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二次函数在高中数学应用的浅析

2018-05-14陈紫翔

科技风 2018年19期
关键词:二次函数高中数学应用

陈紫翔

摘要:高中学习阶段,将会对二次函数进行更加系统的,全面的,深入的学习。本文从二次函数本身的概念、性质、图像到具体的题目中的体现和解答,通过概念阐述与具体题目相结合的方式,对二次函数相关知识进行分析。

关键词:二次函数;高中数学;“二次”应用

二次函数作为最基本的非线性函数,基本初等函数中我们在高中学习中接触最多的,也是串联起我们整个高中数学学习的一个必不可少的纽带。二次函数,衍生出来的二次不等式,二次方程也都是非常重要的。“三个二次”之间的关系千丝万缕,十分微妙。因此,熟练掌握二次函数的概念、性質、图像以及如何应用在题目解答中的,十分重要,也是我们能够举一反三,活学活用的前提和基础条件。

一、二次函数的概念和性质

一般地,自变量x和因变量y之间存在关系如:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且二次函数的开口方向取决于a。当a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。|a|的大小会影响二次函数开口的大小,|a|越大开口越小,反之|a|越小开口越大。),则称y为x的二次函数。二次函数最高次数必须为2, 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

倘若等式左边y的值等于0,那得到一个二次方程。这个方程的解称作二次函数的零点。

二、二次函数的图像

(一)二次函数基本图像

在平面直角坐标系中,作二次函数y=ax2+bx+c的图像。我们可以看出,不特别规定定义域的取值范围时,二次函数图像就是一条永无止境的抛物线。我们可以通过平移抛物线y=ax2的图像得到二次函数y=ax2+bx+c所以对应的图像。〖JP〗

(二)二次函数的轴对称性

二次函数图像是轴对称图形。从二次函数的一般式中可得到,对称轴是直线x=[SX(]b[]2a[SX)]。

对称轴与二次函数图像唯一的交点就是二次函数图象的顶点。特殊情况:b=0时,y轴(即直线x=0)是对称轴。

(三)决定二次函数位置的因素

在二次函数的一般式中,一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

我们可以记忆为:左同右异。即当对称轴在y轴左侧时,二次项系数a与一次项系数b同号(ab>0);当对称轴在y轴右侧时,二次项系数a与一次项系数b异号(ab<0)。

注:一次项系数b有其自身的几何意义。在二次函数图像与y轴的交点处,该二次函数图像切线的函数解析式(所对应的一次函数)的斜率k的值。

(四)函数作图

二次函数的作图方法有描点法和五点作图法(五点草图法)。五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。顾名思义也就是通过五个特殊的点(顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点),来确定函数图像。

三、二次函数的应用

例1.设a为实数,函数f(x) = x2+|xa|+1,x∈R,

(1)讨论函数f(x)的奇偶性;

(2)求函数f(x)的最小值。

思路点拨:该题所给函数含有绝对值,需要去掉绝对值,将其转化为分段函数,分段求解。

解:(1)当a=0时,f(x)=x2+|x|+1, 函数f (x)是在定义域x∈R上的偶函数;

当a≠0时,f(a)=a2+1,f(a)=a2+|2a|+1,f(x)≠f(a),

此时函数f(x)为非奇非偶函数;

(2)[ZK(][XCimage149.tif;%50%50,JZ]=[XCimage150.tif;%50%50,JZ][ZK)]

当[XCimage151.tif;%50%50,JZ]时,[XCimage152.tif;%50%50,JZ],此时,[XCimage153.tif;%50%50,JZ];

当[XCimage154.tif;%50%50,JZ]时,[XCimage155.tif;%50%50,JZ]

当[XCimage156.tif;%50%50,JZ]时,[XCimage157.tif;%50%50,JZ]

例2.已知函数f(x)=x2+2ax+1a,在区间[0,1]上有最大值2,求a的值。

解:由函数f(x)=x2+2ax+1a,得对称轴x=a,

①若a≤0,则f(x)在[0,1]上为减函数,有f(x)max=f(0)=2,

由[JB({]a≤0f(0)=2[JB)][JB({]a≤01a=2[JB)][JB({]a≤0a=1[JB)]a=1;

②若0

由[JB({]0

[JB({]0

或a=[JB({]0

1[SX(][KF(]5[KF)][]2[SX)][JB)],此时a无解;

③若a≥1时,f(x)在[0,1]上为增函数,有f(x)max=f(1)=2,

由[JB({]a≥1f(1)=12+2a+1a=2[JB)][JB({]a≥1a=2[JB)]a=2;

综上所述,由①②③可知,当函数f(x)=x2+2ax+1a在区间[0,1]上有最大值2时,a的值为1或2。

四、总结

纵观高中数学的学习,以及高考题目中所体现出来的对学生能力的考查。二次函数可以说是高中数学的重中之重,从二次函数最基本的概念,性质,图像,到二次函数根的分布,二次方程的解的个数,二次不等式的取值范围,甚至于解析几何中二次函数与直线与圆锥曲线的关联。这些无不说明,二次函数在高中数学中的地位和作用,因此学会和用好二次函数对于我们的学习和考试来说,任重而道远。

参考文献:

[1]余红兵.“三个二次”的应用[J].数学教学通讯,2005,(235):92.

[2]谢永香.二次函数在高中数学中的应用浅探[J].数学·教学经纬,2014,(182):30.

[3]李长清.浅谈二次函数在高中阶段的应用[J].新教师教学,2011,(3):101.

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