三角阵列超材料的声传播特性

唐帅 温廷敦 韩建宁

摘 要：为了使声波产生不同于传统天然声学材料的反常传输特性，采用COMSOL有限元方法模拟了声波在局域共振型声子晶体中的传播特性，给出了二维三组元局域共振型声子晶体的振动机制，并以原胞为基础构建了三角形阵列的声学超材料模型，探究声波与该模型内原胞间的局域共振特性。仿真结果表明，从三角阵列模型底边入射的平面点状及线状激励声源在受到模型的调控后都会重新在顶角处汇聚成焦点；通过入射由三角阵列构成的矩形模型能实现点源的低损耗搬移效果；将两至三个相同的三角阵列组合成平行四边形和梯形模型后会产生平面声波的变向传输。模拟结果显示，此种以原胞为基础的三角形声学超材料阵列模型，在共振频率下会产生反常声学现象，并且随着模型构造的改变，其共振特性也会随之变化，产生不同的反常声学现象。研究结果可为声隐身、声探测及声波低损耗定向传输等研究提供新思路。

关键词：超声学；声子晶体；局域共振；三角阵列；变向传输

中图分类号：O426.2 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2018）05-0409-07

人工超常材料是在电磁学的范畴内兴起和发展的。VESELAGO[1]开创性地提出了负折射率的概念，认为只要能让物质具有负的磁导率和介电常数便能够产生反常折射。不同于传统的光学折射性质，负折射现象会使入射光波及透射光波的能流都位于法线同侧。为了区分平常的右手材料，常将这些材料称之为左手材料[2-5]，由于相速度和群速度反向，这些材料具备反常Doppler效应、反常Cerenkov效应和负光压效应等。作为一种弹性波，声波与电磁波之间在某些特征方面存在着相似性，尤其是Maxwell方程[6]中的磁导率及介电常数等都能与声波方程中的体积模量及质量密度等相互照应，因此，在电磁学超材料的基础上，研究者开始了声学超常材料的探究[7-10]。声学超常材料是指材料的质量密度和模量同时为负，或者其中一个参数为负的人工功能材料，其设计的核心思想在于利用局域共振机制实现此种负参数。LIU等[11]发现对Bragg散射的限制可以通过设计较小的原胞尺寸来消除，然而该设计方案在实际制备及拓展中存在一些问题。对此，YANG等[12]将具有一定质量的物体镶嵌在弹性薄膜中心，结果发现当处于共振频率时，产生了负质量效应，降低了样品制备的困难程度。接着，以LI等[13]为代表的研究者们又发现共振系统能够使负弹性模量和负质量效应同时出现，充分证明了对谐振单元的设计是声子晶体设计中的核心部分。这一系列的研究成果丰富了声学超材料的应用范围，拓宽了声学超材料的研究领域。

1 模型结构设计

三角阵列超材料模型主要由二维三组元局域共振型声子晶体组成。图1 a）所示为一种典型的二维晶格原胞模型，该原胞的结构是：在环氧树脂内嵌入铅芯，并且该铅芯外侧由橡胶层包裹，其中铅芯直径尺寸为0.5 mm，橡胶层宽度为0.2 mm。图1 b）是由这些晶格阵列形成的模型的二维轴向剖面图，其晶格点阵结构为倒三角晶格形式，即任意3个上下相邻的原胞都可构成一个倒三角结构，此外，由底角到顶边的变化过程中，每递增一行，原胞的个数便会增多一个，此种具有规律性的阵列方式，使得模型结构具有高度连续性，为声传播特性的定量分析提供了基础。

为了直观地观察模型内部声波传输情况，笔者采用COMSOL有限元仿真软件对模型二维轴向剖面的声场特性进行模拟分析。仿真过程中所用材料的参数如下。

2 模型理论分析

在传输模型一侧施加激励源，产生入射超声波时，原胞的最外层部分受到声波的挤压会开始振动，随着声波能量传到中间层及最内层，導致整个原胞结构都会振动。所以，整个模型对声波的调控方式能够视为晶胞的振动结果。

原胞由环氧树脂、橡胶和铅芯3部分组成，笔者采用双弹簧振子模型进行原胞振动特性的类比分析。弹簧振子模型的色散方程[14]为

图2所示为原胞振动模态的运行结果，通过该图可以明显发现模型的内部会发生局域共振，这是由于声波与原胞内部结构发生耦合作用从而导致谐振的出现，模型的共振带隙也取决于这种耦合作用的发生。若这种局域共振是原胞最内层质量块的平移振动。伴随着此种振动，原胞的中间层会受到拉伸和压缩，从而使构成模型的相邻2个原胞内层之间的振动相位不同。声学结构的这种局域共振来源于原胞最外层与相邻2个内层圆环之间的反相振动，使得声学结构宏观上的振动实现了动态平衡。

