基于变可信度近似的设计优化关键技术综述

郑君 蒋学鹏

摘 要：利用变可信度近似模型进行设计优化，可以发挥不同可信度分析模型的优势和特点，大幅减少复杂工程产品设计过程中的计算量，提高计算效率，是解决复杂工程产品设计优化计算复杂度难题的有效途径之一。分析和阐述了基于变可信度近似的设计优化方法的基本思想，总结归纳了主要研究内容和关键技术，并对适用于变可信度近似的实验设计方法、变可信度近似模型构建方法及设计优化策略进行了综述，指出了今后的主要研究方向：结合自适应采样的变可信度近似模型实验设计，CoKriging类带有误差信息的变可信度近似模型建构，基于空间映射的变可信度近似模型建构，以及变可信度近似模型在多学科设计优化、不确定性优化等各个领域的应用。

关键词：机械设计；变可信度近似；实验设计；设计优化；计算复杂度

中图分类号：TH122 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2018）05-0386-08

在设计优化飞机、船舶、汽车等现代复杂工程产品时，所进行的仿真分析技术已成为该领域中不可缺少的关键手段，它是以物理行为模型与科学计算为基础，既可使物理实验成本和开发周期大幅缩减，也可提供有效数据为后期的设计优化奠定基礎。计算机技术的快速发展使仿真分析单元的尺寸不断减小，仿真精度也逐渐提升，可更为逼真地展现物理实验性能，由此创造出的分析模型有着非常高的保真度、可信度，但不可忽视的是不断增加的仿真时间成本[1]。相关文献显示，如果仅从双变量优化问题入手进行汽车碰撞分析，假设经过50次迭代能够完成优化过程，而每一次迭代都应当进行一次碰撞分析，福特公司的一次汽车碰撞分析需耗费26～160 h[2]，那么整个优化过程一般需要耗费2～11个月。在这样的状况下，如果复杂工程设计利用传统方式进行设计优化，所耗费的时间是无法接受的，特别是设计维度的提升会导致优化难度进一步增大，这些都意味着现代复杂产品设计面临着挑战。

变可信度近似模型将高、低2种可信度分析模型相融合，可在小样本基础上建立具有较高精准度的近似模型，在工程应用领域展现出很大潜力。利用变可信度近似模型进行设计优化时可充分利用各种可信度分析模型的优势，在保证优化结果的前提下，将计算成本降至最低、计算效率最大化。在优化过程中，变可信度近似模型可成为复杂、隐性函数关系的替代品，为优化工作奠定良好基础。它充分利用了高、低2种可信度分析模型的优势，不仅利用低可信度（low fidelity， LF）分析模型来减少仿真时间、降低计算复杂程度，同时利用少量的高可信度（high fidelity， HF）分析模型来确保近似精度。变可信度近似模型引入了低可信度分析模型后有效减少了相应的高可信度分析模型的运行次数，同时也大幅减少了模型构造时的采样与时间成本，又通过小样本的高可信度数据构建出精准度高的近似模型，由此受到诸多学者的重视[3-5]。利用变可信度近似模型进行优化设计，可在确保良好优化结果的基础上，最大限度提升运作效率、减少计算成本，因此，该方法已在各个领域得到广泛应用[6-8]。

1 基于变可信度近似的设计优化的研究内容

图1展示了非常全面的基于变可信度近似的设计优化过程整体框架图。由图可以看出，所研究的重点有2个方面：1）设计问题的数学建模；2）数学模型的优化求解。具体包括：模型构建、实验设计、优化策略、求解算法等。

图2展示了变可信度近似模型的建立过程。整个过程集合了不同可信度分析模型的特点，使得复杂的约束函数、目标函数变成了更易懂的表达形式。建立变可信度近似模型时，为了保证近似模型精度的同时减少构建成本，需要使不同信度模型得到良好的调配，所以寻求一种适合变可信度近似的实验设计尤为重要。

图3为基于变可信度近似的优化求解策略示意图[9]，它不但可以更好地促进模型的优化，也可以借助一部分高可信度分析模型信息来分析优化后的情况，同时修正、更新低可信度近似模型。在进行优化的时候，不同信度分析模型会根据实际情况，从高至低不断转化自身的角色和位置，最后使得优化求解策略更加有效，使得计算准确率更高，减少计算的费用。

