逆矩阵的几种求法

贾新芳

矩阵的逆问题是矩阵论的重要问题，矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位，矩阵和数相仿，可以运算，特别是乘法和数一样有逆运算。其定义为：令A是数域F上一个n阶矩阵，若是存在F上n阶矩阵B，使得，那么A叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫做A的逆矩阵。掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换、向量空间、欧氏空间等问题的解决有很大帮助，不同的逆矩阵可用不同的方法来求，从而达到简便、易求的目的。本文在有关矩阵知识的基础上介绍了初等变换法、分块矩阵法等各种求逆矩阵的方法。

定义：令A是数域F上一个n阶矩阵，若是存在F上n阶矩阵B，使得，那么A叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫做A的逆矩阵。

1 用初等变换求逆矩阵

1.1 初等行变换

命题7可逆矩阵经过初等行变换化成的行简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵

命题8 一个矩阵是可逆矩阵的充分必要條件是：它可以表示成一系列初等矩阵的乘积

事实上，因为可逆，由命题8，可以表示成初等矩阵 ，…的积

于是  （4）

因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，所以（4）式表明，可以通过对的行施行行初等变换将化为单位矩阵，用右乘（4）式两端，得（5）

比较等式（4）和（5），我们看出以下求逆矩阵的方法：在通过行初等变换把可逆矩阵化为单位矩阵时，对单位矩阵施行同样的初等变换，就得到的逆矩阵，由此得到求逆矩阵的第二种方法，意思是：在矩阵的右边写上与同级的单位矩阵，构成一个矩阵，然后对进行一系列初等行变换，把它的左半部分化成单位矩阵，则与此同时，它的右半部分被化成的矩阵就是

1.2 初等列变换

由初等行变换，同理可作初等列变换。如果n阶可逆矩阵，作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩阵化为单位矩阵，则同时化单位矩阵，则同时化为了，即

利用初等变换求逆矩阵免去了计算，所以较高阶的矩阵求逆矩阵常用此方法。

1.3混合采用初等行列变换

如果n阶矩阵可逆，列出三个矩阵如下：， ，  （为单位矩阵），对这三个矩阵施以变换，当对作一次行变换便对左边的矩阵作同样的行变换，每对作一次列变换，便对右边的矩阵作同样的列变换，最后可行，，，所以此方法在计算上并不比前种简单，但它把平常的单纯的一种变成了两种变换同时并用，突破了常规法，是对有些教科书中所说的不能即用行初等变换又用列初等变换求逆矩阵的一种挑战，这种边缘方法在实际运用中并不提倡，但作为解决问题的一种方法不妨提出供读者参考。对于一些阶数较高且元素又具有某些特点的矩阵，可采用分块法求逆矩阵。

2 用分块矩阵法求逆矩阵

有些阶数较多的矩阵，用分块矩阵求逆矩阵较方便，在一般的高等代数教材上都给出了用待定法或利用分块初等矩阵来求一个可逆分块矩阵的方法，但这些方法都比较复杂，文给出了较简便的方法，即（1）对中的子块必须进行分块，使是一个分块单位矩阵;（2）把”子块作为元素”处理时，必须遵守“左行右列”的规则，即变行必须从左乘，变列必须从右乘.

有些阶数较高  ，而且形如： 的分块矩阵用分块矩阵求逆矩阵较方便，可简化计算，

这些推导公式可求出该类分块矩阵的逆矩阵;做题过程中可直接利用。

此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵，使特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用。

3 其他方法

除以上3种方法外，还可以用定义法、伴随矩阵法、Causs-Jordan 法、解方程组法、恒等变形法、Hamilton-Caley定理法、分解矩阵法等各种方法求逆矩阵，在这里就不再一一说明，如果读者感兴趣，可以自己查阅资料。

以上各种求逆方法能为我们解决各种类型矩阵的求逆，正确使用它们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题，是学习《线性代数》的必备知识，我们可以根据自己的需要选取适合的方法来处理。

（作者单位：长垣烹饪职业技术学院）