基于Pythagorean犹豫模糊集相似测度的多属性决策方法

缪森林，张俊芳，吴 越，王 熠

(1.安徽大学 经济学院，安徽 合肥 230601；2.安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)

自ZADEH[1]首次提出模糊集的概念，学者对其进行了广泛而深入的研究。之后，保加利亚学者ATANASSOV[2]在模糊集的基础上，提出了直觉模糊集，直觉模糊集同时考虑了隶属度、非隶属度和犹豫度的信息，这引起了许多学者的关注和研究，并取得了丰硕的成果[3-5]。基于以上研究，YAGER等[6]又提出了Pythagorean模糊集，定义其隶属度与非隶属度平方和小于等于1，拓展了模糊集的应用范围并解决了很多模糊决策问题[7-10]。为了充分应用Pythagorean模糊集，刘卫锋等[11]将犹豫模糊集[12]和Pythagorean模糊集相结合，提出了Pythagorean犹豫模糊集,在考虑支持、不支持和中立3个方面的同时，用可能隶属度和可能非隶属度对决策进行全面刻画，防止有效信息的缺失，并研究了基于Pythagorean犹豫模糊集的加权算术平均算子和加权几何平均算子。LIANG等[13]研究了Pythagorean犹豫模糊集的几何距离及TOPSIS法在多属性决策中的应用。

基于模糊集的相似性测度也是学者们研究的热点。如罗敏等[14]将泰尔不等系数[15]应用到区间直觉模糊集的相似性测度中，并用以确定属性权重；吴婉莹等[16-17]研究了相关系数公式在对偶犹豫模糊集多属性决策中的应用。

笔者在前人研究的基础上，提出了几种基于Pythagorean犹豫模糊集的相似性测度，用以解决Pythagorean犹豫模糊环境下的多属性决策问题。首先，笔者采用最小公倍数拓展法对Pythagorean犹豫模糊集的隶属度(非隶属度)进行规范化处理；其次，定义4种相似性测度，将其推广到加权相似性测度，并探讨其相关性质；最后，给出基于相似性测度的Pythagorean犹豫模糊集多属性决策方法，并将决策方法应用到软件开发项目的选择中，验证其可行性。

1 预备知识

定义1设X为论域，则称M={|x∈X}为X上的一个犹豫模糊集，UM(x)表示X上元素x属于M的所有可能隶属度组成的集合。其中，对于∀x∈X，有uM(x)∈UM(x)，称uM(x)为元素x属于M的隶属度。

定义4设m是任意一个Pythagorean犹豫模糊元，则其得分函数和精确度函数分别定义如下：

(1)

(2)

式中：#Um为Pythagorean犹豫模糊元隶属度集合Um中隶属度的个数；#Vm为Pythagorean犹豫模糊元非隶属度集合Vm中非隶属度的个数。

2 基于Pythagorean犹豫模糊集的相似性测度

2.1 最小公倍数拓展法

在Pythagorean犹豫模糊集中也存在类似的情况，但对于同一决策，持有不同心态的决策者有不同的态度，为减小由主观因素引起的误差，笔者采用最小公倍数拓展法解决此类问题。

2.2 Pythagorean犹豫模糊集相似性测度

定义6给定任意两个Pythagorean犹豫模糊集M1={|xj∈X}、M2={|xj∈X}，定义以下相似性测度：①基于Lance距离的Pythagorean犹豫模糊集相似性测度如式(3)所示；②基于绝对值距离的Pythagorean犹豫模糊集相似性测度如式(4)所示；③基于泰尔不等系数的Pythagorean犹豫模糊集相似性测度如式(5)所示：④基于相关系数的Pythagorean犹豫模糊集相似性测度如式(6)所示。

ρA(M1,M2)=

(4)

ρT(M1,M2)=

(5)

ρC(M1,M2)=

(6)

其中，gj为经最小公倍数拓展后隶属度的个数；fj为经最小公倍数拓展后非隶属度的个数。

定理1设M1、M2是论域X上的两个Pythagorean犹豫模糊集，令ρ代表定义6中提到的4种相似性测度，那么ρ则满足以下3条性质：①ρ(M1,M2)=ρ(M2,M1)；② 0≤ρ(M1,M2)≤1；③ 当M1=M2时，ρ(M1,M2)=1。

2.3 Pythagorean犹豫模糊集加权相似性测度

(7)

ρwA(M1,M2)=

(8)

ρwT(M1,M2)=

(9)

ρwC(M1,M2)=

(10)

定理2设M1、M2是论域X上的两个Pythagorean犹豫模糊集，令ρw代表定义7中提到的4种加权相似性测度，则ρw满足以下3条性质：①ρw(M1,M2)=ρw(M2,M1)；② 0≤ρw(M1,M2)≤1；③当M1=M2时，ρw(M1,M2)=1。

