一种固体推进剂药柱结构完整性的快速评估方法

张 路，余 瑞，邓康清，庞爱民，杨 玲

(湖北航天化学技术研究所，湖北 襄阳 441003)

引 言

固体火箭发动机在生产和工作期间，会受到各种载荷作用，这些载荷作用产生的应力和应变可能会导致发动机失效，因此需要对药柱结构完整性进行分析[1]。其中，模量是衡量固体推进剂药柱变形能力的重要指标，准确获得模量变化对药柱结构完整性评估具有非常重要的意义[2]。目前，通常将推进剂的模量分为静态特性中的应力松弛模量和动态特性中的储能模量进行研究，应力松弛模量一般通过推进剂试样的静态试验得到[3-6]；储能模量一般通过使用动态力学分析(DMA)仪的试验得到[7-8]。针对等应变率和等应力率载荷条件下药柱等效模量变化的情况，M. R. Lajczok[9]通过将推进剂松弛模量的Prony级数形式代入线黏弹性本构方程中，得到了等效模量随时间变化的函数。但对于更一般的非等应力率、应变率点火增压和固化降温等动态载荷下药柱等效模量的理论分析还需要进一步的研究。

对于固化降温和点火增压过程中药柱的结构完整性分析，大都是基于推进剂的各种本构模型应用有限元软件进行数值模拟分析。如于洋[10]、邓斌[11]基于热黏弹性本构模型，得到了变温和增压过程中药柱应力、应变随时间的变化情况; Shiang-Woei Chyuan[12]分别基于非线性热黏弹性本构方程和线黏弹本构方程，分析了温度载荷和点火增压载荷下药柱的瞬态应力、应变；Tejas Nikam[13]基于线弹性模型应用ANSYS有限元软件分析了点火增压条件下不同药型对药柱应力、应变的影响。通过有限元数值模拟分析，得到药柱的应力、应变分布，进而可以得到药柱模量的变化情况，不同载荷条件下药柱模量的变化也不同。有限元数值模拟方法虽然可以评估药柱的模量变化和结构完整性，但对特定发动机在不同载荷工况(不同固化降温曲线、不同点火增压曲线)下药柱的结构完整性进行分析时，需多次模拟计算且每次计算耗时长，时效性不高。

本研究基于对药柱的黏弹性分析，建立动态载荷作用下药柱等效模量的实时评估方法，并基于温度和压力载荷下药柱应变解析的理论分析，建立药柱等效应变和等效应力的计算模型，可实现药柱结构完整性的评估。然后应用该评估方法借助于数值计算软件和有限元仿真软件对固化降温方程和点火增压下药柱的结构完整性进行分析，并与基于线黏弹性理论的有限元模拟计算结果进行对比。

1 计算方法

1.1 固化降温过程中药柱等效模量的计算方法

固化降温过程中药柱的温度变化方程为T(t)，将温度作用时间t划分为n份，假设每一份时间内为一个阶跃温度，第i份的作用时间为ti-ti-1，温度为Ti。这样，药柱的温度变化方程就等效为一个阶跃函数，温度随时间变化曲线如图1所示。当时间步长ti-ti-1足够小时，在误差允许范围内，认为两种曲线重合。温度变化为ΔTi时，时间ti-ti-1内药柱产生的应变为Δεi。时间t内所有温度变化对药柱在t时刻产生的总应变为：

ε(t)=Δε1+Δε2+Δε3+…+Δεn

(1)

图1 固化降温过程中温度随时间的变化曲线Fig.1 The changing curve of temperature with time during cooling process after curing

已知，推进剂在参考温度Ts下的松弛模量为：

(2)

WLF方程为：

(3)

式中：αT为温度-时间转换因子；C1、C2为常数。

根据时温等效原理，恒定温度T下的时间t在基准温度Ts下的等效时间为：

(4)

因此，利用基准温度Ts下的主曲线和温度-时间转换因子，可得到推进剂在任何恒定温度T下的松弛模量ET(t)，表达式为：

(5)

而变温过程中的时间t在参考温度Ts下的等效时间可表示为：

(6)

固化降温过程中，时间步ti-ti-1内的温度变化ΔTi在t时刻对药柱所产生的应力为E(ξn-ξi-1)·Δεi进行玻尔兹曼叠加就得到了t时刻药柱产生的总应力σ(t)，可表示为：

(7)

定义药柱在任一时刻的总应力与总应变的比值为等效模量，由式(1)、式(7)得到t时刻药柱的等效模量，具体表达式为：

(8)