由此可见，在变可信度近似的优化过程中，有3个重要的流程：1）确定适用于变可信度近似的实验设计方法；2）建立变可信度近似模型；3）制定出优化求解的策略。因此，对变可信度近似的设计优化的研究应主要对这三方面进行深入的分析和总结。

2 基于变可信度近似的设计优化关键技术的研究现状

2.1 面向变可信度近似的实验设计的研究现状

在变可信度近似模型的建立过程中，可通过不同类型的可信度分析模型完成各种类型样本的信息获取。尽管通过LF分析模型可快速获取样本信息，但所获取的内容缺乏精准度，反之，HF分析模型获取样本信息需要耗费大量人力、物力和财力，但其精准度较高。实验设计时，须对高、低可信度模型进行合理配置，并且找到这两种可信度样本点之间的关联性。

该方面的研究非常少，有关文献还未超过10篇。研究者包括了荷兰蒂尔堡大学的HUSSLAGE Bart团队、威斯康辛大学的QIAN Peter Z.G.团队。QIAN等[10-14]借助诸如差别矩阵、正交阵列、伽罗瓦域等一系列数学策略和方法，最终分析出了关于这个实验样本点的状况，具有充分的理论依据、严谨的推导过程，但都存在理解困难、复杂性强的问题，再加上正交矩阵等原本存在的局限性，这些方法所构造的实验设计只能是特定大小的。HUSSLAGE团队[15-16]则借助智能优化算法，在LF所获得的样本点里寻优计算，最终得到了HF点的分布。ZHENG[17]提出了基于平移传播的嵌套拉丁超立方方法，不依赖智能算法，同时复制平移种子的思路易于实现。从理论上来看，此类方法所寻找的实验设计方案可达到某种指标最优，但对算法性能有极大的依赖性；在实验设计点不断增加的同时，分析了LF当中全部的HF点，发现其中能够进行组合的点几乎没有时间去实现。

近年来，由于自适应采样策略能根据模型信息有针对性地增加样本点，因此其被广泛地与变可信度近似模型相结合，以进一步提高变可信度近似模型的构建效率。ZHANG等[18]发展了基于变可信度近似信息的期望增量法。ZHENG等[19]提出了動态变化下置信度边界的自适应采样策略。可以看出，自适应采样与变可信度近似模型结合可以借助模型信息，指导下一次填充样本的选择，有利于提高模型精度，但计算成本较“一次采样”大，同时填充样本的选取质量依赖于初始样本的选择。

2.2 变可信度近似模型的研究现状

学者KLEIJNEN是最早提出近似模型概念的研究者，他将这个概念用在替代复杂工程产品设计过程的计算模型中，包括了计算流体力学（computational fluid dynamics， CFD）模型和有限元分析模型（finite element modeling， FEM）[20]。一旦物理现象产生了不同可信度的分析模型，便可以利用这些可信度分析模型信息建立一个近似模型，这就是变可信度近似模型。如今，建立变可信度近似模型时，主要依靠标度函数来进行。所谓的标度函数，同时也是桥函数、模型矫正、模型修正的方式。设计者ALEXANDROV等[21]在研究机翼的过程中，试图将一阶乘法标度和一阶加法标度进行结合，减少了设计时间。后来，ELDRED等[22]又采用了二阶导数的概念，使得一阶标度函数拓展成为二阶。2005年，GANO等[23]将加法和乘法标度相结合，开发出了不同的混合标度模型。MARDUEL等[24]对一、二阶标度函数进行对比研究，发现一阶标度的精确度比二阶更差，然而在计算二阶标度的时候，会耗费更多的计算成本。

不仅仅只是Taylor 展开，很多全局近似模型也和标度函数进行了结合。比如FISCHER等[25]在AMF（approximation management framwork）框架下提出了梯度增强Kriging的标度方法。WANG等[26]利用人工神经网络构建了修正函数。GANO团队[27]开发出了关于Kriging的各种算法，与不同标度函数进行结合。GHOSH等[28]在此基础之上进一步发展了贝叶斯层次模型来集成高、低可信度模型信息。LEARY等[29]在关于热成型工艺的加热措施中，发展了Kriging标度模型。HAN等[30]将梯度增强型Kriging方法和低阶RSM进行一定的结合。QIAN等[31]开发出了一种全新的方法，借助贝叶斯桥函数来提高仿真的准确度，获得仿真的一些信息和参数。和Taylor方法不同的是，全局桥函数建立的标度可以准确地展现出设计空间的全貌，而非仅仅某一部分的状况。TOROPOV等[32]针对如何将模型结合提出了很多构想，比如使不同参数的计算模型得到改进，或者采用计算修正函数，这样便能够更好地改进LF的校正模型。