3 决策应用

3.1 决策方法

随着社会经济及科技的发展，决策问题变得比之前更为复杂，如何选取最优方案引起许多学者的关注。在解决模糊多属性决策问题的过程中，Pythagorean犹豫模糊集不仅考虑了隶属度和非隶属度，更重要的是还描述了隶属度与非隶属度和大于1但其平方和小于等于1的情况。因此基于Pythagorean犹豫模糊环境下的决策方法对于决策理论和决策实际均有非常重要的意义。

相似性测度是衡量模糊集的重要工具，用来评价任意两个事物之间相同程度的大小，在数学、统计学和模式识别等领域中有深入的研究。近年来，相似性测度在多种模糊集中得到了充分应用，笔者基于Pythagorean犹豫模糊集，提出4种加权相似性测度，用以解决现实中的多属性决策问题。

Pythagorean犹豫模糊多属性决策方法的步骤为：①规范化处理决策矩阵。利用最小公倍数拓展法对决策矩阵进行规范化，并对处理后集合中的元素进行降序排列；②确定正负理想点。取M+={|xj∈X}为正理想点，M-={|xj∈X}为负理想点；③计算相似性测度。利用上述4种Pythagorean犹豫模糊集加权相似性测度公式，计算各个方案与正负理想点的相似性ρw(Mi,M+)，ρw(Mi,M-);④计算贴近度并对方案进行择优。利用式(11)计算贴近度T(Mi)，T(Mi)越大则表示方案越优，通过比较其贴近度的大小，对方案进行排序和择优。

(11)

3.2 案例分析

某公司拟开发4个软件，现有4种不同的软件项目ai(i=1,2,3,4)可供选择，决策者分别从技术可行性(c1)、操作可行性(c2)、经济可行性(c3)3个属性对4个项目进行评价，且已知属性权重向量W=(0.7,0.2,0.1)T。该公司结合3个属性给出了针对4个软件开发项目的评价，得到Pythagorean犹豫模糊决策矩阵O=(αij)4×3，其中αij表示基于属性cj对项目ai的Pythagorean犹豫模糊元。

(1)将决策矩阵O规范化处理,得到矩阵O′：

(2)确定正负理想点。将M+={|xj∈X}作为正理想点，M-={|xj∈X}作为负理想点。

(3)利用式(7)计算各个方案与正负理想点的加权相似性测度，结果如表1所示。

表1 基于Lance距离计算各方案与正负理想点的加权相似性测度

(4)利用式(11)计算各方案与正负理想点的贴近度，得到T(M1)=0.603 5、T(M2)=0.839 4、T(M3)=0.348 6、T(M4)=0.851 2。所以a4≻a2≻a1≻a3，选择第四种软件开发项目。

为了验证所提出相似性测度的科学有效性，利用式(8)～式(10)计算所有方案和正负理想点的加权相似性测度，得到的贴近度如表2所示。

表2 ρwA、ρwT和ρwC计算得到的贴近度

式(8)～式(10)相似性测度计算的贴近度满足T(M4)>T(M2)>T(M1)>T(M3)，从而a4≻a2≻a1≻a3，4种基于Pythagorean犹豫模糊集的相似性测度公式，计算得出的排序与择优的结果均相同。因此，该实例验证了通过距离或不等系数定义相似性测度的可行性。

3.3 与现有方法的比较

笔者首先通过最小公倍数拓展法对Pythagorean犹豫模糊集进行规范化处理，相比于文献[13]中的悲观、乐观原则而言，笔者方法可以减小由于决策者主观因素引起的误差，提高了决策结果的精确度。在此基础上，笔者定义了几种基于Pythagorean犹豫模糊集的加权相似性测度，并运用TOPSIS法对各属性方案进行排序和择优，得到的方案优劣结果为a4≻a2≻a1≻a3，即第四种方案最好，第三种最差。通过运用文献[13]所定义的加权几何距离法，计算各方案和正负理想点的贴近度，其结果为：T(M1)=0.464 0，T(M2)=0.585 0，T(M3)=0.336 0，T(M4)=0.598 6，可得排序结果a4≻a2≻a1≻a3，与笔者得出排序结果是一致的。

综上所述，相比于文献[13]，笔者不仅降低了决策过程中的误差，而且还分别从几何角度和统计学角度分别定义了相似性测度，使决策方法更加全面，适用性更广。

4 结论

笔者首先介绍了最小公倍数拓展法，将所得Pythagorean犹豫模糊集进行规范化处理，以此解决了多个Pythagorean犹豫模糊元中隶属度个数或非隶属度个数不相同的情况；其次，提出了4种加权相似性测度方法，并探讨了以上几种加权相似性测度的性质；最后，通过实例验证了4种相似性测度在Pythagorean犹豫模糊集多属性决策问题的可行性，并通过与现有决策方法进行比较，验证了笔者提出的决策方法是科学有效的。

参考文献：

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