把握环节 分析现状 提高复习效率

曾中华

摘要： 高三复习中存在一种普遍现象，在对基本知识复习时，认为这些都已经学过，只是简单地重复或罗列一遍；在习题讲解过程中，重量轻质，即化大量精力和时间给学生演示问题的解答过程，轻视对问题的认识分析过程。

关键词： 知识结构现状；优化和重组知识结构；问题的阅读理解；辩证的认识问题；解题方案设计；数学表达能力

高三复习课如何上？是每个高三教师所关注的问题，任何一节课总是有教学目的和教学过程所构成的。教学实践表明：教学目的明确、教学过程中采用方法得当，是一节课成功的关键。高三复习课也不例外，虽然高三复习中最功利的做法是应试策略，但应试策略往往会使学生思维僵化，应变能力不强。同时在高三复习课中，有些教师把复习课上成习题课，让学生大量重复练习，这样做使学生的付出了很大的精力，但最后得到效果并不理想。从高考实践中可以发现，许多成绩不理想的同学并不因为缺少练习，而是不能有效组织和整理贮备知识，导致不能灵活运用所学知识，这从本质上讲是没有完整合理的知识结构，缺乏分析解决问题的能力。在高三复习课教学中怎样才能让学生形成合理的知识结构，有较强的分析问题和解决问题的能力？首先要明确把握高三数学复习过程，这个过程包括对基本知识复习与知识结构合理重组、问题的辩证认识过程、数学表达能力的培养，其次要重视在这三个环节上对学生现状进行分析。本文就是在这三个环节上研究分析学生的现状，探讨研究如何提高高三复习效率。

一、知识结构现状与复习策略

良好的知识结构应具有以下特点：全面性、深刻性、系统性、迁移性。对知识的理解首先是全面的，能知道哪些知识容易错及错误的主要原因；其次是深刻的，不仅能熟悉结论，而且熟悉知识的形成过程；同时对知识的认识应该是系统的，能够纵横之间相互有机的联系，还具有较强的把知识点迁移到具体问题的能力。

学生的知识结构又是怎样呢？高三学生虽然已对高中知识和解题方法和规律有了一定的认识，但他们对知识、方法、规律的认识往往是不深入的。因此学生的知识结构往往具有以下特点：片面性、表面性、孤立性、呆板性。

例如：在一次测验中我给学生出了如下问题：在一次抽样分析中，要抽取一个样本，分别采用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，每个个体被抽到的概率分别为 ，则 （分别用： 填空），结果有相当一部分同学填错，究其原因，学生只知道采用同一种抽样方法对每个个体被抽到的概率是相等的，明显反映出学生对这三种抽样方法不能全面系统地理解，更不能从一个高度上去认识一种科学合理的抽样方法应具备的必要条件。

例如： ， 且 ， 关于点

对称，图象如右图，求证： 。

学生对此题的虽然能从中心对称一般方法去证明，但感觉较

复杂，我引导学生从特殊情况出发思考，如果一个函数是关于原

点 对称，则此函数是奇函数，一定有 ，那

么要证明的问题是：函数 关于 对称，那么能否对 实施变换使之变为奇函数，即关于 对称呢？学生提出把函数向下平移 得到的函数 是奇函数，然后利用奇函数性质轻而易举解决了问题！从这个问题上可以看出：学生对所学的知识迁移到具体问题上的能力不强！

合理重组知识结构，提高知识应用能力的复习对策：知识是解决问题的必要工具，是考查学生能力的载体。首先重视知识点的深化与相互联系，其次要挖掘教材的内在逻辑体系，帮助学生优化和重组知识结构，同时培养学生把知识点迁移到具体问题的应用能力，使学生知识结构具有：全面性、系统性、深刻性、迁移性。对策实施方法：网络与表格结合。

二、对问题认识的现状与教学对策

G·波利亚提出的数学解题思维过程的四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段的思维实质可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。

对问题的认识是解决问题的前提，也是解决问题的关键，一个完整的认识问题的过程应包括：问题的阅读理解、辩证的认识问题、解题方案设计。解决问题的操作過程如下图：

在认识问题的各个过程中学生对问题的认识也存在很大的差异性，认识上的差异性最终导致对问题解决的差异性，即解决方法上的差异性和解决质量上的差异性。因此认真分析学生在认识问题上的现状，采取有效的策略缩小差异性，切实提高学生能力是高三复习重要的一环。

2.1 1.问题阅读理解的现状与教学对策

G·波利亚在其名著《怎样解题》中所列的“解题表”将“审题”作为解题的第一步，而审题是对命题语言的观察、分析。问题的阅读理解是解决问题的关键一步，主要包括对数学语言（主要包括文字语言、符号语言、图象语言、表格语言）的理解联系和隐含条件的发现。由于数学的高度概括性使得其抽象程度相对较高，因此学生往往对缺乏对数学语言的理解能力。