3 仿真结果

3.1 声聚焦效应

[WT]将原胞阵列而成的三角结构声学模型植入水中，对入射点声源所产生的声波传输情况进行分析。如图3 a）所示，当入射点声源在自由平面内传播时，会产生扩散和衰减现象，其衰减幅度与传输距离呈正相关，因此远距离的声波强度相对较低。当阵列模型存在时，如图3 b）所示，将声源置于三角模型底边后，大部分声波被模型所吸收并在其顶角处重新汇聚成了一个焦点。基于此，笔者将点声源改为线状声源研究其对平面声波的吸收和聚焦特性，如图3 c）所示，声波受到了阵列模型的有效调控，在经过2个波阵面后，成功地在对角处聚焦，实现了平面线声源向球状点声源的转换，在提高能量利用率、声波局域聚焦等方面具有良好的应用前景。

为了研究该种阵列声学结构的聚焦效应与频率间的关系，笔者截取了其中的一个周期振动过程，绘制了如图4所示的频率由47 000 Hz向51 000 Hz递增时的波形变化曲线。可以明显发现焦点在不同频率下的聚焦特性各不相同，在49 000 Hz前后，汇聚而成的焦点处声波反相振动，随着频率的递增，声波振幅越来越大，直至下一个共振频率的出现，声波便会产生下一个反相周期振动。值得注意的是，尽管模型具有多个共振聚焦频率，但随着频率的升高，波长会相应减小，最终会导致聚焦点的尺寸越来越小，因此在实际应用的过程中，应根据情况选择适当的聚焦频率，以此提高聚焦声波能量的利用率。

3.2 点源搬移效应

基于上述声波聚焦效果，笔者在此基础上对称地放置一个与之方向相反、形状相同的三角阵列并组成矩形结构。如图5 a）所示，经过一段距离的传输，点声源从矩形的其中一个顶点成功“搬移”到了另一个顶点，通过对比其前后焦点处的高度表达式，如图5 b）所示，发现声压幅值衰减程度较低，汇聚而成的焦点与点源处的声压高度基本持平，提高了聚焦效率，实现了点声源的低损耗传输。

为了研究模型对声波的调控效果，笔者作出了声波在不同频率下的传输波形图，如图6所示，每一条波形曲线都存在中间高，两侧低的传输特性，其中高的区域对应着声波在模型内部的传输过程，而低的区域则对应着声波在模型外部的部分传输过程。显然，未受到模型调控的声波衰减相对较快，相反，在模型内部传输的声波不仅衰减幅度较小，并且还产生了明显的聚焦现象，在某种程度上，该焦点可视为一个次级声源，在其基础上继续添加模型，可以使其传播更远的距离，因此，使用多个相同模型，即可组成一个声源定向传输系统。此外，通过研究其频率特性，能够发现该模型的聚焦效果具有较大的带宽，在较宽泛的频域范围内都能实现对点源的搬移效果，这是因为随着频率的增加所改变的仅是波阵面的数量，其聚焦特性并未发生实质性变化的原因。

3.3 变向传输效应

由于三角阵列声学结构具有多样性的组合方式，笔者继续将其翻转平移并与之形成平行四边形和梯形结构，得到了声波的负折射现象，由图7可见，当平面入射声波由其中一条边入射平行四边形和梯形结构时，在模型内部汇聚成了多个正反相位交替分布的焦点并在其对边重建了一系列的类平面声波继续进行传输。宏观上，将由原胞阵列而成的平行四边形和梯形结构视为一种声波传输介质，这便形成了声波的变向传输。

显然，通过观察图7所示的变向传输现象，能够明显发现声波传输方向的改变很大程度上取决于三角阵列所组成的模型结构，即不同形状的模型对声波的折射方向是不同的，例如图7中平行四边形结构和梯形结构分别将来自同一方向的平面波折射成方向为一上一下截然相反的两束平面波。由于受到模型的调控，声波在传输过程中的衰减程度相对较低，因此在图7所示现象的基础上，结合实际应用背景，可以按需对模型结构进行改变，不论是对不同方向的折射还是对不同距离的折射，都可以通过对平行四边形或梯形结构角度和长度的改变进行实现，深刻体现了人工声学超构材料的针对性及灵活性的优势。

4 讨 论

对于声聚焦效应、点源搬移效应以及变向传输效应，其实都是基于声子晶体的负折射效应而产生的[21-23]，研究人员可以采用平面波展开法[24-25]中的带隙特性对其分析。为了简便计算，可以在波动方程中将平面波形式展开然后叠加，如此一来，波动方程便成为了本征振动方程，运算方程后就能计算出本征振動频率与波矢量之间的色散关系，即能带结构[26-29]。

5 结 论

笔者利用COMSOL有限元法研究了声波在基于二维三组元局域共振型声子晶体中的声传播特性，在以三角阵列模型为基础的多种组合体中实现了声波聚焦，点源搬移及变向传输等反常声学现象。结论如下。

1） 不论是平面点状还是线状激励源所产生的声波在由三角模型底边入射后，都能够在模型顶点处重新汇聚成一个焦点，为实际的点源探测等方面的应用提供了新方向。

2） 在三角阵列的基础上构建了矩形阵列模型，经过一段距离的传输，点声源从矩形的其中一个顶点成功“搬移”到了另一个顶点，并可将该点继续视为一个次级声源，构建声源定向传输系统。

3） 声波透过两至三个相同三角阵列组合而成的平行四边形或梯形模型后会在模型内部汇聚成多个焦点，并使平面声波产生变向传输。

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