基于恒包络模拟波束聚集的无线能量传输

魏天伟 ，赵 翔

（1.中国科学院上海微系统与信息技术研究所，上海200050；2.中国科学院大学北京100049；3.上海科技大学上海201210）

移动电话和传感器一类的电池供电的设备，可以通过从环境中采集能量来延长其有限的寿命。环境中有各种各样的能量可供采集，包括太阳能、风能、振动能量、射频能量等。其中，射频能量因其在时间和空间中的丰富度及其连续性显得很有吸引力。相比采集环境中的任意射频信号，对于需要连续和实时能源的应用场景，无线能量传输是一种比较可靠的无线能量采集技术[]。各种无线能量传输技术信道模型在不同的文献中得到了广泛的研究，具体参见文献[2-7]和其中引用的文献。

为了提高无线能量传输的效率，基于天线阵列波束聚集技术（称为能量波束聚集[2]）可用于把发射电磁波的能量集中到狭窄的空间角度。传统的数字波束聚集通过处理基带信号来提高阵列增益。然而，在数字波束聚集技术中，每个天线都需要一个单独的射频链来调整传输信号的振幅和相位，从而导致实施成本很高，尤其是在天线的数量很大的情形下。为了降低这种成本，我们提出一种模拟波束聚集方法，即在发射端所有天线共享一个共同的射频链和一个射频前端来控制每个天线的信号幅度和相位[8]。因为射频功率放大器是昂贵的，并且在实践中难以设计，我们设计的前端可以进一步减少到一组移相器，每个发射天线都安置一个移相器。这就是恒包络模拟波束聚集，注意到恒包络数字波束聚集技术已经在多天线广播系统中用于数据传输[9-10]。

本文研究在多用户多输入单输出（multipleinput single-output，MISO）系统中的恒包络模拟波束聚集无线能量传输。系统如图1所示，它由一个有N个天线的基站和多个单天线用户组成，所有的天线在基站发射端只需要一个单一的射频链来实现模拟波束聚集。我们假定用户可以通过收集从基站接收到的射频信号来给电池进行能量补给。我们的目标是在恒包络约束（Constant Envelope Constraint，CEC）下通过优化波束聚集参数来最大化用户接收功率。CEC意味着发送信号需要有恒定振幅并且只可以改变它们的相位。这个优化问题是一个难以解决的非凸问题。我们提出了一种低复杂度模拟波束聚集方案，通过仿真我们发现这种方案非常接近由可变包络的最优数字波束聚集方案得到的上限。此外，在均匀和独立的瑞利衰落的信道的假设下，我们推导出了一个这两种方案比值的精确表达式。我们表明，当发送端天线数N趋于无穷大时，这个比值收敛于π/4≈-1.05 dB，即相比最优的数字波束聚集，模拟波束聚集只有约1 dB的功率损耗。这表明，恒包络模拟波束聚集一种非常有前途可用于大规模多天线无线能量传输的低成本技术，其中一个应用场景是物联网的传感器无线充电系统。

1 理论基础

1.1 系统模型

如图1所示，我们考虑一个多用户MISO系统，其中一个有N个发送天线的基站想同时给K个单天线用户传输能量。为了减少发送端的实现成本，基站的N个天线共享一个共同的射频链。生成的射频信号表示为：

其中，P是基站的总发射功率，，fc是载波频率。之后，z(t)通过相移器之后，在每个发射端天线n产生如下信号：

图1 多用户多输入单输出系统中的恒包络模拟波束聚集无线能量传输

不失一般性的，我们将基站天线n到每个用户k之间的信道建模成一个多路径信道，对应的信道参数表示为：

那么所有用户的接收信号向量表示为：

其中，y(t)=[y1(t),y2(t),…,yK(t)]T，yk(t)是第k个用户接收到的信号，H表示基站到所有用户的信道矩阵，矩阵的第(n,k)个元素是hk,n，s(t)的第n个元素是sn(t)。我们假设基站通过单独的训练和反馈[11-12]，可以获得全部的信道信息H。

每一个用户都想要通过接收到的射频信号yk(t)来采集能量。根据能量守恒定律，接收到的射频带信号能量应该是正比于接收到的基带信号能量。那用户k接收到的能量，就可以表示为：

其中η（0≤η≤1）是在用户端的能量转换效率，T=1/fc是载波信号的周期。不失一般性，我们在本文的剩下部分都令η=1。本文主要目的是最大化全部用户的平均采集能量（average received power，ARP），而把最大化加权总能量以及最大化最小的采集能量做为未来的进一步工作。ARP的具体形式为：