首先主要表现在各种数学语言之间相互转化相互联系的能力不强，以及对新的数学符号理解接受能力差。

例1 定义域和值域均为 （常数 ）的

函数 和 的图像如图所示，给

出下列四个命题：

（1）方程 有且仅有三个解；（2）方程 有且仅有三个解；

（3）方程 有且仅有九个解；（4）方程 有且仅有一个解。

其中正确的命题个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解答本题有些学生感觉毫无头绪，障碍所在就是不能把图象与图象、图象与符号进行有机联系和相互转换。又如：

例2（浙江2005高考理9）设 ，记 ，则 （ ）

（A）{0，3} （B）{1，2} （C）{3，4，5} （D）{1，2，6，7}

本题虽是一个选择题，却涉及符号多，仅集合符号就有六个！而且学生对两个用新符号表示的集合 的理解是解决本题的困难所在。

其次在问题的阅读理解过程中要重视隐含条件的把握，能合理把握和应用隐含条件能使解题简化。

例3：已知函数 ，问是否存在实数 ，使 的定义域和值域分别为 。

分析一：这是一题定函数在动区间上的值域问题。由于 ，按常规思路，将要按三种情况： ； ； 结合二次函数图象进行分类讨论。

分析二：因为 ，而函数的值域为 ，隐含着： ，即 。所以函数的定义域受到 的制约，函数

图象如图所示：

显然： 在 上是增函数，则题意有：

即存在实数 使函数 在定义域为 时，值域为

通过上面分析一和分析二的比较，分析二解法简单明了，省去了复杂的讨论！因此教师在讲解例题的过程中经常要抓住这一环节，培养学生仔细观察认真阅读理解问题，深刻挖掘隐含条件，这样做不仅为找到合理简单的解题思路找到突破口，而且有利于培养学生的观察能力，提高综合分析能力，增强思维的深刻性，严密性！

提高学生数学语言能力的复习对策：（1）规范教师的课堂语言：教师是主导，学生是主体，教师的数学语言表达能力的优劣，不仅影响着学生对数学知识的吸收、学习的积极性和教学效果，而且直接影响着学生对数学语言的理解能力和应用能力；（2）加强学生阅读理解能力的培养：抽象语言形象化，增强转化能力； 隐晦语言通俗化，发展分析能力；（3）文字语言数学化，提高数学建模能力；（4）及时引进或设计一些新的符号，培养学生对新符号的接受和理解能力。

2.2 2.辩证的认识问题与教学对策

辩证的认识问题就是能从不同的角度去认识同一个问题，也就是认识问题要具有灵活性和合理性。辩证的认识问题的过程是解题思维的核心，是探索解题方向和途径的积极尝试的发现过程，是思维策略的选择和调整过程，也是进行正确等价转换的过程。学生对问题的认识往往缺乏灵活性，缺乏转换的能力，不容易找到解题的突破口，解题思维易受阻。因此我在教学中特别重视培养学生对问题的辩证认识的能力，加强学生发散性思维训练和想象能力的培养。

例如：当 时，已知 分别是方程 和 的解，则

（A） （B） （C） （D）0

学生一看到此题一筹莫展，无法下手。我在讲解时重视分析我对问题的认识过程，帮助学生提高认识问题的能力，从而找到解题的突破口。如对此问题我是这样分步引导的：

第一步：问学生你能确定是什么问题——方程问题

第二步：解决此题关键涉及方程中的什么问题——方程的解

第三步：求方程的解一般用什么方法——代数方法和几何方法

第四步：如何求此题中的 ——用几何方法

这时学生就找到了解题的突破口： 就是 与 的交点， 就是 与 的交点。，然后让学生画出图形（如图），

而且直线 与直线 互相垂直，它们的交点即两曲线与 交点的中点，使使问题得到顺利解决！又如：

例如：是否存在这样的等差数列 ：它的首项为8，仅有一项 ，满足

我让学生解这个问题，结果大部分学生写出： 代入 中，得到一元二次方程： ，想利用 来判断，结果解题受阻！这个问题，虽然相关的知识点非常明确，但就是无法达到目的。我是这样引导学生的：

