高中数学排列组合解题技巧探究

高冀骁

在高中数学当中，排列组合就是其中需要学习并掌握的重要知识点。其中，排列组合问题也对解决数学概率计算中所遇到的难点有着关键性作用。有许多的排列组合在表面上看起来通俗易懂，但是在实际的应用当中，排列组合问题运用于非常广阔的实际当中，并具有灵活多变的特点，并且所能涉及到各种各样的题型，让我们学生在进行学习的时候难以掌握其中的规律。随着排列组合问题在近些年的高考当中被考中的概率越来越高，所占的分数值比重也是逐年上涨，因此为了能够让我们知道如何运用方法进行正确的解题思路，提升在学习当中的解题能力，本文就专门针对排列组合问题的答题技巧进行了分析。

1 通晓透彻辨析排列组合的意义

要想将排列组合的考试题在最短的时间内用最简单的方法做出正确答案，就要求我们能够就其中排列组合的不同做出正确的区分，必须要知道使用哪种解题思路才能得出正确答案。

要知道，所谓的排列，具体指的是从一定的元素当中拿出其中特定的元素数目来进行相关排序并且组合却是一定元素中所拿出的特定的元素数目，这是不需要对其顺序进行考虑的。排列组合当中的关键点就是根据题目所列出的要求，按照要求进行排列组合即可，最终得到可能会出现情况的数目。排列是有顺序的，但是组合是没有顺序的。所以当我们在进行解题的时候，要先分清楚题目到底是哪一种情况，这也是解题当中的关键前提，如果连这点都弄不明白的话，那么这个题目的正确答案就将无法被寻找出来。

2 排列组合当中的解题类型以及具体解题方法

2.1捆绑型-捆绑法

如果在土木当中会出现要求把几种元素按照相关要求将它们放在一起的时候，；那么这就属于捆绑型的题目类型。这个时候就能够直接采捆绑法对题目进行解析。具体的做法是把要求一直都在一起的几个重新组合成一个新元素，并将在将这个新元素和其他的元素一同根据题目的具体要求进行排列组合。在一些时候，也要注意针对这个新元素的内部进行排列组合，出现这种情况，就要根据题目的具体要求进行具体分析具体论证。例如，某个班级当中的4名男生和2名女生组成一个排，女生就必须被要求排列在一起，在这样的情况下那么会有多少种排法，这也是针对一个队伍排列导向的问题，排队的时候也是要对前后次序进行考虑的。又是因为其中的关键条件是女生必须要被排在一起，所以可以将女生当作例外，意思就是说，将两个女生看作是同一种元素，然会在和5个男生进行排列，所以经过计算也就产生了A66种排列方法。而且女生内部有A22种排列方法，所以总共就会产生A66A22=1440种各不相同的方法。

2.2不相邻型-插空法

所谓插空法，具体指的是针对那些题目要求，其中最少有两个元素是不能相邻的问题的解析方法。在对这种不相邻问题进行解析的时候，我们首先需要做的就是将没有任何条件限制的元素进行排列，然后再将题目限制条件的元素拿着顺序穿插到那些没有条件限制的元素当中。在此就举一个简单的例子，例如一个公司要进行合影纪念拍照，要求一排总共是站成12个人，其中8人是公司普通员工，4人是公司部门经理、现在就要求经理必须要站在职员中间，并且经理和经理还不能挨着站，要求计算出总共能够有多少种的站队方法。这个例子就是典型的不相邻问题的具体论证。要对这个难题加以解决，这个时候就可以采用插空法来进行对应解题。首先来说，通过分析可以得出，在这个问题上，并没有针对职员的站法有任何的限制，所以就可以先对这8名员工进行排列，通过得到A88种站队的方法，然后再将请外被条件与所限制的经理安插在员工里面。要注意，此刻的员工之间共同有7个位置可以让4个经理任意的穿插站列进去，那么就有A47种站法，所以在这些总共加起来就有A88A47种的站法。

2.3插班法

一些排列组合的问题相对来说比较抽象，我们在对这些问题进行具体解决的时候需要耗费大量的时间进行摸索。此刻我们就可以将思路进行转变，换一种角度其考虑问题的解决途径，可以化繁为简，将复杂的问题简单化。

举例说明，某年级的高三总共有8个班级组成，学校要进行一个10人研讨会，要求每个班级最少都得派出一名学生进行参加，如果照这样进行计算，会有多少种分配方法。要是对这道题目进行直接考虑，就会让人有种瞬间摸不着头脑的感觉。但是这个时候，如果能够把这个问题的思维方式来回的进行一下转变，就会让人瞬间寻找到最好的解决途径，豁然开朗。在对这个问题进行考虑的时候，首先可以将10个球分成8份，要求得出有多少种分法，如此一来就会将问题变得简单得多。可以将这10个黑球按照顺序排成一整排，在9个空蛋黄里面穿插进7个模板，那么最终下来就会得出C79种的解题方法。

2.4正难测反法

在面对一些排列组合问题的时候，可以先顺着题目所描述的思路进行分析往往会产生比较困难的情况，但是如果从反面的情况进行分析的时候就会发现题目反而会变得很简单一些。那么我们在做这一类题型的时候就，就可以先在它的反面进行考虑，先找到在解题过程中不需要对限制条件进行考虑的方法数，再将其中那些不符合相关条件的方法数从中减去，得到了的就是最准确的正确答案。举例说明，将3.4.5.6这四个数字组合成一个没有重复数字并且其中2.3是不相邻的四位数，要求出对于这个四位数的排列到底有多少种方法。在这里我们就先不对其他限制性条件进行考虑就可以得到2.3.4.5这四个数字能够组成其中没有重复数字的方法经过精准计算总共是有24种。在这24种四位数当中，2.3的位置顺序只有两种情况，即相邻和不相邻。因此但凡是所有2.3相邻的情况都是和相关要求不符合的。并且我们还可以得出这样的四位数总共是有12个，那么这总共24种方法里，减去上述的这些，剩下的就是完全符合条件的四位数。也可以这么说，总共有24-12=12种满足要求的四位数。

2.5定序问题

在对排列组合问题进行解答的时候，通常还会出现一些条件，要求某个事物要排列在另外一个或者是多个事物的前面，并通过对其中一部分顺序的确定来增加题目的解题难度。要解决这类问题，通常情况下分好几次进行一步一步的解答。例如，将五个人站在一起排成一排，要求1号站在2号的前面，4号要站在5号的前面，然后让得出这种排序的方法有多少种。要对这个题目进行解决，第一步要做的就是将其他条件忽视掉并求出五个人排成一排总共是有A55种的排列方法。在对1号和2号的情况进行考虑得出排列方法有2種，4号和5号的排列方法有2种，所以说总共就有30种符合排列的方法。

总之，在我们平常所学到的排列组合问题的解题方法，它们之间其实都是有共通性的，并不是一个问题只能用一种特定的解题方法。针对其中一些比较复杂难度系数大的题型，可以采取多种方法相互合作的形式才能解决。排列合租也是高中数学学习阶段的一个重要知识点，因为题型比较复杂多变，解题的思路也并不是一蹴而就的，这就需要我们作为学生在对这些问题进行解题的时候，首先要做的就是具体现象具体分析具体解决，只要认真总结学习难点，就会发现其实这些难题里面也是有着共通点和技巧的。只要我们通过学习掌握了其中的解题思路和技巧，那么在做到一些比较复杂的排列组合问题的时候，自然也就手到擒来，迎刃而解了。

（作者单位：易县中学）