经历猜想和探索的过程，积累数学活动经验——“探索活动:梯形的面积”教学实录及评析

◇执教/王怀环 评析/付 丽

教学内容

北师大版教材五年级上册第四单元“多边形的面积”中“探索活动：梯形的面积”。

教学过程

一、温故引新，提出猜想

师：前面我们已经研究过平行四边形的面积、三角形的面积，猜想一下，今天我们要研究哪种图形的面积？

生：梯形的面积。

师：这是个很有挑战性的图形，想一想，你打算怎么研究梯形的面积？

生：我打算像研究三角形一样把它转化成我们学过的图形来研究。

师：平行四边形和三角形的面积都与底和高有关，你们猜想一下，梯形的面积和什么有关呢？

生：梯形的面积应该也和底和高有关。

生：梯形的底有上底和下底，怎么办呢？

生：那就和梯形的上底、下底和高都有关系。

师：梯形的面积到底该怎样计算呢？ 接下来我们一起来探索，验证大家的猜想。

二、自主探究，验证猜想

教师出示活动要求：

（1）通过剪拼或你喜欢的其他方法，验证你的猜想，并尝试探索梯形面积是怎样计算的。

（2）在小组内说一说你的思考过程和发现。

在小组活动的过程中，教师巡视，了解学生的不同想法后，组织全班交流汇报。

师：谁来说说你是怎么想的？

生：我把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形（如图1）。

图1

师：他要借助以前学过的平行四边形来求梯形的面积。看了这个剪拼的过程，你有什么想法或问题吗？

生：这真的是个平行四边形吗？

师：有和这个同学一样的问题吗？

一些学生点头，表示有同样的问题，另一些学生举手表示有想法。

生：梯形的上底和下底平行，这个四边形的上、下两条边都等于梯形的上底加下底，所以它们也是平行的，而且相等。

生：拼成的平行四边形的左、右两边也是相等的。

师：你们真棒，能够尝试用不同的方法说明这个四边形就是平行四边形。 那根据平行四边形我们怎么得到梯形的面积公式呢？

生：梯形的面积是平行四边形面积的一半，我们算出平行四边形的面积再除以2 就行了。

生：平行四边形的底就是梯形的上底加下底，高就是梯形的高，梯形的面积就是上底加下底的和乘高除以2。

师：你们能把梯形面积公式的推导过程写下来吗？（生展示，如图2 和图3）

图2

图3

师：通过同学们的探索，验证了大家的猜想——梯形的面积确实和它的底和高有关。

师：刚才老师发现同学们还有其他想法，谁来说一说？

生：我把梯形转化成三角形，然后根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式（如图4）。

图4

师：（指图4）这个三角形和梯形有什么关系呢？

生：拼成的三角形的底是梯形的上底和下底的和，三角形的高就是梯形的高。根据三角形的面积公式，可以知道梯形的面积是：（上底+下底）×高÷2。

师：（板书根据三角形面积公式得到梯形面积公式）用字母可以怎样表示？

生：（a+b）×h÷2。

师：有的同学只用了一个梯形，也拼成了平行四边形和三角形，请看下面的图，你有什么想法？（呈现错例图5 和图6）

图5

图6

生：不对，必须沿着一条腰的中点，剪到另一边上面的顶点才可以。

师：同学们在剪拼、割补的时候是要依据条件的，一定要转化成我们学过的图形，不是随便怎么剪都可以。

师：还有别的方法吗？谁愿意来说一说？

生：我把梯形沿着对角线分成了两个三角形，梯形的面积就是两个三角形面积之和，根据三角形的面积公式得到梯形的面积公式。（如图7）

图7

师：今天大家都想到了转化的方法，用以前的经验解决了新问题，在转化过程中一定要保证转化后的图形确实是我们以前学过的图形，再进行推导。

三、拓展延伸，建立联系

师：今天同学们积极探索，验证了猜想，推导出了梯形的面积公式。 下面我们来看一组变化，请你细心观察，并思考有什么发现。

