）·+（m-1）·=0，化简就能得到k=-，最后问题得以解决。从这些都可以看出，直线与圆锥曲线问题，常常可以将直线与圆锥曲线联立，再利用韦达定理以及判别式，把题目中的几何问题或直线的斜率、弦长公式带入得以展开。

对于数学思想方法，需要教师在日常的教学和训练中，不断地概括、提炼、比较、归纳、总结、反思、体会。相对于基础题来说，解答时，不能靠记忆或背来解决问题，不然，学生就失去了理解、领会题目的机会，也没有得到总结和归纳，升华成自己的东西。所以，在日常教学中，教师一定要注重方法的归纳和总结，最好让学生自己领会，这样得到的方法、思想才是自己的。

3. 重视运算能力和分析能力的训练。近三年全国I卷理科数学试卷的第20题，也是必做题的倒数第2题，是有一定难度的，特别是第二个问，涉及的运算很多，再加上还需要分析它们内在的联系，以及图像和代数的关系，需要很强的分析能力和思维能力。解析几何的核心是利用代数方法解决几何问题，所以代数运算是重要的一环。从学生的认知发展来说，小学只要求在有理数范围内会加减乘除，初中要求会在实数范围的加减乘除，还有幂的一些简单运算，到了高中，不仅要会具体数字的运算，还有幂、对数、带字母的运算，这里还有许多公式的灵活运用，要求高了不少。教师在教学中，重视加强学生的运算能力的培养，创造机会让他们自己去运算，提高运算能力。

分析能力就是对回答问题的一种反应，遇到某些条件，能有及时有效的反应，这里面还要利用图形分析问题，因为图像比较直观，便于观察。一般的，在理解题目后，把问题画在图形上，利用图形分析问题，思考如何解决。例如第二题的第一个问，证明

|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程，经过画图分析，可知点E的轨迹是一个椭圆，同时要留意题中的点“直线l过点B（1，0）且与x轴不重合”，即要去掉椭圆上与x轴相交的点。对其他有关直线问题，也都要留意斜率存在和不存在的两种不同情形，这些都需要教师在日常教学中，创造机会让学生自己发现、领会、掌握和总结归纳。

学生解题能力是在学习过程中通过不断地分析问题，转化分解问题，通过不断的听懂、反思、感悟、领会、内化、迁移等过程中提高的，所以教学中，教师要帮助学生寻找问题的切入点，转化的有效点，运算方法的优劣，让学生体会到困惑、反思、理解、内化等过程。

参考文献

[1] 秦月花.例谈平面几何分析法在圆锥曲线问题解答中的运用[J].教育观察，2016，（20）：90-91.

[2] 李秀莲.论高中数学教学有效策略选择——以2013年高考数学山东卷为例[J].当代教育科学.2013，（22）：46-47.

责任编辑 黄 晶