双相介质半空间内椭圆夹杂对透射SH波的散射*

齐 辉，龚 曲，曾庆友

(哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院,黑龙江 哈尔滨 150001)

弹性波散射理论一直以来都是弹性动力学中重要研究课题之一，巧妙地运用了一些数学物理方法解析地求解了一些复杂的波动问题，对地震工程、岩土工程及地下结构工程等相关技术的研究与应用有着重要价值。对弹性波在全空间中传播时遇缺陷发生散射的研究已日趋完善，相关的研究已扩展到半空间、四分之一空间等更复杂的情况，更多的界面模型被涉及[1-8]。双相介质半空间中的缺陷对SH波的散射问题是在近几年才备受科研人员的重视，而且他们基本上是讨论入射SH波与缺陷在同一个介质中的情况[2-6]，对于缺陷与入射波处于不同介质中的研究还非常少。本文中采用Green函数法、复变函数法、保角映射法、“镜像”法、极坐标移动技术以及“契合”的思想解析地求解双相介质弹性半空间内椭圆弹性夹杂对透射SH波的散射问题。并通过具体的算例得出在不同的入射角、SH波频率和介质性质的情况下椭圆夹杂周边环向动应力集中分布情况，以期获得一些具体的理论结果为相关科研及工程实际应用提供参考。

1 问题模型

如图1所示，由介质Ⅰ和介质Ⅱ组成的双相介质半空间内有一个椭圆夹杂，椭圆夹杂为介质Ⅲ，这3种介质均为连续、均匀、各向同性的弹性介质。椭圆夹杂长半轴和短半轴长度分别为a和b，夹杂中心到垂直边界BV的距离为h，到水平边界BH距离为d，建立如图1所示直角坐标系xOy和x″O″y″。SH波从介质Ⅱ中入射，遇垂直边界BV产生透射SH波进入介质Ⅰ中。主要研究在不同参数条件下介质Ⅰ中椭圆夹杂周边在透射SH波作用下产生的环向动应力集中情况，并对结果进行分析，突出反映透射SH波的危害性。

2 控制方程

二维平面SH波位移函数W(x,y)与时间的依赖关系为e-iωt,满足控制方程：

(1)

(2)

引入保角映射函数：

(3)

(4)

与式(4)相应的应力表达式为：

(5)

3 Green函数

本文中在求解实际问题之前先构造问题的Green函数，其中Green函数Ⅰ具体为含椭圆弹性夹杂的四分之一空间在垂直边界上任一位置处的出平面点源荷载作用下产生的位移场，四分之一空间为介质Ⅰ，椭圆夹杂为介质Ⅲ，如图2所示。采用“虚设点源”法构造Green函数入射波位移场表达式如下：

(6)

(7)

(8)

然后依据椭圆夹杂边界上应力和位移连续条件可建立如下方程组：

(9)

在方程两边同时乘以e-imθ，然后在(-π,π)区间内积分并进行有限项截断求出系数An和Bn，本文中取n=8。Green函数Ⅰ为:

(10)

Green函数Ⅱ为四分之一空间中无椭圆夹杂时的位移场，即:

(11)

4 入射波、反射波、透射波和散射波

采用“镜像”法将半空间双相介质问题转化为全空间双相介质问题，入射波、反射波和透射波可分别表示为：

(12)

(13)

(14)

运用Snell定律可以得到入射波、反射波和透射波位移幅值之间的关系式如下：

(15)

由于入射波的作用，同样在介质Ⅰ中会产生散射波，在椭圆夹杂内部会产生驻波，其过程及相关系数的求解参考构造Green函数的过程，在此不再叙述。

5 定解积分方程组

(16)

介质Ⅰ中存在透射波和散射波，即:

(17)

介质Ⅱ中存在入射波和反射波，即:

(18)

(19)

(20)

利用垂直边界处的关系：W(Ⅰ)+W(f1)=W(Ⅱ)+W(f2)，W(in)+W(re)=W(tr)可得到如下定解积分方程组：

(21)

(22)

式中:G1与G2分别为之前构造的在介质Ⅰ和介质Ⅱ中的Green函数，利用散射波的衰减性并进行有限项截断求得未知附加力系。

6 动应力集中因子

本文中主要是运用弹性波的散射理论来研究弹性波的绕射与动应力集中问题。环向动应力集中因子可写成如下形式：

(23)

式中:τ0=μ2k2W4为半空间透射SH波应力的最大幅值，τ为椭圆夹杂周边环向总应力。

在椭圆夹杂周边环向应力表达式：

(24)

7 算例及结果分析

8 结 论

SH波入射的角度、介质的性质、透射波的频率以及椭圆夹杂与垂直边界的距离对椭圆夹杂周边环向动应力集中因子的分布均有不同程度的影响。当SH波水平入射产生透射波时，椭圆夹杂周边环向动应力集中程度较大。在一定范围内，垂直界面右侧的介质性质对动应力集中因子的极值影响较小，但在不同透射波频率下该极值的位置会发生明显变化。在中频和高频透射波情况下，椭圆夹杂的性质对其周边动应力集中的分布影响较大，且在一定条件下动应力集中程度会非常严重。当椭圆夹杂距离垂直边界一定距离后，该距离的影响可以忽略不计。总之，在实际工程中应该重视双相介质中透射波对结构可能造成的 不利影响。

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