统计与概率易错题分析与辨别

康海芯

同学们在学习统计与概率时，由于认知水平、理解水平的不同，解题过程中往往会出现这样或者那样的错误.本文将结合同学们在统计与概率中出现的一些错误来进行分析，以达到正本清源的目的.

易错点一：混淆了全面调查与抽样调查

例1指出下列调查运用哪种调查方式合适.

（1）为了了解全班学生中观看《全家总动员》这一节目的人数作的调查；

（2）为了了解中学生的身体发育情况，对全国八年级男生的身高情况作的调查；

（3）为了了解一批药物的药效持续时间作的调查；

（4）为了了解全国的“禽流感”疫情作的调查.

【错解展示】（2）、（3）、（4）用抽样调查的方式合适，（1）用全面调查的方式合适.

【错因剖析】要调查全班学生中观看《全家总动员》这一节目的人数，由于调查范围很小，因此，用全面调查的方式合适；要调查全国八年级男生的身高情况，由于调查范围太大，实现的可能性极小，加之对调查结果的精确度要求并不是太高，因此，用抽样调查的方式合适；要了解一批药物的药效持续时间，全面调查具有破坏性，因此，适合抽样调查；全国的“禽流感”疫情关系到国计民生，即使调查代价很大，也要采取全面调查的方式.

【正解】（1）、（4）用全面调查的方式合适，（2）、（3）用抽样调查的方式合适.

易错点二：样本的抽取缺乏代表性

例2制订本市七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对200名初中男生的身高作调查，现有三种方案：

（1）测量体校中200名男子篮球、排球队员的身高；

（2）查阅有关外地200名男生身高的统计资料；

（3）在本市的市区和郊区各任选三所初级中学，在这六所学校所有的年级（1）班中，用抽签的方法分别选出15名男生，然后测量他们的身高.

【错解展示】方案（2）比较合理.

【错因剖析】在统计中，收集数据时采用随机抽样的方法所抽取的数据才具有代表性.（1）体校运动员身高可能高于一般学生，样本选取比较特殊，所以这样的样本不具有代表性；（2）外地学生的身高不能准确反映本地学生身高的实际情况；（3）中的抽样方法符合随机抽样，而且样本的代表性很强.

【正解】方案（3）比较合理.

易错点三：不能正确理解总体和样本的概念

例3为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验.这个问题的样本是（ ）.

A.这批电视机

B.这批电视机的寿命

C.抽取的100台电视机

D.抽取的100台电视机的寿命

【错解】选C.

【剖析】在表达总体和样本时，不仅要指出调查对象的数量，而且还要指出调查对象的属性.错解中只指出了样本的数量，而没有指出样本的属性，即电视机的寿命.

【正解】选D.

易错点四：获取统计图信息时发生错误

例4 甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图.

从2013年到2017年，这两家公司中销售量增长较快的是________.

【错解】乙公司.

【剖析】这道题若从统计图上直接观察，很容易得到乙公司销售量增长较快的结论，但实际上不是这样，仔细观察统计图中的数据可以发现，甲公司从2013年到2017年销售量大约从200辆增加到520辆；而乙公司从2013年到2017年销售量从200辆增加到400辆，由此可以判断甲公司销售量增长较快.

【正解】甲公司.

易错点五：混淆加权平均数与算术平均数

例5商店有两种苹果，一种单价为3.6元/千克，另一种单价为4元/千克.如果妈妈买了第一种苹果2千克，买了第二种苹果3千克，那么妈妈所买苹果的平均价格是多少元？

【错解】所买苹果的平均价格是（3.6+4）÷2=3.8（元）.

【剖析】由于购买苹果的单价不同，数量也不同，即每个数据的“权“也不同，所以不能通过直接求单价的平均数的方法计算所买苹果的均价.而应用买两种苹果的总价钱除以所买苹果总质量.即把购买的不同价格的苹果数量作为权，利用加权平均数来计算平均价格.

【正解】所买苹果的平均价格为

易错点六：求众数，误将次数当作众数

例6随机抽取某城市2017年中30天的日平均气温状况统计如下，求该组数据的众数.

