基于MATLAB和SolidWorks的平行分度凸轮设计

2018-05-24蔡玉强赵长庆

机械工程与自动化 2018年2期

蔡玉强，赵长庆

(华北理工大学机械工程学院, 河北唐山 063210)

0 引言

平行分度凸轮是一种以达到间歇运动为目的的共轭凸轮机构[1]，广泛应用在高速、高精度的分度操作中，在模切机、卷烟机、包装机械等领域有着很大的市场空间和前景。在机构设计过程中，对凸轮轮廓精度要求比较高，图解法不能满足工程中的要求。本文利用反转法这种易被理解的方法推导凸轮廓线方程，免去繁琐的计算。结合MATLAB软件编程，得到轮廓曲线数据，再将数据导入SolidWorks进行参数化建模，能够很快地得到凸轮的廓型，为平行分度凸轮的参数化设计提供了一种新的方法。

1 分度凸轮轮廓计算

平行分度凸轮主要由分度凸轮、分度盘与分度盘滚子构成，分度盘和凸轮的轴线相互平行，保证两轴之间分度传动。在输入轴上装有共轭凸轮，在输出轴上装有均布滚子的分度盘与之啮合，分度传动过程中，位于凸轮轴的共轭凸轮依次推动分度盘上滚子进行旋转，每个凸轮与其对应啮合的滚子相接触，达到输出轴分度旋转的目的。在啮合过程中要一直保证至少有两个滚子与其相对应的分度凸轮接触，目的是为了保证几何封闭。这种机构能够将输入轴的连续转动变为输出轴的移动和间歇转动，图1展示了几种常用的平行分度凸轮机构。

图1 几种常用外接平行分度凸轮示意图

在间歇运动循环中，凸轮以角速度ω匀速转动，其中与之啮合的分度盘转过的角度θ和凸轮的自转角度β(β=ωt，t为时间)存在着如下函数关系：

θ=f(ωt).

(1)

因为凸轮外部廓形、滚子表面都为素线相互平行的柱面，并且滚子等轴均相互平行，所以，问题可以简化在二维空间中进行研究。平行分度凸轮示意图如图2所示。

图2 平行分度凸轮示意图

将主动轴回转中心投影视为原点，建立固定坐标系和从动坐标系xoy与x1oy1。图2中，a为中心距，rd为滚子分布圆半径，rr为滚子半径。设n为分度数(分度盘在一个周期的时间里，回转或者停歇的次数)，m为滚子数。滚子顺时针排列，第一个滚子标为1，其后按顺时针分别为i=1,2,3，…，m。如图2所示，在半径为rd的圆上将m(m=8)个半径为rr的滚子均匀分布。设θi0为第i个滚子的初始位置角，则第i个滚子初始位置角可表示为：

(2)

根据反转法理论，假定凸轮为固定的，此时分度盘围绕主动轴逆时针旋转，且角速度为ω，在分度盘逆时针旋转的同时也完成了以从动轴为中心的自转。即动坐标系x1oy1绕o点旋转与分度盘绕o′点旋转同步进行，t时间后转角ωt如图3所示。

图3 反转法示意图

在动坐标系x1oy1中，第i个滚子的位置角θi可表示为初始位置角度加上分度盘转过的角度，即：

θi=θi0+θ.

(3)

其中：θ角服从运动规律要求，即满足式(1)。在动坐标系x1oy1中，第i个滚子圆心坐标可以表示为：

(4)

在固定坐标系xoy中，第i个滚子圆心的坐标可以表示为：

(5)

啮合过程中，从动盘滚子外圆形成的包络线即凸轮廓线，它与滚子圆心轨迹互为等距曲线，根据等距曲线理论[2]，可以推导出凸轮廓形的坐标方程：

(6)