1.2 问题建模

本文想在CEC的条件下用模拟波束聚集的方法来最大化ARP。注意到最大化ARP和最大化‖Hx‖2是等价的，我们可以把对应的问题建模成如下等式：

注意到（7b）就代表CEC，因为此时传输基带信号{xn}有恒定的幅度。同时也注意到式（7）中的优化问题只包含调节射频信号的相位，因此是模拟波束聚集。

2 模拟波束聚集设计

问题（7）是非凸的，一般是很难获得最优解的。在这部分，我们将给出问题（7）的两个次优解。

2.1 基于CDA算法的次优解

我们首先介绍坐标梯度下降算法（coordinate descent algorithm，CDA）[13]，下面将详细介绍这种算法。问题（7）的目标函数可以改写为：

CDA是一个迭代算法，在每一次的迭代过程中依次更新每一个相角变量αn。记第m次迭代中αn的值为。那么在第m次迭代过程中，相角的更新过程如下：

在这个算法中，所有的相角{αn}都被初始化为0，即。当迭代过程中Q的增量低于某个阈值或者迭代次数大于某个数的时候，迭代结束。

上述算法可以得到问题（7）的一个次优解，可是却没有明确的解析解。接下来，我们将给出问题（7）另一个有解析解的次优解。

2.2 基于EVD算法的次优解

信道相关矩阵H†H的特征值分解（eigenvalue decomposition，EVD）如下：

其中，Λ=diag(λ1,λ2,…,λN)，λi是H†H第i大的特征值；V=[v1,v2,…,vN]，vi是对应于λi的单位长度的特征向量；(∙)†是共轭转置操作。此时，（7a）中的目标函数可以改为：

如果把（7b）里面的CEC换成总功率约束（sumpower constraint，SPC），也就是：

此时，对应的优化问题变成：

因为所有的列向量{vi}都是正交的，最优的传输信号xspc应该沿着最大特征值λ1的特征向量v1，即。相应的用户端最大接受总能量是：

相比更严格的CEC约束，这个最大ARP是CEC约束下的上界。

注意到SPC约束情形下，最优解的传输方向是沿着特征向量v1方向。将v1的第n个元素表示为v1n，为了满足CEC，在天线n上的传播信号被设置成跟v1n同相位但是幅度固定为。我们在CEC约束下提出方案的传输信号的第n个元素表示为：

其中∠v1n表示v1n的相角。这种基于EVD的波束聚集传输方案下的接收总功率为：

其中，‖∙‖1表示一范数。从上面的不等式中我们可以获得在CEC约束下的最大接收总功率的一个下界，表示为：

3 性能分析

本章主要分析2.2节中提出的基于EVD的模拟波束聚集方案的性能。

我们衡量的标准是CEC下的基于EVD的模拟波束聚集方案采集到的总能量与没有CEC下的数字波束聚集方案采集到的总能量的比值，也就是，其中的期望是取自于随机信道H分解产生的v1和λ1。根据公式（14）和（19），我们可知：

上面的比值可以对任意给定的信道分布进行仿真估值。特殊的，我们假设从任意的基站发射天线n到任意用户k的信号有很多个传播路径，即对于是非常大的一个数。根据大数定律，信道H的所有元素是从标准正态分布中独立获得。同时，我们假设一个均匀和独立的瑞利衰落环境，即从所有发射天线到所有的用户之间都是独立同分布信道。为了方便我们归一化发射功率P到平均路径损耗，路径损耗被假定为在所有发射接收天线对上是相等的。此时，H†H=VΛV†是一个中心Wishart矩阵，其中V是一个独立于对角矩阵Λ的哈尔矩阵（文献[14]，引理2.6）。因此，v1是一个均匀地分布在N维单位超球面上的向量并且独立于λ1。因此，公式（20）可以简化成

然后，我们有以下结果。

定理1：假设信道H的所有元素是从标准正态分布中独立获得，此时我们可得：

证明：

当发射端天线数N趋向于无穷的时候，我们立即得到如下结论。

引理1：Δ关于N是一个逐渐递减的函数，并且当N→∞时收敛于π/4≈-1.05 dB。

从引理1中，我们可以看出相比最优的非CEC约束的数字波束聚集，CEC约束下的模拟波束聚集只有约1 dB的功率损耗[15-16]。

4 仿真结果

本节将用一些数值结果来验证我们的分析，仿真场景如图2所示。我们假设所有的用户都随机地散布在一个圆上以BS为中心，每个天线用户链都是瑞利衰落，即的所有元素是从标准正态分布中独立获得。公式（20）中定义的平均功率比与基站天线个数之间的关系如图3所示。定理1中的理论结果和当时的渐近线也显示在图中。我们观察到理论结果与仿真曲线吻合较好，验证了定理1的正确性。此外，当趋向于无穷时，理论结果和仿真结果都收敛到渐近线，与推论1相符。