不仅如此，测量地势时的多变量技术也得到了一定的应用。一些研究者试着将CoKriging当成变可信度近似模型[33-34]。然而CoKriging存在一些问题，比如：HF参数不多，关联性不强，因此使用起来很难。此外，建立CoKriging也存在很大的难度，耗费的成本很高，所以不经常使用。

目前，变可信度近似模型在中国的研究属于起步阶段。高正红等[35]（西北工业大学）在进行研究时，促使N-S方程被用在LF模型里，Euler方程则用在HF模型里，借助一阶标度函数来构建变可信度近似模型。同时，张德虎等[36]借助Kriging方法来对LF进行标度，同时借助3个案例（即机翼气动力、翼型气动力、无人机隐身特性分析等）验证了所提出的模型。刘蔚[37]（上海交通大学）借助变可信度模型的构建，研究和分析了7 000 m载人潜水器的情况，并且在此基础上计算了载人耐压球壳结构子系统的动力。龚春林等[38]则结合CFD和工程估算启动分析提出了基于响应面修正方法。SUN（孙光永）等[39-40]（湖南大学）则在薄板结构成型设计时，结合增量法和一步法，提出了基于响应面的标度模型。谢晖等[41]利用RBF神经网络构建了汽车碰撞分析中的变可信度模型。张瑜等[42]为了发展适用于高维精细化气动优化设计的更高效的代理优化算法，发展了基于梯度增强分层Kriging模型的变可信度代理优化方法。KOZIEL等[43]在电磁设计中发展了一种基于空间映射的变可信度近似模型。

由上述研究现状可知，变可信度近似模型的构建方法主要分为3类：1）基于标度函数的变可信度近似模型的构建方法；2）基于空间映射的变可信度近似模型的构建方法；3）CoKriging（包括hierarchical-Kriging）类变可信度近似模型的构建方法。

2.3 优化策略的研究现状

基于变可信度近似的设计优化的早期工作基本上都是建立在启发理论基础上的。早在2000年，ALEXANDROV等[21]提出了近似模型的管理策略，如图3所示。AMF在机翼优化改进、飞行器外形优化等航空领域得到了广泛应用[44-47]，到目前为止AMF收敛性都没有得到理论证明[4]。ALEXANDROV等[9]在信赖域基础上，提出了一种模型管理优化策略（trust region-approximation model management optimization，TR-AMMO）。在TR-AMMO中，主要在当前设计点四周完成优化，因为信赖域的使用，可以借助信赖域来分析近似质量。如若满足一阶一致性， TR-AMMO就能被证明具有收敛性。除此之外，BOOKER等[48]结合模式搜索和AMF提出了基于代理模型管理框架（surrogate management framework，SMF）的优化策略。

TR-AMMO策略一经提出便受到很多学者的重视。BURTON等[49]对梯度获取方式进行完善，使得信赖域控制也更加简单，最终优化了TR-AMMO。HINO等[50]借助TR-AMMO来优化板料成形中的板坯问题，大大减小了计算量。RODRGUEZ等[51]借助该策略对有限、无限分子动力学分析模型进行研究，开发出了一种断裂韧性优良的复合陶瓷材料。SILVA等[52]借助该策略改善了燃气涡轮发动机控制器的性能。RODRGUEZ等[53]借助并行子空间优化时形成的变可信度数据建立近似，结合TR-AMMO对其进行合理的管理，并得到了收敛性证明。