课件演示梯形上底的右端点逐渐向左端点平移，直至重合。

生：梯形变成了三角形。

师：你还想到了什么？有什么发现？

生：梯形的面积公式中的上底为0，梯形面积公式就转化成了三角形的面积公式。

师:我们接着看一下梯形又是怎么变的。 课件演示梯形上底的右端点逐渐向右移动，直至上底与下底等长。

生：梯形变成了平行四边形。

生：梯形的上底和下底相等了，梯形的面积公式就转化成了平行四边形的面积公式。

师：梯形的面积公式是不是很神奇呀？ 它和平行四边形、三角形的面积公式有这样神秘的联系，可以说是通用公式了。

师：通过这节课的探索，你有什么想和大家交流的？

生：梯形的上底和下底变化，就可以转化成三角形或平行四边形。

生：只要是一种图形，它总会和你以前学过的图形之间有联系。

生：所有图形通过剪或拼都可以转化成我们学过的图形。

生：数学可真神奇，不同图形的面积公式竟然有这么奇妙的联系！

师：通过今天的探索活动，我们灵活地应用了转化的方法，探索出了梯形的面积公式，还发现了图形之间的联系。希望你们今后能经历更多的探索活动，有更多奇妙的发现！

教学评析

在北师大版教材中，不管是平行四边形、三角形还是梯形的面积，教材中的课题都被冠以“探索活动”。显而易见，在这三节课中，虽然得到面积公式很重要，但经历面积公式的探索过程更为重要，主要目的是让学生体会转化的思想，积累观察图形、根据图形特点探求面积公式的数学活动经验。

在学习梯形面积这一课时，有三个问题值得我们深思：第一，经历了前两节的“探索”，在本节课的“探索”中，学生真正的困难又在哪里呢？第二，经历过前两节课“探索活动——平行四边形的面积”“探索活动——三角形的面积”的学习，在第三节课“探索活动——梯形的面积” 中，我们的“探索”需要更注重什么？在本节课的“探索”中，我们期望学生有哪些新的收获？第三，作为多边形面积公式探索的“收官之课”，本节课又该为学生初中学习平面几何，留下哪些宝贵经验？

在王老师的这节课中，对这三个问题给出了很好的回答。

首先，本节课的设计使学生暴露出了探索梯形面积过程中的困难，这是学生学习真实发生的基础。

我们来看看课堂上这一段对话：

师：看了这个剪拼的过程，你有什么想法或问题吗？

生：这真的是个平行四边形吗？

师：有和这个同学一样的问题吗？

一些学生点头，表示有同样的问题，另一些学生举手表示有想法。

生：梯形的上底和下底平行，这个四边形的上、下两条边都等于梯形的上底加下底，所以它们也是平行的，而且相等。

生：拼成的平行四边形的左、右两边也是相等的。

师：你们真棒，能够尝试用不同的方法说明这个四边形就是平行四边形。

在本节课上，教师给学生留有思考的余地和空间。 如在这个片段中，学生质疑：“这真的是个平行四边形吗？”基于这样的问题，引发了学生更深入的思考，在他们尝试说明的过程中，无疑是对平面图形边和角特征、图形之间联系的又一次审视，这样使学生的思考更加深刻。

其次，转化在平面几何中是非常重要的数学思想，本节课不仅是对转化思想的又一次体会和应用，更是对如何转化的一次反思和审视，学生对转化思想的体悟深刻而辩证。

在探索“梯形的面积公式”时，学生脑海里对“转化”已经比较熟悉，但转化不是无条件的，在转化过程中，学生还是存在一些问题的。本节课运用了学生发现的真实问题，如将梯形转化成三角形时，必须沿着一条腰的中点，剪到邻边的一个顶点，再将两部分拼起来才可以，但有些学生没有意识到这些问题，出现了图5、图6 的错误做法。其实，这和欧氏几何严密的逻辑是相悖的，在小学高年级，需要让学生慢慢体会数学的严谨性。

最后，在本节课“收官”环节中，学生将会建立以下三种联系：图形之间（形与形）的联系，面积公式之间（数与数）的联系，图形与公式间（数与形）的联系，知识之间不再是孤立的，而是充满联系的。