圆锥曲线的区域与二元二次不等式

胡友平

【中图分类号】G633.6 【文献标识码 我们已学过线性规划问题，那么用类比的方法能否研究圆锥曲线的区域与二元二次不等式关系呢？如果我们规定圆锥曲线所围的那部分包含焦点的区域称为圆锥曲线的内部区域；同时坐标平面被圆锥曲线的所划分的另一部分区域称为圆锥曲线的外部，那么这两个区域可以分别用二元二次不等式表示出来。

1.椭圆内部区域可表示为{（x，y）|b2x2+a2y2a2b2}

证明：如图1，设P（x0，y0）是椭圆内部区域上任意一点，过点P作椭圆长轴的平行线交椭圆于P1（x1，y0），P2（x2，y0），P1、P2的坐标统一记为（x1，2，y0）. ∵b2（x1，2）2+a2y02=a2b2， |x0|<|x1，2|，

∴（x1，2）2= （b2-y02）>x02，即b2x02+a2y02a2b2}表示椭圆b2x2+a2y2=a2b2的外部区域。

2.圆的内部区域可表示为{（x，y）|x2+y2R2}

3.双曲线的内部区域可表示为{（x，y）|b2x2-a2y2>a2b2}；双曲线的外部区域可表示{（x，y）|b2x2-a2y2

4.抛物线的内部区域可表示为{（x，y）|y2<2px}；抛物线外部区域可表示为{（x，y）|y2>2px}

利用上面的結论解决某些有关二次曲线的问题十分方便。

一、解二元二次不等式组

例1.求不等式组x2+y2<9 （1）x2-y2>1 （2）的整数解。

解：根据上面的结论，（1）表示圆x2+y2=9的内部，（2）表示等轴双曲线x2-y2=1的内部区域，不等式组表示的区域如图2中阴影部分（不包括周界）所示，其中1<|x|<3，通过解x2+y2<9x2-y2>1 可知|y|<2，满足（1）（2）的整数解为x=2，y=0， x=2，y=1， x=2，y=-1， x=-2，y=0， x=-2，y=1， x=-2y=-1

二、求二次曲线上存在关于直线的对称点的条件

由于曲线上关于指定直线的两对称点的连接线段的中点必在曲线内部（对于双曲线有可能在内部也有可能在外部），因此根据前面的结论我们构造不等式而求出参数的范围。

例2.k为何值时，直线y-1=k（x-1）能垂直平分抛物线y2=x的弦AB。

解：由于y-1=k（x-1）垂直平分AB， ∴kAB=-，设M（x0，y0）为AB之中点，根据对称的性质可求得x0=-，y0=-

∵AB的中点M必在抛物线内部，根据前面的结论得y02

三、求直线和二次曲线是否存在公共点的条件

例3.曲线x2+=a （a>0）与连接A（-1.1），B（2，3）的线段AB没有公共点，求a的取值范围。

解：（1）A，B均在椭圆的内部，则线段和椭圆没有公共点，要使A在椭圆内部，则1+

或a<-要使点B在梯圆内部，则4+或a<- ∴a>

（2）A，B均在圆外部的情形，由1+>a2 且4+>a2，a的取值范围为0

代入椭圆方程并整理得11y2-30y+25-4a2=0，

△=900-44（25-4a2）<0，解得-

∴0

∴当a>或0

例4.设直线L：x=ty=b+mt （t是参数），椭圆Cx=1+acos β（a≠0）y=sinβ

问a，b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，L和C总有公共点。

解：直线L即y=mx+b，过定点P（0，b），只要P在椭圆上或内部，就恒有交点，根据前面的结论，就是要求+b2≤1，即+b2≤1，这时L和C总有公共点。

】A 【文章编号】2095-3089（2018）16-0144-01