第一步：你能做什么——能够写出等差数列的通项： ；

第二步： 和 象什么？——象直线和圆的方程；

第三步：问题中仅有一项的含义是什么——直线和圆相切；

第四步：如何判断直线和圆相切——圆心到直线距离等于半径。

因此，学生在此启发下，引导学生得出如下解法：

解：设等差数列 符合要求，则 必须满足： 和 ，其中 为公差。

设直线 ，圆C： 。则点 必是直线 与圆C唯一公共点，所以一定有： 。整理得： 必有实数解，但 表明方程无实解，

矛盾。因此符合题设条件的等差数列不存在。

教学对策：针对学生的实际情况，为了提高学生对问题辩证认识的能力，我在教学中帮助学生建立了如下的思考问题的思维模式（如下图）：。

“是什么”：就是大部分数学问题，能通过理解分析后非常明确地确定与什么知识有关，而且能利用相关知识把问题解决。

“象什么”：就是有些数学问题，虽然与明显的数学知识相关，但直接利用相关知识去解决，非常麻烦或无法解决。解决这类问题就需要想象能力，进行类比其它相關知识或相关问题去解决。

在教学中我坚持围绕这个模式和学生一起重视认识问题的过程，学生有了正确有效的认识问题的基本方法，不仅能够提高理解与认识问题的能力，而且也培养了学生的思维能力。

2.3 3.解题方案的设计与教学对策

所谓解题方案的设计，就是在辩证认识问题的基础上对解题方法的选择和解题过程的设计。有一个好的解法和一个合理的过程，是解题成功的关键。解题方法的选择就是一个问题往往有几种解法，就是要选择一种我们最有把握和最简便的方法去解答；解题过程的设计，就是要求能够预见在解题过程中可能会遇到什么问题或困难，以及如何解决问题或困难。在这方面学生的现状是比较欠缺的，对解决问题的方法选择带有盲目性。有些学生下笔前不认真考虑，解了一半后发现遇到无法解决的问题或困难，部分学生又重头开始，这样既浪费时间又影响了整洁性，而部分学生丧失了解题的信心，陷入了一种紧张混乱的情绪中，严重影响了整个考试过程和得分。

教学对策：解题方案的设计实际上是人脑的一种理性的思维活动，在辩证的认识问题的基础上，首先认真分析解决问题的各种方法，其次能预见所采用方法在解题过程中会遇到什么问题或困难，能否解决所遇到的问题或困难。然后选择一种自己所熟悉的方法，且能较顺利地解决其中所遇到的问题或困难！

在教学中教师要引导学生在下笔前就进行理性思考，认真进行解题方案的设计。为了提高学生解题方案设计能力，我帮助学生建立了如下思维模式：

三、数学表达能力的现状与教学对策

学习数学就要学会表达，表达是数学交流的基础，也是学习数学的必备条件。表达能力强弱不仅表现一个学生数学语言能力的强弱，而且也表现出思维能力的强弱。因此数学表达能力的强弱在一定程度上反映出学生思维能力的高低和数学素养的层次。对一些表达能力不强的学生，就会出现对一些问题知道解法，但不能用自己的思想和准确的数学语言表达出来，影响考试成绩。

在平时练习和作业中，一些学生的表达能力相当差，主要表现在以下几个方面：

例如：已知函数 ，（1）求 ；（2）判断 在 处是否否连续？（3）求出 的连续区间。这是我们组织的一次月考中的一个题目，（3）一般学生都能正确写出两个连续区间，但却表达成 ，因表达错误而没有得分。这反映出学生对知识表达缺乏准确性。

又例如：已知数列 满足 ，若 。（1）求证： ， ；（2）求 的值。

这也是我校月考中的一个题目，是广东卷第10题，原是一个选择题改编的。大部分学生对（1）是采用数学归纳法证明的，主要错误是：①不能正确认识已知中的n与求证中的n取值范围不同，在证明时错误认为 开始命题才成立；②在证明过程中：假设 ， 命題成立，则 时， ；③一般的同学由于（1）不会证，（2）也自然地放弃。

学生体现主要错误原因是：缺乏逻辑严密性。

书面表达是数学表达能力的一种重要形式，因此在书写表达上应该做到：条理清晰，叙述简洁；书写整洁，格式规范”。有相当部分学生在作业和考试中，经常表现出“条理混乱，颠三倒四；书写潦草，缺乏规范”。

提高学生数学表达能力复习对策：数学语言的书面表达能力对一个人来说不是一朝一夕能够提高的，它是一个系统工程，因此在高三复习中要切实提高学生的表达能力应从以下几方面着手：首先规范教师自身的课堂教学，给学生以示范。教师在给学生讲解例题时，解题证明都要一丝不苟，数学语言表达要准确，运算或推理过程不仅要具严密的逻辑性而且格式要规范；其次在课堂上让学生积极参与解题思路探索的同时，应给学生多动手的机会，多让学生到在黑板上板演，通过师生共同活动找出其表达方面所存在的问题。同时要对学生课后作业必须精批细改，帮助学生克服解题表达中存在的问题。