图2 仿真场景:假设所有的用户随机的分布在以基站为圆心的圆上

图3 最优数字波束聚集方法与基于EVD模拟波束聚集方法之间的性能差

图4显示在不同用户数K时，ARP与N的关系.其中部分系统参数是P=10 W，N≥10，和K={5,10,20,50}。为了比较，SPC约束下的数字波束聚集，CEC约束下基于CDA的模拟波束聚集，CEC约束下基于EVD的模拟波束聚集（包括确切的ARP（17）和相应的下界（19））都显示在图中。我们观察到我们提出的在CEC约束下两个模拟波束形成解决方案具有几乎相同的性能。最优数字波束聚集方法与基于EVD模拟波束聚集方法之间的性能差与用户数K无关，只依赖于N，这与定理1一致。我们进一步观察到，随着K的减少，所有的ARP性能提高。这是可以预期的，因为无论模拟还是数字波束聚集方法中，波束聚集增益随用户数目的增加而减小。

图4 不同用户数的时候，平均接收总功率与基站天线个数的关系，其中发射功率是10 W

5 结束语

本文研究了在多用户系统中的多天线的无线能量传输。为了降低硬件成本和实现的复杂性，本文专注于设计恒定包络约束（CEC）的模拟波束聚集，而不是在更松弛的总功率约束（SPC）下的传统数字波束聚集。我们分别提出了两个有效的模拟波束形成设计，分别是基于CDA和基于EVD。在独立同分布的瑞利衰落的信道假设下，我们还提出了最优数字波束聚集方法与基于EVD模拟波束聚集方法之间的性能差的解析表达式。我们的理论分析表明，性能差仅取决于发送的数量天线N并且随着N→∞逐渐收敛于π/4≈-1.05 dB。仿真结果验证了我们的理论分析结果，并且两者都表明，我们提出的恒定包络模拟波束聚集设计执行非常接近最佳的变包络数字波束聚集。因此，该方案可以用来实现基于能量波束聚集的无线能量采集的实现，尤其是在天线个数比较多的情形下。

参考文献:

[1]Bi S，Ho C K，Zhang R.Wireless powered communication:opportunities and challenges[J].IEEE Communications Magazine，2015，53（4）:117-125.

[2]Zhang R，Ho C K.MIMO broadcasting for simultaneous wireless information and power transfer[J].IEEE Trans.Wireless Commun.，2013，12（5）:1989-2001.

[3]Xiang Z，Tao M.Robust beamforming for wireless information and power transmission [J].IEEE Wireless Commun.Lett.，2012，1（4）:372-375.

[4]Khandaker M R A，Wong K K.SWIPT in MISO multicasting systems[J].IEEE Wireless Commun.Lett.，2014，3（3）:277-280.

[5]安旭，许凌云，刘松.基于RFID的智能立体停车场管理系统的设计与实现[J].电子设计工程，2017（7）:119-122.

[6]Xu J，Liu L，Zhang R.Multiuser MISO beamforming for simultaneous wireless information and power transfer[J].IEEE Trans.Signal Processing，2014，62（18）:4798-4810.

[7]李卫东，徐金钰，郭鹏.基于物联网铁路仓储管理信息跟踪设计[J].电子设计工程，2017（7）:61-65.

[8]Hur S，Kim T，Love D J，et al.Millimeter wave beamforming for wireless backhaul and access in small cell networks[J].IEEE Trans.Commun.，2013，61（10）:4391-4403.

[9]Zhang S，Zhang R，Lim T J.Massive MIMO with per-antenna power constraint[C]//IEEE Global-SIP，USA，2014:642-646.

[10]Mohammed S K，Larsson E G.Per-antenna constant envelope precoding for large multi-user MIMO systems[J].IEEE Trans.Commun.，2013，61（3）:1059-1071.

[11]Zeng Y，Zhang R.Optimized training design for wireless energy transfer[J].IEEE Transactions on Communications，2015，63（2）:536-550.

[12]Xu J，Zhang R.Energy beamforming with one-bit feedback[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2014，62（20）:5370-5381.

[13]Bertsekas D P.Nonlinear Programming[M].United Kingdom:Athena Scientific，1999.

[14]Tulino M，Verdu S.Random matrix theory and wireless communications [J]. Found. Trends Commun.Inf.Theory，2004,1（1）:1-182.

[15]Hassani S.Mathematical Physics:A Modern Introduction to its Foundations[M].Germany:Springer，1999.

[16]Jeffrey，Zwillinger D.Table of Integrals，Series and Products[M].Singapore:Elsevier Pte.Ltd，2004.