尽管TR-AMMO策略获得了收敛性证明，然而在优化时需在设计点周围完成，所以可能会得到某个区域而非整个设计空间的最优解。因此，很多研究者针对全局近似的优化求解方法进行了探索。FORRESTER等[34]以反映数據噪声的误差估计为近似更新指标，结合期望增量和Kriging标度函数来完成优化。XIONG等[54]则借助设计自信度来分析近似的插值不确定性，同时根据目标导向序列采样方法来更好地更新Kriging标度函数，辅助优化的进行。SONG等[55]结合多点填充策略，发展了基于Kriging的优化策略。这些方法都是通过与全局变可信度近似模型相结合，结合自适应采样方法使得模型不断更新，获得最优解，改善了TR-AMMO的缺陷，使之可以被用在解决多峰问题方面。其中，怎样对模型的更新过程进行一定的控制，提高优化的准确度，并且降低HF分析模型的使用频率等问题已经成为了研究的重点。

中国在这方面的研究集中在TR-AMMO和AMF两方面。刘慧超[56]针对TR-AMMO里的信赖域进行改进，在其中融合了Kriging标度函数，最终开发出建立在偏心球信赖域基础上的优化措施。刘桂萍等[57]则集合多目标优化和TR-AMMO策略，最终提高了车身薄壁构件的整体性能。周婷等[58]也将多重网格Navier-Stokes方程用在HF模型里，将全位势边界层迭代方程用在LF模型中，根据相关的标度函数，借助TR-AMMO方法来完善整个翼型。郑君[59]充分分析下置信度边界的优缺点，将其与变可信度近似优化相结合，提出了基于参数化下置信度边界的优化策略。

综上所述可得出，TR-AMMO采用信赖域率对变可信度近似模型进行有效更新和管理，同时具有收敛性，得到了广泛的应用。但这种方法是建立在局部近似基础上的，并不适用于多峰的问题。因此，虽然基于全局变可信度近似的优化策略得到了发展，但在如何有效控制近似模型的更新、减少HF模型运行次数以及提高优化精度方面有待进一步研究和完善。

3 发展评价与展望

对于变可信度近似模型的设计优化，国内外学者进行了大量的理论研究及实践，所取得的成果也是丰硕的，在缓解计算效率与精准度共存的矛盾方面，其效用极为显著。

1）适用于变可信度近似的实验设计方法高效性严重欠缺。如今，普遍缺少适用于变可信度近似模型的实验设计相关研究，基于正交矩阵等数学推理的方法难以理解和使用；基于智能优化的方法受限于算法本身的性能，且计算量过大，难以应用。所以，必须要开发出准确率更高的、适用于变可信度近似的实验设计方法。除了一次采样策略，结合自适应采样策略，挖掘变可信度模型的定量和定性信息，在设计空间中进行贯序采样，是变可信度近似建模实验设计的新思路。自适应采样不仅能根据当前近似模型信息有针对性地提高模型的质量和精度，还能与优化策略相结合，指导优化的进行，在基于变可信度近似模型的全局优化中发挥重要作用。

2）在变可信度近似模型的建立方面，仍然不够深入。目前，研究多集中在Taylor局部近似方面，另外一些研究主要着力于使Kriging，RSM等全局近似完全替代局部近似中的Taylor。这些方法都容易被标度函数所限制。所以，必须采用全新的思路来研究全局变可信度近似模型的建立，在提高模型准确度的同时，对训练样本的质量以及对模型的精度、合格度、鲁棒性等近似质量的影响进行探究。对于常用的3种变可信度近似模型，基于标度函数的近似模型构建方法结构简单，易于实现，但依赖于所选取的标度函数；基于空间映射的变可信度近似模型中，参数提取是模型构建过程中的关键问题，直接关系到模型的质量；CoKriging类变可信度近似模型的一大优点是能提供非样本点处的预估误差信息，在全局优化中可以较为方便地和期望增量等自适应采样策略相结合。

3）在优化策略方面，TR-AMMO策略具有很多优势，但因为其是将局部变可信度近似模型作为基础，所以不能被应用在多峰问题中。CoKriging类变可信度近似模型和基于Kriging标度的变可信度近似模型，可以直接得到模型的误差信息，因此，可以直接与EGO（efficient global optimization）类算法结合，实现全局优化。

4）变可信度近似模型在多学科设计优化、鲁棒优化、灵敏度分析等优化方法中的应用日益广泛。工程中的多学科设计优化、鲁棒优化、不确定性优化、灵敏度分析等方法涉及的对象一般都具有较高的计算复杂性，借助变可信度近似模型可以降低相应的计算成本，提高计算效率。

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