二次函数在高中数学应用的浅析

陈紫翔

摘要：高中学习阶段，将会对二次函数进行更加系统的，全面的，深入的学习。本文从二次函数本身的概念、性质、图像到具体的题目中的体现和解答，通过概念阐述与具体题目相结合的方式，对二次函数相关知识进行分析。

关键词：二次函数；高中数学；“二次”应用

二次函数作为最基本的非线性函数，基本初等函数中我们在高中学习中接触最多的，也是串联起我们整个高中数学学习的一个必不可少的纽带。二次函数，衍生出来的二次不等式，二次方程也都是非常重要的。“三个二次”之间的关系千丝万缕，十分微妙。因此，熟练掌握二次函数的概念、性質、图像以及如何应用在题目解答中的，十分重要，也是我们能够举一反三，活学活用的前提和基础条件。

一、二次函数的概念和性质

一般地，自变量x和因变量y之间存在关系如：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且二次函数的开口方向取决于a。当a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。|a|的大小会影响二次函数开口的大小，|a|越大开口越小，反之|a|越小开口越大。），则称y为x的二次函数。二次函数最高次数必须为2， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

倘若等式左边y的值等于0，那得到一个二次方程。这个方程的解称作二次函数的零点。

二、二次函数的图像

（一）二次函数基本图像

在平面直角坐标系中，作二次函数y=ax2+bx+c的图像。我们可以看出，不特别规定定义域的取值范围时，二次函数图像就是一条永无止境的抛物线。我们可以通过平移抛物线y=ax2的图像得到二次函数y=ax2+bx+c所以对应的图像。〖JP〗

（二）二次函数的轴对称性

二次函数图像是轴对称图形。从二次函数的一般式中可得到，对称轴是直线x=[SX（]b[]2a[SX）]。

对称轴与二次函数图像唯一的交点就是二次函数图象的顶点。特殊情况：b=0时，y轴（即直线x=0）是对称轴。

（三）决定二次函数位置的因素

在二次函数的一般式中，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

我们可以记忆为：左同右异。即当对称轴在y轴左侧时，二次项系数a与一次项系数b同号（ab>0）；当对称轴在y轴右侧时，二次项系数a与一次项系数b异号（ab<0）。

注：一次项系数b有其自身的几何意义。在二次函数图像与y轴的交点处，该二次函数图像切线的函数解析式（所对应的一次函数）的斜率k的值。

（四）函数作图

二次函数的作图方法有描点法和五点作图法（五点草图法）。五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。顾名思义也就是通过五个特殊的点（顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点），来确定函数图像。

三、二次函数的应用

例1.设a为实数，函数f（x） = x2+|xa|+1，x∈R，

（1）讨论函数f（x）的奇偶性；

（2）求函数f（x）的最小值。

思路点拨：该题所给函数含有绝对值，需要去掉绝对值，将其转化为分段函数，分段求解。

解：（1）当a=0时，f（x）=x2+|x|+1， 函数f （x）是在定义域x∈R上的偶函数；

当a≠0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+|2a|+1，f（x）≠f（a），

此时函数f（x）为非奇非偶函数；

（2）[ZK（][XCimage149.tif；%50%50，JZ]=[XCimage150.tif；%50%50，JZ][ZK）]

当[XCimage151.tif；%50%50，JZ]时，[XCimage152.tif；%50%50，JZ]，此时，[XCimage153.tif；%50%50，JZ]；

当[XCimage154.tif；%50%50，JZ]时，[XCimage155.tif；%50%50，JZ]

当[XCimage156.tif；%50%50，JZ]时，[XCimage157.tif；%50%50，JZ]

例2.已知函数f（x）=x2+2ax+1a，在区间[0，1]上有最大值2，求a的值。

解：由函数f（x）=x2+2ax+1a，得对称轴x=a，

①若a≤0，则f（x）在[0，1]上为减函数，有f（x）max=f（0）=2，

由[JB（{]a≤0f（0）=2[JB）][JB（{]a≤01a=2[JB）][JB（{]a≤0a=1[JB）]a=1；

②若0

由[JB（{]0

[JB（{]0

或a=[JB（{]0

1[SX（][KF（]5[KF）][]2[SX）][JB）]，此时a无解；

③若a≥1时，f（x）在[0，1]上为增函数，有f（x）max=f（1）=2，

由[JB（{]a≥1f（1）=12+2a+1a=2[JB）][JB（{]a≥1a=2[JB）]a=2；

综上所述，由①②③可知，当函数f（x）=x2+2ax+1a在区间[0，1]上有最大值2时，a的值为1或2。

四、总结

纵观高中数学的学习，以及高考题目中所体现出来的对学生能力的考查。二次函数可以说是高中数学的重中之重，从二次函数最基本的概念，性质，图像，到二次函数根的分布，二次方程的解的个数，二次不等式的取值范围，甚至于解析几何中二次函数与直线与圆锥曲线的关联。这些无不说明，二次函数在高中数学中的地位和作用，因此学会和用好二次函数对于我们的学习和考试来说，任重而道远。

参考文献：

[1]余红兵.“三个二次”的应用[J].数学教学通讯，2005，（235）：92.

[2]谢永香.二次函数在高中数学中的应用浅探[J].数学·教学经纬，2014，（182）：30.

[3]李长清.浅谈二次函数在高中阶段的应用[J].新教师教学，2011，（3）：101.