浅谈数学解题中新知识的生成

游庆灯 王娟

著名科学家波普尔认为，人类知识的增长实际上是经由“猜想”和“反驳”的途径从“老问题”到“新问题”的过程。建构主义学习观与此有异曲同工之妙。按照建构主义思想，知识的学习是认知者在原有认知基础上小断构建的过程.在被动接受的数学学习中，因为缺少个人的思维建构，学习者往往只记住一些概念、原理，或者只是一些字面上的理解，并没有真正理解它们的含义，只能应用于课本上的一些典型习题等。建构性的学习则要求学生对知识进行创造性的思维构造，这意味着学习者必须依据自己已有的知识和经验，对知识作出明确的辨别，对有关的现象用自自己的语言对其重新编码，作出合理的推断和预测，作出自己的解释、判断。也就是对知识内容和原有认知结构的适应性作出自己的评价和调整，发现、概括、提炼其中具有规律性或一般性新信息，并能把这种自己生成而获得的新信息运用与解决具有一定复杂性的问题。可见，建构主义观下学习者自己思维构造的知识意义，正是学习者生成个体知识，也就是个人的“生成性知识”。

下面笔者从对一道传统的自转问题的解题探究来谈知识的生成。

例如，图1，⊙O的周长为 cm，⊙A、⊙B的周长都是 cm，⊙A在⊙O内沿着⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿着⊙O滚动，⊙A、⊙B各需转动几周才能回到原来的位置？

这个例题出自于人教社1994年编写的九年义务教育教材初中《几何》第三册第207页的“想一想”，现在，虽然各地已使用了新课标教材，但此类问题时常在中考题目中出現，几年来，许多老师和学生对题目的解答进行了探究，下面是一种解法：

解：如图2，设小球A的初始位置与⊙O内切于点C，沿⊙O内壁滚动一周后与⊙O内切于点D.显然⊙A的周长与⌒CD的长相等.点A移动到点 ，当小球A沿着⊙O滚动时，点A到圆心O的距离始终不变，所以点A移动到点 经过的是一条弧.由两圆相切连心线必过切点，可知：C、A、O三点共线，D、 、O三点共线，所以⌒CD和⌒AA1所对的圆心角相等，设为 .易得⌒CD长为 ， ，解得 .⌒AA1的长为 ，这里因两圆相内切，圆心距等于两圆的半径之差，所以 .因此，⌒AA1的长为 .圆心A回到原位，其轨迹圆的周长为 ，所以小圆A转动的周数为： （周）。

同理，如图3，可求出圆心B回到原位，小圆B转动的周数为： （周）.故两小圆都需转动5周回到原来的位置。

沿内外壁滚动都是5周回到原来的位置，事实果真是这样吗？学生可能会根据自己的经验提出质疑。

如图4，由于⊙A的周长与⌒CD的长相等，设⊙A上的有向线段→AP的端点P与点C重合，则⊙A与⊙O再次相切于点P时，点P与点D重合，不妨将此时点P的位置记为 .显然有向线段→AP还没有旋转 ，因此⊙A并没有滚动一周.因而上述“两小圆都需转动5周回到原来的位置”的结论显然是错误的。

由于有向线段→AP还没有旋转 ，⊙A还要沿⊙O的内壁继续滚动观察至⊙A2处，如图4，当 ∥ 时，有向线段→AP才旋转完 ，⊙A才转了一周.现在我们来计算⊙A转了一周时，圆心A经过的弧长，不妨设 ，则 .从⊙A滚动的过程不难发现，⌒DE的长度和⌒P2E的长度相等，所以⌒CE的长等于⊙A的周长与⌒P2E的长度之和，因此， ，解得 . （周）.所以小圆A转动4周后回到原来的位置。

类似地，如图5，设⊙B的初始位置与⊙O外切于F，有向线段→BQ为圆⊙B的一半径，在初始位置时，Q与F重合，O、B、F在一直线上，如图7，当⊙B沿外壁滚动时，→BQ与随之转动，当转至 位置时， ∥ ，⊙B已转了一周.而此时⊙B在⊙O上还未滚完一个⊙B的周长.设继续旋转到⊙B与⊙O外切时于点H时，⊙B在⊙O上刚好滚完一个⊙B的周长.此时 、 、O三点在一直线上.这时设 ，则 .从⊙B滚动的过程不难发现，⌒GH的长与⌒GQ1的长相等，所以⌒FG的长等于⊙B的周长与⌒GQ1的长度之差，因此， ，解得 . （周）.所以小圆B转动6周后回到原来的位置。

上面已探究了动圆在静止不动的圆上滚动的自转周数问题。由此可见，数学生成性知识是对数学知识的提炼和概括，是学习者对自身已有数学知识进行深加工的产物，是一种自我体验、反思、领悟和提高的结果。因此它在很大程度上具有个人思维色彩。是学习者借助自身的数学理解力、判断力、批判力和洞察力所“创造”出来的个性化的数学知识。它不是对自身已有数学知识的简单重复，而是学习者对已经建立起来的内部认知结构的反思、调整、改进、重组和超越，这是一种具有积极意义的深刻的内部自省活动。这一自省活动的直接产物就是对已有数学知识的新认识，新体验和新见解，是个人内部生成的具有更高思维层次的‘新”知识。体现在解题中，这样的生成性知识不仅能缩短解题长度，节约解题所需的时间和精力，而且也是实现解题创新的一种手段。