式(6)中x′为函数x对凸轮转过角度β(β=ωt，t为时间)所求的导函数，同理y′为函数y对凸轮转过角度β(β=ωt，t为时间)所求的导函数。

2 机构设计参数分析

以上内容主要推导了凸轮廓线方程，要满足凸轮运动过程中不失真以及连续传动等要求，还需使设计参数满足一定条件。

2.1 连续传动条件

为了使平行分度凸轮连续、稳定，在运动过程中的任一时刻，必须至少有一个滚子与凸轮升程轮廓接触产生正扭矩，同时至少有一个滚子与回程轮廓接触，此时机构具有负扭矩，以保证从动盘在分度减速过程中能按照预定的规律转动，此为连续运动条件。为了使机构连续运动，设计时应考虑运动传递重合度。以第1个和第2个滚子来说明，凸轮1与第1个滚子即将离开前，凸轮2和第2个滚子已经接触并产生正扭矩。在接下来的传动中，两个滚子同时驱动分度盘转动Δτ。Δτ与分度盘等分度角τ0(τ0=2π/m)的比值称为该机构的运动传递重合度。依据参考文献[3]中的有关理论，重合度为：

ε=1+Δτ/τ0.

(7)

根据文献[4]中给出的连续传动条件，设凸轮理论廓线最大外径与实际廓线最大外径分别为γTmax、γPmax，其中理论廓线最大外径γTmax与Δτ和τ0有如下函数关系：

(8)

(9)

(10)

为保证连续传动令ε> 1，经过等式变换可得凸轮实际廓线最大外径γPmax应满足：

(11)

2.2 外径条件

所谓的外径条件就是使凸轮动程角βh(也就是主动凸轮起推动作用的那部分角度)必须大于某一个最小值。为了使滚子1与滚子3形成的轮廓共用一个凸轮，对于动程角βh的选取，应要求机构完成分度前(即滚子1与对应凸轮廓线脱离接触前)滚子2与对应的轮廓进入啮合。设TN为分度周期内凸轮转过角度的无因次时间[5]，TN=t/th=β/βh，0≤TN≤1，t对应TN瞬时时间，th对应TN=1的分度周期(动程总时间)；设τh为分度盘分度角(即主动凸轮走过一个动程角分度盘转动的角度，τh=2π/n，注意与前面提到的等分度角进行区分，等分度角即为每个滚子之间相距的角度，例如一分度的凸轮分度角为2π，而等分度角与滚子数有关)。依据无因次化相关理论，为了保证滚子1和滚子3对应的凸轮廓线相交，则凸轮动程角βh应满足：

(12)

2.3 防止顶切条件

设计参数选择不当时，凸轮廓线会出现顶切现象，即凸轮工作廓线凹下去的最小曲率半径ρ小于滚子半径rr，使得凸轮廓线不连续且有交叉。根据文献[6]中相关理论指出，由于顶切现象通常发生在凸轮矢径最小值处(即在r0=a-rd处)，因此，为了防止顶切现象的发生，凸轮动程角应满足：

(13)

其中：V为滚子经过正负扭矩交接点时的无因次速度值。

2.4 压力角条件

凸轮和从动件之间速度与力的传递关系需要用一些参数来反映，即凸轮机构压力角。凸轮轴回转时推动滚子的轮廓称为主轮廓，施加负转矩起反向锁合功能的轮廓称为副轮廓。一般地，机构能正常运转要求主轮廓的最大压力角小于许用值。参考文献[7]中提到平行分度凸轮机构的许用压力角[φ]为60°。则φmax≤[φ]≤ 60°，压力角计算公式为：

(14)

其中：Kra为径距比，Kra=rd/a；Gm为凸轮头数。Gm和Kra都对压力角有一定影响。

3 凸轮轮廓曲线的绘制

以三片式平行分度凸轮为例，满足设计要求参数如下：中心距a=160 mm；滚子半径rr=21 mm；滚子回转半径rd=34 mm；滚子数m=9；分度数n=1；动程角βh=10π/9。以工程中最常用的变余弦运动规律为例，依据选定的参数和推导出的公式，利用MATLAB 软件编制程序[8]，得到的平行分度凸轮的理论廓线如图4所示。