31 4温度/℃__天数/天___12__2___15__3___17__3___24__5___26__7___30 6

【错解】日平均气温为26℃出现了7天，出现的次数最多，所以这组数据的众数是7.

【剖析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数.本题抽查是气温的状况，所以原数据应是温度，而不是天数.

【正解】因为这组数据中，26℃出现了7天，出现的次数最多，所以这组数据的众数为26℃.

易错点七：求中位数忘记排序

例7求一组数据2，3，1，4，3，3，4，8的中位数.

【错解】这组数据共8个，处于中间的两个数据是4，3，它们的平均数是3.5，所以这组数据的中位数是3.5.

【剖析】中位数的计算方法是：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数.错解没有将数据按从小到大的顺序排列.

【正解】将这组数据按从小到大的顺序排列为：1，2，3，3，3，4，4，8.处于最中间位置的两个数为3，3，它们的平均数为3，所以这组数据的中位数为3.

易错点八：不能理解方差的意义

例8 从甲、乙两位车工加工的零件中，各抽取了8件，量得直径尺寸如下：（单位：mm）

甲：35.01 35.03 35.05 34.98 34.96 35.00 35.02 34.95

乙：35.04 34.99 34.97 35.00 35.03 35.01 34.99 35.01

问：谁加工的零件更接近35mm？

【错解】经计算可求得35.005mm，所以甲加工的零件更接近35mm.

【剖析】错解没有正确理解平均数和方差的意义，误认为谁的平均数接近35mm，谁的零件尺寸就接近35mm.事实上，他们的平均数与35mm相差非常小，这时应该比较他们的方差，方差越小，数据波动也越小，说明零件尺寸越接近其平均数.

【正解】经计算可求得35.005mm，s甲2=0.00105，s乙2=0.00045.因为他们的平均数相差非常小，且S甲2＞S乙2，所以乙加工的零件更接近35mm.

易错点九：混淆“不可能”“必然”和“可能”事件

例9买一张福利彩票，中了特等奖，这个事件是________事件（填“可能发生”或“不可能发生”）.

【错解】不可能发生.

【剖析】错解产生的原因是不能正确地区分“不可能”和“可能”，把发生机会很小的不太可能发生的事件认为是不可能事件.事实上虽然买一张福利彩票中特等奖的机会很小，但它也是可能发生的，属于随机事件.

【正解】可能发生.

易错点十：对概率的概念理解不透彻

例10买彩票中奖的概率是买100张彩票是否能中奖？

【错解】一定会中奖.

【剖析】中奖的概率为1%并不是指每购买100张就一定有1张能中奖.如果是每100张就有1张中奖，那买100张就一定中奖是没错；如果是每1000张有10张中奖，则中奖的概率也是1%，但此时不能中奖的还有990张，所以买的100张可能是没有奖的这990张中的100张.因此，即使买990张也不能保证一定能中奖，因为买的每一张彩票是否中奖仍然是不确定事件.

【正解】不一定会中奖.

易错点十一：对问题思考不全面

例11任意掷一枚均匀的硬币两次，求两次都是正面的概率.

【错解】掷硬币两次的所有可能的结果为（正，正），（正，反）和（反，反）三种情况，所以两次都是正面的概率是

【剖析】本题的错误在于遗漏了事件所有可能出现的结果数，注意（正，反）和（反，正）是等可能出现的，是两种不同的情况，而不是一种情况.

【正解】掷硬币两次的所有可能的结果为（正，正），（正，反），（反，正）和（反，反）四种情况，所以两次都是正面的概率是

易错点十二：对事物发生的概率理解不透

例12小明和小强做游戏，袋子中有3个乒乓球，3个垒球，两人任意摸出一球.（摸出后将球放回）摸到乒乓球则小明胜，摸到垒球则小强胜，这个游戏对双方公平吗？

【错解】由于袋子中有3个乒乓球、3个垒球共6个球，则P（摸到乒乓球）P（摸到垒球），所以游戏公平.

【剖析】此游戏对双方不公平.乒乓球和垒球本身质地、手感、大小都是不同的，这就不能保证摸球结果的随机性.

【正解】游戏不公平.