由于在温度载荷作用下，药柱的应变仅与温差和推进剂的物理特性有关[14]，对于已知的推进剂药柱，其物理特性不变，药柱的应变与温差成线性关系，可表示为：

ε(t)=St1·T+St2

(9)

式中：St1、St2为温度应变系数，它们与发动机材料的几何参数和物理特性有关，与药柱的模量无关，对于给定的发动机，St1、St2为常数(注：不同应变形式的温度应变系数不同)。

对于简单圆管形发动机药柱，温度应变系数可通过理论计算公式求得；对于复杂药形发动机药柱，可通过有限元软件加载简单的稳态温度载荷激励，再对求解的应变进行拟合得到温度应变系数。

得到固化降温过程中药柱等效模量和温度等效应变方程以后，根据线弹性理论，将对应的等效模量和等效应变相乘就得到了药柱的等效应力，从而可实现固化降温下药柱结构完整性的分析。

当每个时间步内温度变化相同时，即：

ΔT1=ΔT2=ΔT3=…=ΔTn

(10)

从而，每个时间步内温度变化使药柱产生的应变都是恒定且相等的，即：

Δε1=Δε2=Δε3=…=Δεn

(11)

此时，式(8)可化简为：

(12)

综上所述，由式(12)便可求出固化降温过程中药柱在不同时刻的等效模量。本研究将以上公式通过数值计算软件Matlab编制程序，把温度变化方程输入该程序中，就可实现固化降温过程中推进剂药柱模量变化的快速评估。

1.2 点火增压过程中药柱等效模量的计算方法

发动机在点火过程中，药柱会承受燃烧室内燃气所带来的增压载荷。压强会在很短时间内上升到最大，并保持不变，压力作用的整个过程中药柱的模量都会发生变化。这里主要讨论点火增压过程中药柱的模量变化，不考虑温度带来的影响。点火增压过程中增压方程为p(t)，将增压时间t划分n份，认为每一份时间内为阶跃增压，第i份的作用时间为ti-ti-1，压力为pi。这样，点火增压就等效为一系列的阶跃增压，压强随时间变化曲线如图2所示，当时间步足够小时，在误差允许范围内认为两条曲线重合。

图2 点火增压过程中压强随时间变化曲线Fig.2 The changing curve of pressure with time during ignition pressurization process

通过实验测量得到药柱在参考温度下的松弛模量主曲线，其Prony级数表达式见式(2)。已知，药柱在阶跃压力载荷pi作用时的应变与压强和松弛模量有关，可表示为：

ε(t)/pi+Sp1/E(t)+Sp2

(13)

式中：Sp1、Sp2为药柱的压力应变系数，它们与发动机材料的几何参数和物理特性有关，与药柱的力学性能无关，对于给定的发动机，Sp1、Sp2为常数(注：不同应变形式的压力应变系数不同)。

文献[15]中给出了理想发动机的Sp1、Sp2的计算公式，但对于真实的发动机应用公式计算会带来较大的误差，可通过数值模拟软件计算得到药柱在阶跃压力载荷下的应变分布，再对应变进行拟合得到。

第i份的压力变化Δpi在t时刻所产生的应变为Δεi，可表示为：

Δεi=Δpi·(Sp1/E(tn-ti-1)+Sp2) (t0=0)

(14)

值得注意的是，点火增压载荷与温度载荷下的Δεi是不同的，这里每个时间步内压强变化产生的应变随着作用总时间t是变化的。

压强变化Δpi在t时刻产生的应力为：

Δσi=E(tn-ti-1)·Δεi(t0=0)

(15)

基于波尔兹曼叠加将每份时间内阶跃压力变化对药柱产生的应力、应变相加，即可得到任意时刻药柱总的应力、应变，然后即可求出各时刻药柱的等效模量。t时刻药柱的等效模量为：

(16)

为计算方便，在实际的计算中，可以将时间t等分为n份，每个时间步为t/n。同样地，采用数值计算软件Matlab编制程序，将时间步进行迭代，即可求出在点火增压过程中药柱在任意时刻的应力、应变，从而可以得到药柱等效模量的变化情况。

2 数值模拟

2.1 有限元模型的建立

本研究选择贴壁浇注式固体圆筒发动机为研究对象，该圆筒发动机包含壳体、绝热层和推进剂药柱。由于结构的对称性，对圆筒发动机的1/12进行三维有限元建模，有限元模型如图3所示，共划分5120个单元，27931个节点。

