偏微分方程在数字图像处理中的运用

摘要：偏微分方程在数字图像处理中的运用是近几年应用数学领域发展研究的重要方向。文章在阐述偏微分方程内涵的基础上，具体分析偏微分方程在数字图像处理中的运用，旨在借助偏微分方程能够有效提升数字图像的处理成效。

关键词：偏微分方程；数字图像处理；应用

图像是获取信息的重要媒介，在科技的发展下，数字图像处理技术被人们广泛地应用到生活和社会生产中。偏微分方程是数字图像处理的一种重要技术形式，对偏微分方程应用的分析能够进一步拓展图像处理的基本思路，实现对多种数学方法的综合应用。

一、 偏微分方程概述

在图像处理领域，偏微分方程将数学方法和图像处理技术充分结合在一起，并将偏微分方程方法广泛的应用到一定空间区域内，在一个偏微分方程模型中进化图像、曲线或者曲面，通过求解这个偏微分方程能够得到理想的数字图像处理结果。

一个偏微分方程对变量求导数的最高阶数被称为偏微分方程的阶数，数字图像处理过程中需要应用二阶偏微分方程。

二、 偏微分方程在数字图像处理中的运用

（一） 偏微分方程在数字图像中的降噪应用

图像去噪最为经典的算法是高斯低通滤波器，也被人们称作是热扩散方程。但是从实际应用情况来看，高斯滤波器在降噪的过程中无法有效保持边缘性的特点。由此，在此基础上有很多学者提出了偏微分方程这一改造方式，具体应用表现在以下几个方面：

1. 打造用各向异性扩散的偏微分方程模型

学者在热传导理论基础上提出了各向异性扩散的偏微分方程图像去噪模型（P-M方程），具体如（1）所示。

2. 打造基于能量函数优化的偏微分方程去噪模型

变分原理为原始图像灰度信息打造能量泛函提供了重要支持，通过对能量泛函的优化能够在一定程度上降低图像内的噪声。

偏微分方程在数字图像降噪中的应用局限具体体现在以下几个方面：第一，偏微分方程是基于局部幾何特点的一种扩散形式，经过处理之后的图像存在块状效应。第二，高阶偏微分方程在计算的过程中含有大量不确定的参数信息，在使用的时候无法满足各类图像处理需要。第三，偏微分方程在使用的过程中仅仅局限对局部数据信息的处理，经过处理的图像信息不具备全局性的特点。

（二） 偏微分方程在数字图像分割中的应用

图像分割是图像处理和计算机视觉领域研究的重要内容，结合图像特点，图像分割是基于边界的一种分割体现，在具体分割操作的过程中应用到了多种混合分割方式，结合图像分割所使用数据工具和数学模型的不同，图像分割具体包含以下几种内容：基于聚类的图像分割方法；基于统计的图像分割方法；基于数学形态学的图像分割方法、基于偏微分方程的图像分割方法。偏微分方程在数字图像分割中的应用主要体现在蛇模型方面。蛇模型是基于能量变分的活动轮廓模型。蛇模型的应用意义不仅是提出一种新的分割方法，而且还对之前学者提出的独立分层视觉计算理论应用提出了新的应用挑战。蛇模型主要包含阐述模型和几何模型两种。其中，参数模型是应用一条阐述曲线来代表蛇模型的基本活动轮廓，之后通过最小能量函数的使用使得这条曲线能够在图像上按照一定规律进行移动，最终结合需要收缩到等待分割的目标边界上。几何蛇模型是曲线理论基础上衍变发展而来的，需要应用水平集的方法来实现。

（三） 偏微分方程在数字图像修复中的应用

图像修复是图像处理研究的重要课题，应用带有选择性扩散的保持边缘的各向异性扩散方程替代平滑滤波方程开创了偏微分方程在数字图像修复中的新应用领域。偏微分方程在数字图像修复中的应用形式具体如（2）所示。

水平集曲线能量泛函优化模型：∫|Dv|（1+curvn）dx||，vIΩ=uIαΩ

Bertalmio扩散方程：I（n+1）（i，j）=In（i，j）+ΔtInt（i，j）∈Ω∪Ω（2）

偏微分方程在数字图像修复中的应用局限表现在以下几个方面：第一，偏微分方程仅仅适合应用在自然场景图像处理中，对于一些扩散部分的数据信息是很难能够在一定时间有效恢复某些信息。因此，在处理纹理图像的时候无法保持数据信息的周期性。第二，偏微分方程模型的打造充分参考了目标区域范围内的已知信息，通过向内部信息的扩散来实现对各类数据信息的恢复。为了能够进一步改善图像处理修复效果，有学者提出了具有形态不变形的联合扩散修复模型。

三、 数字图像处理中的偏微分方程的应用意义和未来发展前景

在社会经济和科技的发展之下，数字图像处理技术得到了快速的发展，在军事、工业、农业、航空航天等多个领域都得到了应用，在广泛应用的背景下也使得工程师加强了对数字图像处理的关注。但是从数字图像处理应用发展实际情况来看，在其中没有涉及到相关数学理论，而偏微分方程在数字图像处理中的应用则是能够提升各类数字信息的处理质量，比如基于偏微分方程的去噪方式，通过扩散系统能够让模型体现出较好的光滑性特点，并确保模型能够沿着某一个方向扩散、移动。

四、 结束语

综上所述，偏微分方程是一种有效的数学处理工具，在数字图像处理领域显示出广阔的发展前景，将偏微分方程应用到数字图像处理中具有以下几个方面的现实意义：第一，能够在连续性的区域上打造模型，从而为问题的有效解决提供更多契机支持。第二，在数学研究领域上拥有丰富的偏微分方程研究理论和数值方法，在应用的过程中能够为图像处理理论的分析和计算提供重要帮助。第三，偏微分方程理论为物理学和流体力学领域的研究提供了重要参考支持。但是从实际应用情况来看，偏微分方程在使用的过程中也拥有自身的应用局限，在数字图像的处理操作上仍然存在一些需要深入思考和解决的问题。

参考文献：

[1]张茗屋，陈胜.数字图像处理中的偏微分方程去噪模型的研究[J].信息技术，2016，40（11）.

[2]白星华，BAIXinghua.数字图像处理中偏微分方程方法研究[J].淮海工学院学报·自然科学版，2016，25（1）：35-38.

[3]林振文.数字图像处理中偏微分方程的应用方式[J].北京印刷学院学报，2017，25（7）：175-177.

作者简介：

刘艳，高级讲师，新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市，新疆建设职业技术学院。