高中数学条件概率问题研析

2018-05-23周根旺

中学教学参考·理科版 2018年3期

关键词：无序

周根旺

[摘要]学生在学习条件概率时主要存在基本事件空间理解不清和抽取时是有序还是无序分不清的问题，教师应引导学生厘清关系，从而走出解题困境.

[关键词]条件概率；基本事件；抽取；有序；无序

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08003001

条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念，也是高考考查的一个难点.学生在解决条件概率问题时容易出现以下问题，教师应想方设法引导学生走出解题困境.

一、基本事件空间理解不清

【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男生女是等可能的.已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？

错解1：设事件A：“此家庭有一个是女孩”，事件B：“另一个小孩是男孩”，则，

P（A）=1×22×2=12，P（AB）=12×2=14，P（B|A）=P（AB）P（A）=12.

错解2：n（A）=2，n（AB）=1

，P（B|A）=n（AB）n（A）=12

错因分析：本题指的是“有一个是女孩，另一个是男孩的概率”并不是“第一个是女孩，第二个是男孩的概率”.计算条件概率时，要把基本事件空间理解清楚，如果随机试验的样本空间为Ω，则计算P（A）、P（AB）时样本空间为Ω，计算P（B|A）时样本空间为A.

正解1：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}.由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，A=“其中一个女孩”，B=“其中一个男孩”，则Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A={（男，女），（女，男），（女，女）}，AB={（男，女），（女，男）}，

∴P（AB）=24，P（A）=34，∴P（B|A）=P（AB）P（A）=

=23

正解2：由上可知，n（A）=3，n（AB）=2，∴P（B|A）=

n（AB）n（A）=23

点评：在等可能事件的问题中，理解基本事件空间是关键.

二、是有序抽取还是无序抽取分不清

【例2】从混有5张假币的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，求2张都是假钞的概率.

解：设事件A：“抽到两张都是假钞”，事件B“其中一张是假钞”，则所求概率为P（A|B），

∴P（AB）=P（A）=C25C220，

P（B）=C25+C15C115C220，

P（A|B）=P（AB）P（B）

=C25C25+C15C115

=1085

=217

疑惑1：在計算事件B：“其中一张是假钞”的基本事件数目时，有学生这样想：“有一张是假钞，另一张任意，所以只需要先从5张假钞中选出一张，再从剩余的钞票中任意选一张，则共有C15C119个基本事件.”

∴P（AB）=P（A）

=C25C220，

P（B）=C15C119C220，

P（A|B）=P（AB）P（B）

=C25C15C119

=1095

=219.

解惑：“其中一张是假钞”的基本事件为C15C119是错误的.此计算中当取出两张都为假钞时，两张假钞之间是没有顺序的，但在计算中，先取后取人为地增加了顺序.因此，相当于取出两张都为假钞的基本事件多算了1倍，即多算了C25个.“其中一张是假钞”等价于“抽到两张中至少有1张假钞”，所以根据分类计数原理可知基本事件数为：C25+C15C115.

疑惑2：抽取时有序还是无序？本题按照有序计算可以吗？

学生在解决问题时往往对是否有序存在疑惑.有学生这样解：

∴P（AB）=P（A）=A25A220，

P（B）=A25+A15A115A220，

P（A|B）=

P（AB）P（B）

=A25A25+A15A115

=2095

=419.

解惑：“其中一张是假钞”按照有序计算应分为“假假”“假真”“真假”三类，基本事件数目为A25+2A15A115.

P（A|B）=P（AB）P（B）

=A25A25+2A15A115