圆筒发动机壳体、绝热层和药柱的基本材料参数见表1。

图3 固体火箭发动机3D有限元模型Fig.3 3D Finite element model of the solid rocket motor

表1 发动机基本材料参数Table 1 Parameters of basic materials used for motor

注：ρ为密度；E为弹性模量；ν为泊松比；α为热膨胀系数;λ为热导率;C为比热容。

2.2 推进剂力学性能参数

固体推进剂固化温度为52℃，零应力温度为60℃。60℃时，推进剂的松弛模量拟合成的Prony级数可表示为：

(17)

式中各个系数见表2。其中，推进剂的初始模量E0为3.861MPa，平衡模量Ee为0.803MPa。

表2 Prony级数的各个系数Table 2 The coefficients of Prony series

温度—时间转换因子函数式WLF方程为：

(18)

式中：Ts=333.15K；C1=13.025；C2=201.31。

固化降温过程中，在发动机壳体端面的一条边上对发动机施加3个方向的位移约束，对称面满足对称边界条件，不考虑应力过大产生的脱粘。

点火增压过程中，药柱内表面为自由边界，药柱与绝热层之间、绝热层与壳体之间均为粘接边界条件，剖面上约束环向位移，药柱、绝热层和壳体两端约束轴向位移，壳体外表面固定约束。

3 结果与讨论

3.1 温度载荷下药柱等效模量变化的评估

3.1.1 稳态温度载荷下药柱有效模量变化的评估

将药柱放置在0℃环境温度下进行保温，药柱温度与环境温度一致，保温过程中假设任意时刻整个药柱内的温度相等。根据时温等效原理，可得到药柱在0℃下的保温时间t在参考温度60℃下的等效时间ξ，如图4所示。

图4 药柱在0℃下的保温时间t及其等效时间ξ的关系曲线Fig.4 Relation curve of time(t) vs. equivalent time(ξ) of grain at 0℃

将等效时间ξ代入式(17)中可得到0℃下药柱的松弛模量，其随保温时间t的变化如图5所示。基于线黏弹性本构模型应用有限元软件ANSYS WORKBENCH对恒定温度0℃下推进剂药柱的结构响应进行分析，得到了药柱内部应力、应变的分布。现取药柱内表面最大等效应力、等效应变位置A点进行研究，在0℃温度载荷下数值计算得到的A点等效模量随时间分布如图5所示。由图5可知，药柱的松弛模量和等效模量基本重合，所以，稳态温度载荷作用下可认为药柱的等效模量就是其真实的松弛模量。

图5 0℃下A点的松弛模量和等效模量分布曲线Fig.5 Distribution curve of relaxation modulus and equivalent modulus at point A of grain at 0℃

3.1.2 固化降温过程中不同降温条件下药柱模量变化的评估

固化降温过程中，假设发动机温度场在任意时刻都是均匀的，药柱温度从60℃降至-40℃，降温所用时间为100h。以下分析3种降温条件，按温度与时间的函数关系分为直线降温，平方降温和三次方降温，其温度变化函数为：

条件1： 直线降温T1(t)=60-1/3600·t

(19)

条件2： 平方降温T2(t)=-40+1/1.29×109·(t-3.6×106)2

(20)

条件3： 三次方降温T3(t)=60-1/4.6656×1014·t3

(21)

3种降温曲线如图6所示。降温过程中3种降温曲线的等效时间ξ随降温时间t的分布情况如图7所示，图7中左侧纵坐标为直线降温和平方降温过程中等效时间大小变化的参考坐标，右侧纵坐标为三次方降温过程中等效时间大小变化的参考坐标。

图6 3种降温条件下温度随时间分布曲线Fig.6 Distribution curves of temperature with time under three cooling conditions

图7 3种降温条件的降温时间及其等效时间分布曲线Fig.7 Distribution curves of cooling time(t)and equivalent time(ξ) under three cooling conditions

取药柱内的A点为研究对象。将3种降温曲线分别输入数值计算软件Matlab编写的程序中，并选取合适的时间步进行运算，可得到相对应时间点药柱的等效模量。如直线降温中，取每变化1℃的时间为时间步，即每一步的时间为1h，温降为1℃，从而可以得到降温时间段内100个时刻点药柱的等效模量，现选取其中的一些点绘制在图8中。当阶跃温度取的越小，时间步就越短，得到的等效模量也就越精确。同样地，可求出其他两种降温条件下药柱在不同时间点的等效模量，也选取一些点绘制在图8中。然后，基于线黏弹性本构模型应用有限元软件ANSYS WORKBENCH分别对3种降温条件下药柱的结构完整性进行数值模拟计算，得到不同降温条件下不同时刻A点的等效应力和等效应变，从而求出各个时刻药柱的等效模量，其分布情况如图8所示。

图8 3种降温条件下两种评估方法的等效模量分布Fig.8 Distribution of equivalent modulus obtained by two evaluation methods under three cooling conditions

将利用基于本研究提出的评估方法计算得到的等效模量和利用有限元模拟计算得到的等效模量进行对比，由图8可知，两种计算方法得到的等效模量基本重合，从而证明了固化降温过程中药柱等效模量快速评估方法的准确性。

3.1.3 固化降温过程中药柱结构完整性的快速评估

基于线弹性本构模型应用有限元分析软件ANSYS WORKBENCH，通过输入各温度下相应的等效模量，计算任意稳态温度下药柱的等效应力和等效应变。分别对恒定温度10℃和 -40℃下药柱的应力、应变进行稳态分析，得到了两种温度载荷下药柱的等效应变分别为0.096252和0.17801。结合初始温度下药柱的等效应变为零，拟合出该药柱的温度应变系数St1为-0.0017800，St2为0.10922，因此药柱温度载荷下的等效应变方程为：

εeq(t)=-0.0017800·T+0.10922

(22)

利用该方程就可以得到不同温度下药柱的等效应变，然后根据应用Matlab计算得到的各温度下药柱的等效模量，可求出不同温度下药柱的等效应力，从而达到药柱结构完整性的评估。3种降温条件下，由该评估方法得到的药柱A点的等效应变、等效应力随时间分布如图9所示。然后，将基于线黏弹性模型应用有限元分析软件ANSYS WORKBENCH对药柱进行数值模拟计算得到的结果同样见图9。

图9 3种降温条件下药柱A点的应力、应变曲线Fig.9 Curves of von Mises strain vs. stress at point A of grain under three cooling conditions

由图9可知，在相同降温条件下，基于该快速评估方法和基于线黏弹性理论的有限元模拟计算方法得到的药柱等效应力和等效应变曲线基本重合。在计算精度方面，直线降温条件下药柱的等效应变和等效应力的最大差值分别为3.68%和3.83%；平方降温条件下药柱的等效应变和等效应力的最大差值分别为4.60%和4.01%；三次方降温条件下药柱的等效应变和等效应力最大差值分别为3.68%和4.74%。综合以上，3种降温条件下对药柱进行完整性分析时，应用快速评估方法和有限元模拟计算方法得到的药柱等效应变和等效应力的差值都在5%以内。在计算效率方面，根据本研究提出的理论评估方法，得到药柱在温度载荷下的等效应变方程之后，只要将药柱的降温方程输入编好的程序中，就可以得到任意降温条件下药柱等效应力和等效应变的分布；而基于线黏弹性本构模型有限元模拟计算方法，需要针对降温条件的数量，进行多次的模拟计算，计算所需时间较长。结果表明，此药柱结构完整性快速评估方法的计算精度和时效性很高。

3.2 压力载荷下药柱等效模量变化的评估

3.2.1 稳态压力载荷下药柱等效模量动态变化的评估

点火时，发动机燃烧室内部压力在很短时间内上升到发动机的工作压强为2MPa，并作用一段时间，该过程中不考虑温度对药柱的影响，忽略增压的时间，认为药柱遭受阶跃内压力载荷。已知给出了药柱在零应力温度下的松弛模量曲线，如图10所示。基于线黏弹性本构模型应用有限元软件ANSYS WORKBENCH对恒定压强2MPa下推进剂药柱的结构响应进行分析，得到不同时刻药柱A点的等效应力和等效应变，然后求得A点的等效模量，如图10所示。

图10 2MPa下A点的松弛模量和等效模量分布曲线Fig.10 Distribution curve of relaxation modulus and equivalent modulus at point A of grain at 2MPa

由图10可知，药柱的松弛模量和等效模量基本重合，压力载荷作用下可用等效模量来表示药柱的实际松弛模量。

3.2.2 点火增压过程中不同增压条件下药柱模量变化的评估

固体发动机在点火增压过程中，发动机内部压力经过约0.1s的建压时间达到峰值2MPa，然后维持平衡压强继续工作。由于建压时间短，因此，计算时不考虑烧蚀效应，且忽略建压过程中温度的变化，这里只讨论增压过程中药柱模量随时间的变化。以下分析3种增压条件，按压强与时间的函数分为直线增压、平方增压和指数增压，增压过程中压强变化函数为：

条件1： 直线增压p1(t)=20·t

(23)

条件2： 平方增压p2(t)=200·t2

(24)

条件3： 指数增压p3(t)=2·(1-e-60t)

(25)

3种增压条件下压强随时间分布曲线如图11所示。

图11 3种增压条件下压强随时间分布曲线Fig.11 Distribution curves of pressure with time under three pressurized conditions

基于线弹性本构模型应用有限元分析软件ANSYS WORKBENCH，通过改变输入的药柱弹性模量，对药柱进行稳态热结构分析，计算恒定压强1MPa下药柱的等效应变，分别取药柱的弹性模量为2和3MPa，得到不同弹性模量下药柱A点的等效应变分别为0.24732和0.16519。然后对其进行拟合，得到药柱的压力应变系数Sp1为0.24641，Sp2为0.00045502，因此药柱在压力载荷下的等效应变方程为：

εeq(t)/pi=0.24641/E(t)+0.00045502

(26)

利用该方程就可以得到不同阶跃压力下药柱的等效应变，根据公式(14)、公式(15)可求出每个时间步内压力变化产生的药柱等效应力和等效应变，然后得到各时刻药柱总的等效应力和等效应变，进而获得了3种增压条件下药柱的等效模量，其随时间分布如图12所示。为了验证评估结果的准确性，基于线弹性模型应用有限元分析软件ANSYS WORKBENCH分别对3种增压条件下药柱进行数值模拟计算，分别得到各时刻药柱A点的等效应力和等效应变，获得各时刻药柱的等效模量，其分布情况也如图12所示。

图12 3种增压条件下两种评估方法的等效模量分布曲线Fig.12 Distribution curves of equivalent modulus obtained by two evaluation methods under three pressurized conditions

将快速评估方法计算得到的等效模量和模拟计算得到的等效模量进行对比，由图12可知，两种计算方法得到的等效模量基本重合，从而证明了点火增压过程中药柱等效模量快速评估方法的准确性。

3.2.3 点火增压过程中药柱结构完整性的快速评估

将以上由药柱结构完整性快速评估方法和有限元模拟计算方法求得的各个时刻药柱的等效应力和等效应变分别绘制在图13中。

图13 3种增压条件下药柱A点的应力、应变曲线Fig.13 Curves of von Mises strain and stress at point A of grain under three pressurized conditions

由图13可知，在相同增压条件下，两种分析方法得到的等效应力和等效应变曲线基本重合。在精度方面，直线增压条件下药柱的等效应变和等效应力最大差值分别为1.48%和1.06%；平方增压条件下药柱的等效应变和等效应力的最大差值分别为1.14%和1.01%；指数增压条件下药柱的等效应变和等效应力的最大差值分别为1.93%和1.23%。综合以上，3种增压条件下对药柱结构完整性进行分析，应用快速评估方法和有限元模拟计算方法得到的药柱等效应力和等效应变之间的差值都在2%以内。在计算效率方面，快速评估方法在得到药柱的等效应变方程之后，只需将药柱的增压方程输入编好的程序中，就可以得到任意增压条件下药柱的等效应力和等效应变。因此，此药柱结构完整性快速评估方法具有很高的计算精度和时效性。

4 结 论

(1)建立了固化降温和点火增压动态载荷作用下推进剂药柱等效模量的理论评估方法。具体根据温度和压力载荷加载历程进行分段，基于波尔兹曼叠加原理计算分段载荷对药柱应力、应变产生的叠加响应，推导出了固化降温和点火增压过程中推进剂药柱等效模量的计算公式。

(2)提出了温度应变系数和压力应变系数的概念，建立了动态载荷工况下药柱等效应力和等效应变的计算模型。温度应变系数和压力应变系数可通过对有限元模拟计算的结果进行拟合得到，其可作为药柱本身的材料参数，不管在何种温度和压力载荷工况作用下，其温度和压力应变系数始终不变。

(3)验证了动态模量评估方法和药柱等效应变、等效应力计算方法的准确性。通过与基于线黏弹性理论的模拟计算方法得到的药柱内部危险点位置的等效应力和等效应变进行对比，得到药柱等效应力和等效应变之间的差值都在5%以内，证明了该快速评估方法的可行性。

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